Resistenza in c.a..

Per studiare il comportamento della resistenza in c.a. a frequenze industriali, si utilizza il modello seguente:

Figure: Modello di resistore in c.a..

Utilizzando la trasformata di Laplace si deducono le relazioni:

$$Z\left(s\right)=\frac{\left(R+sL\right)\frac{1}{sC}}{R+sL+\frac{1}{sC}}=\frac{R+sL}{s^{2}LC+sRC+1}$$

ponendo:

$$\left[\tau\right]=\left(\begin{array}{c} \frac{L}{R}\\ RC\end{array}\right)\qquad\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

si ha:

$$Z\left(s\right)=\frac{R\left(1+s\tau_{1}\right)}{\frac{1}{\omega_... ..._{0}^{2}\left(1+s\tau_{1}\right)}{s^{2}+s\tau_{2}\omega_{0}^{2}+\omega_{0}^{2}}$$

nel caso sia:

$$\omega_{0}^{2}\gg1$$

si ha:

$$Z\left(s\right)=\frac{R\left(1+s\tau_{1}\right)}{\frac{1}{\omega_... ...}=R\frac{\left(1+s\tau_{1}\right)\left(1-s\tau_{2}\right)}{1-s^{2}\tau_{2}^{2}}$$

dalla quale ancora:

$$Z\left(s\right)\approx R\frac{1-s\tau_{2}+s\tau_{1}-s^{2}\tau_{1}\tau_{2}}{1-s^{2}\tau_{2}^{2}}$$

ponendo:

$$s=j\omega$$

si ottiene:

$$\overline{Z}\left(\omega\right)=R\frac{1-j\omega\tau_{2}+j\omega\... ...au_{1}\tau_{2}+j\omega\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)}{1+\omega^{2}\tau_{2}^{2}}$$

inoltre:

$$\tau_{1}\tau_{2}=RC\frac{L}{R}=LC=\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$$

per cui:

$$\overline{Z}\left(\omega\right)=R\frac{1+\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}+j\omega\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)}{1+\omega^{2}\tau_{2}^{2}}$$

in questo modo si possono vedere le componenti dell'impedenza:

$$real\left(\overline{Z}\right)=R\frac{1+\frac{\omega^{2}}{\omega_{... ...right)=\frac{j\omega R\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)}{1+\omega^{2}\tau_{2}^{2}}$$

per:

$$\omega_{0}\gg\omega$$

si può dire:

$$\overline{Z}\left(\omega\right)\approx R\frac{1+j\omega\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)}{1+\omega^{2}\tau_{2}^{2}}$$

$$real\left(\overline{Z}\right)\approx\frac{R}{1+\omega^{2}\tau_{2}... ...\approx\frac{j\omega R\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)}{1+\omega^{2}\tau_{2}^{2}}$$

Figure: Andamento dell'impedenza al variare della frequenza.

Se si ha anche:

$$1\gg\omega^{2}\tau_{2}^{2}$$

l'espressione dell'impedenza diviene:

$$\overline{Z}\left(\omega\right)=R\left[1+j\omega\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)\right]$$

di conseguenza la fase è:

$$\varphi\left(\omega\right)=\arctan\left[\omega\left(\tau_{1}-\tau_{2}\right)\right]$$

$I$ e $V$ sono quasi in fase. E' importante definire il modello specificando il riferimento oppure valutare i vettori tensione e corrente e la rispettiva fase, poichè il modello sopra descritto potrebbe rappresentare una induttanza. Il modello elettrico per il campione di resistenza in c.a. può essere anche quello di una induttanza industriale, dove $R$ è la resistenza del conduttore. Il diagramma vettoriale della tensione e della corrente mostrerà i due vettori aventi uno sfasamento di $\frac{\pi}{2}$ uno dall'altro.

Per il modello di resistenza in c.a. si deve tener conto delle seguenti cause d'errore:

• effetto pelle;
• induttanza;
• capacità parassite.