Considerazione sugli errori nei TA.

Nei trasformatori di corrente, le cause d'errore che si considerano sono due:

• errore di rapporto:
  $$\eta=100\frac{K_{n}-K}{K}$$
  dovuto alla non precisione del rapporto di trasformazione $K$;
• errore d'angolo: che è lo scostamento di fase tra la corrente primaria e secondaria ruotata di $180°$.

I TA si suddividono in classi di precisione in relazione ai limiti ammessi negli errori di rapporto e di fase. Per l'errore di fase si considera il circuito di figura , nel quale sono state riportate tutte le grandezze al primario.

Figure: Modello circuitale semplificato del TA.

Se si apre il cortocircuito e si utilizza il teorema di Thevenin si ottiene:

$$Z_{eq}=Z_{2cc}+\frac{Z_{0}Z_{1cc}}{Z_{0}+Z_{1cc}}$$

mentre:

$$E_{eq}=V_{1}\frac{Z_{0}}{Z_{1cc}+Z_{0}}$$

chiudendo il secondario su una impedenza di carico $Z$ si ottiene:

$$I_{2}=\frac{E_{eq}}{Z_{eq}+Z}=V_{1}\frac{Z_{0}}{Z_{1cc}+Z_{0}}\cdot\frac{1}{Z_{2cc}+\frac{Z_{0}Z_{1cc}}{Z_{0}+Z_{1cc}}+Z}$$

per la corrente primaria si ha:

$$I_{1}=\frac{V_{1}}{Z_{t}}$$

dove:

$$Z_{t}=Z_{1cc}+\frac{Z_{0}\left(Z_{2cc}+Z\right)}{Z_{0}+Z_{2cc}+Z}$$

ovvero:

$$I_{1}=\frac{V_{1}}{Z_{1cc}+\frac{Z_{0}\left(Z_{2cc}+Z\right)}{Z_{0}+Z_{2cc}+Z}}$$

siccome è:

$$Z\ll Z_{0}$$

si ha:

$$I_{1}\approx\frac{V_{1}}{Z_{1cc}+\frac{Z_{0}^{2}\frac{Z_{2cc}}{Z_... ...{2cc}}{Z_{0}}\right)}}=\frac{V_{1}}{Z_{1cc}+\frac{Z_{2cc}Z_{0}}{Z_{0}+Z_{2cc}}}$$

$$I_{2}\approx V_{1}\frac{Z_{0}}{Z_{1cc}+Z_{0}}\cdot\frac{1}{Z_{0}\... ..._{1cc}+Z_{0}}\cdot\frac{1}{\frac{Z_{2cc}}{Z_{0}}+\frac{Z_{1cc}}{Z_{0}+Z_{1cc}}}$$

ed ancora:

$$I_{2}\approx V_{1}\frac{1}{Z_{1cc}+Z_{0}}\cdot\frac{Z_{0}+Z_{1cc}... ...ght)+Z_{0}Z_{1cc}}=\frac{V_{1}}{Z_{2cc}\left(Z_{0}+Z_{1cc}\right)+Z_{0}Z_{1cc}}$$

Figure: Errore di fase nel TA.

La corrento di magnetizzazione è data da:

$$\bar{I}_{0}=\frac{\bar{E}}{\bar{Z}_{0}}$$

dove:

$$\bar{Z}_{0}=\frac{j\omega L_{0}R_{0}}{R_{0}+j\omega L_{0}}=\frac{... ...mega^{2}L_{0}^{2}}=\frac{\omega L_{0}R_{0}\left(L_{0}+jR_{0}\right)}{Z_{0}^{2}}$$

si può quindi scrivere:

$$\bar{I}_{0}+\bar{I}_{1}+\bar{I}_{2}=0$$

applicando il teorema di Carnot al triangolo formato dalle correnti, si ha:

$$I_{0}^{2}=I_{1}^{2}+I_{2}^{2}-2I_{1}I_{2}\cos\varphi$$

dalla quale:

$$\cos\varphi=\frac{I_{1}^{2}+I_{2}^{2}-I_{0}^{2}}{2I_{1}I_{2}}=\fr... ...}I_{2}}=\frac{I_{1}}{2I_{2}}+\frac{I_{2}}{2I_{1}}-\frac{I_{0}^{2}}{2I_{1}I_{2}}$$

dalla quale, ponendo:

$$K_{n}=\frac{I_{1}}{I_{2}}$$

dalla quale:

$$I_{2}=\frac{I_{1}}{K_{n}}$$

si ha:

$$\cos\varphi=\frac{K_{n}}{2}+\frac{1}{2K_{n}}-\frac{K_{n}I_{0}^{2}}{2I_{1}^{2}}$$

ed ancora:

$$\cos\varphi=\frac{K_{n}^{2}I_{1}^{2}+I_{1}^{2}-K_{n}^{2}I_{0}^{2}... ...}}=\frac{I_{1}^{2}\left(K_{n}^{2}+1\right)-K_{n}^{2}I_{0}^{2}}{2K_{n}I_{1}^{2}}$$

$$\cos\varphi=\frac{K_{n}^{2}+1}{2K_{n}}-\frac{K_{n}}{2}\cdot\frac{... ...{2}}=\frac{K_{n}}{2}\left(1-\frac{I_{0}^{2}}{I_{1}^{2}}\right)+\frac{1}{2K_{n}}$$

indicando con:

$$\rho=\frac{I_{0}^{2}}{I_{1}^{2}}$$

si deduce che se $\rho=1$ si ha:

$$\cos\varphi=\frac{1}{2K_{n}}$$

e ad un aumento del rapporto di trasformazione si ha una diminuzione dell'errore di fase. Per l'errore di rapporto si ha:

$$\eta=\frac{K_{n}-K}{K}=\frac{K_{n}-\frac{I_{1}}{I_{2}}}{\frac{I_{... ...{2}^{2}-I_{0}I_{2}\cos\alpha}}{\sqrt{I_{0}^{2}+I_{2}^{2}-I_{0}I_{2}\cos\alpha}}$$

con $\alpha$ angolo compreso tra $I_{0}$ ed $I_{2}$. Trascurando la $I_{0}$ rispetto a $I_{2}$, si ha:

$$\eta=\frac{K_{n}I_{2}-I_{2}\sqrt{\frac{I_{0}^{2}}{I_{2}^{2}}+1-\f... ...I_{0}I_{2}}{I_{2}^{2}}\cos\alpha}}\approx\frac{K_{n}I_{2}-I_{2}}{I_{2}}=K_{n}-1$$