Le esperienze narrate

Leggenda e storia… in una supplenza

Gesualdo Branciforti

 

Il numero irrazionale nella scuola media

La supplenza è un’ora particolare; a parte il tanto richiesto lavoro di gruppo "perché dobbiamo fare un compito" (tendo a scoraggiarlo), non mi sento di fare una spiegazione "curricolare" che potrebbe andare in conflitto con l’impostazione didattica del/della collega; intanto devo fare il mio mestiere e quindi è inevitabile che questi ragazzi si debbano sorbire un’ora di matematica.

I primi attimi sono tragici, (facce scontente, delusione…) ma poi il clima diventa più disteso e posso perfino pregarli di prendere un foglio per scrivere gli appunti della lezione che sta per iniziare.

 

Il numero irrazionale

Mi trovo in una classe seconda, a metà anno scolastico, presumo che sia già stato trattato l’argomento dei rapporti, dei numeri razionali, il Teorema di Pitagora e la tecnica di estrazione di radice quadrata, ed è mia intenzione ragionare assieme a loro, a partire dalle loro conoscenze, sul numero irrazionale, ma poiché l’argomento è un po’ ostile ho già pensato di collocarlo in un contesto storico in modo da motivare i ragazzi all’attenzione ed alla partecipazione.

Cos’è questo numero irrazionale? Dal Latino ratio significa che non è originato da un rapporto (divisione, o frazione) e per sapere di che tipo di numero si tratta e da quale operazione deriva, dobbiamo tornare indietro nel tempo di circa 2.500 anni e seguire le avventure di un certo Pitagora di Samo; distribuisco delle fotocopie di una cartina delle isole dell’Egeo in modo che i ragazzi possano rendersi conto della localizzazione di questa famosa isola.

Pitagora non andava d’accordo con il regnante dell’isola (un certo Policrate) e fu costretto a lasciare la Grecia in cerca di un posto dove sistemarsi e potere inventare il suo famoso teorema.

In realtà si dice che egli apprese le cosiddette scienze matematiche dagli Egizi, dai Caldei e dai Fenici1 essendo stato in Egitto ed in Medio Oriente ove già da tempo si conosceva il teorema ma non se ne sapeva dare la dimostrazione.

Il posto da lui prescelto fu proprio in Italia, in una zona che allora si chiamava Magna Grecia (i ragazzi fanno un cenno con la testa confermando che l’hanno studiato in Storia) e precisamente a Crotone in Calabria.

Poiché Pitagora era uno studioso di matematica, astronomia e filosofia, in poco tempo fondò una scuola ed si circondò di discepoli che praticavano le sue dottrine.

La scuola Pitagorica era particolare perché i Pitagorici (così si chiamarono i suoi discepoli che poi fondarono scuole in giro per tutta la Magna Grecia), svolgevano attività con i numeri ma si occupavano anche di Musica, Religione, Astronomia, Filosofia e Politica.

Cosa facevano tutto il giorno questi studiosi?

 

Numeri "triangolari" e numeri "quadrati"

Avevano distinto i numeri in "triangolari" e "quadrati" a seconda della figura geometrica che si poteva formare con la quantità di punti o ciottoli corrispondenti al numero. Anche noi proviamo sul foglio di carta a quadretti a disporre 6 punti in modo da formare una figura geometrica; ci accorgeremo che possiamo formare un triangolo ma non un quadrato, per il quale si presta bene il numero 9.

Facendo altre prove scopriamo che 3,6,10 sono triangolari, mentre 4,9,16, sono numeri quadrati.

 

6: numero triangolare

 

9: numero quadrato

 

Si possono fare tanti altri giochini utilizzando il concetto di numeri triangolari e quadrati ma per i Pitagorici questi ed altre simili osservazioni (pari - dispari) sui numeri erano le basi per ragionamenti più seri ed impegnativi.

L'uno, la "Monade di fuoco intelligente nell'infinito" é così potente poiché generatore del due, a sua volta generatore del tre che a sua volta generò tutte le cose.

La tetractis (tetrade)era un numero triangolare costituito dai primi quattro numeri: 1+2+3+4=10.

Il 10 è considerato il numero perfetto, generato dalla Monade ed a sua volta concepito come generatore di tutte le altre combinazioni e figure che costituiscono il cosmos, o "bell'ordine".

"E la nostra anima è composta dalla tetrade, essendo intelligenza, conoscenza, opinione, percezione, donde a noi vengono ogni arte e ogni conoscenza e la facoltà di ragionare"2 e inoltre "…la natura del numero si trova nella decade: infatti tutti i Greci e tutti i barbari contano fino al dieci, e poi, giunti ad esso, ritornano all’unità"2.

Il numero era il loro chiodo fisso.

"… e tutte le proprietà che potevano mostrare nei numeri e negli accordi musicali, corrispondenti alle proprietà e alle parti del cielo, e in generale a tutto l’ordine cosmico, le raccoglievano e gliele adattavano. E se qualche cosa mancava, si sforzavano d’introdurla, perché la loro trattazione fosse completa. Per chiarire con un esempio: poiché il dieci sembra essere un numero perfetto e contenere in sé tutta la natura dei numeri, dicevano che anche i corpi che si muovono nel cielo sono dieci; e poiché se ne vedono soltanto nove, aggiungevano come decimo l’antiterra"3.

 

Il rapporto tra la Musica e i numeri

"Laso di Ermione (e quelli della scuola di Ippaso di Metaponto) secondo che si tramanda, giudicando che la velocità e la lentezza delle vibrazioni onde nascono gli accordi fossero esprimibili secondo la serie dei rapporti numerici, otteneva questi rapporti servendosi di vasi. Prendeva infatti alcuni vasi tutti uguali, e, mentre ne lasciava uno vuoto, riempiva il secondo d’acqua fino alla metà; poi li percuoteva entrambi e otteneva il rapporto di ottava. Quindi, lasciando ancora vuoto uno dei vasi, riempiva l’altro per una quarta parte, e poi ancora li percuoteva entrambi e otteneva l’accordo di quarta; l’accordo di quinta l’otteneva quando riempiva il vaso per la sua terza parte. Il rapporto tra il vuoto di un vaso e quello dell’altro era dunque di 2 a 1 nell’accordo di ottava, di 3 a 2 nell’accordo di quinta, di 4 a 3 nell’accordo di quarta"4.

 

 

 

L’astronomia

Contrassegnò un progresso importante nel pensiero scientifico antico, poiché furono i primi a concepire la Terra come una sfera rotante con gli altri pianeti attorno a un fuoco centrale. Essi spiegarono l'ordine dell'universo come un'armonia di corpi contenuti da un'unica sfera che si muovono secondo uno schema numerico: poiché rappresentavano i corpi celesti reciprocamente separati da intervalli corrispondenti alle lunghezze armoniche delle corde, essi ritenevano che il movimento delle sfere producesse un suono, l'"armonia delle sfere".

Insomma, erano affascinati dai numeri e da certe loro regolarità.

Proviamo anche noi a fare, per un momento, il mestiere dei Pitagorici e scriviamo i quadrati dei numeri da 1 a 9 e a osservare l’ultima cifra a destra

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = ?

92 = ?

 

Cosa ci aspettiamo che compaia come cifra a destra del quadrato di 8 e di 9 ?… naturalmente il quattro e l’uno!

Anche se osserviamo le tavole numeriche nella colonna dei quadrati, le cifre a destra sono sempre le stesse : 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, ,4, 1 e, naturalmente anche lo zero.

Probabilmente i Pitagorici non si occuparono di questo aspetto, ma è ugualmente interessante notare queste regolarità (a me poi serve questo esempio per ciò che ho in mente di dire dopo) per capire come mai ciò che a noi fa solo un certo stupore, per loro era motivo di religiosità.

 

 

I Pitagorici e le regole

I Pitagorici dovevano seguire delle regole molto precise di comportamento sia nelle scelte di vita che nei comportamenti quotidiani. Una di queste regole impediva loro di divulgare all’esterno della scuola le "scoperte" e gli insegnamenti e vedremo che fu questa regola a "ritardare" il diffondersi di una scoperta che sconcertò tutti i Pitagorici e li mandò in crisi.

Stavano facendo calcoli con l’uso del Teorema di Pitagora quando si imbatterono in un triangolo rettangolo isoscele dai cateti lunghi "uno" (problema della diagonale e lato del quadrato).

Facciamo sul foglio il nostro calcolo e vediamo cosa succede: l’ipotenusa di questo triangolo sarà la radice quadrata di 2

12 + 12 = 1 + 1 = 2. Proviamo a fare l’estrazione della radice quadrata di 2.

Il risultato è un numero decimale e aggiungendo due zeri al resto per proseguire l’estrazione… non troveremo mai un numero (tranne lo zero, ma non avrebbe senso!) che moltiplicato per se stesso termini per zero, e di ciò ci siamo accorti prima con quel giochino dei quadrati.

Ma allora l’estrazione non finisce mai? Non solo non finisce, ma non ci saranno cifre decimali che si ripeteranno regolarmente (periodicamente); quindi siamo in presenza di un numero decimale illimitato aperiodico, cioè il numero irrazionale.

Uno dei dogmi del pitagorismo era stata la concezione secondo cui l'essenza di tutte le cose, sia in geometria, sia nelle questioni pratiche e teoriche della vita umana era spiegabile in termini di arithoms, cioè di proprietà contenute nei numeri interi e nei loro rapporti. Essi credevano che i corpi fossero costituiti di corpuscoli tutti uguali tra loro e disposti in forme geometriche. Questa convinzione in ambito geometrico portava a ritenere che anche i punti avessero un'estensione (sia pure piccolissima). Da ciò essi deducevano che un segmento dovesse essere formato da un numero finito di punti. Pertanto il rapporto di due segmenti doveva risultare uguale al rapporto di numeri interi che esprimevano quante volte il punto era contenuto in ciascuno dei due segmenti. In altre parole essi pensavano che il punto fosse il sottomultiplo comune a tutti i segmenti; cioè che tutti i segmenti fossero tra loro commensurabili (definizione: due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza omogenea alle prime due che è contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse).

L'esistenza di grandezze incommensurabili e conseguentemente dei numeri irrazionali contraddiceva non solo le loro convinzioni filosofiche, ma metteva anche in crisi il concetto di infinito della filosofia greca; non c'è da meravigliarsi perciò del fatto che fu proibito ai membri della setta di rivelare ad altri queste scoperte considerate blasfeme e sconcertanti.

In realtà gli umani (Pitagora si considerava al si sopra degli umani), che poi erano calabresi, siciliani, campani…) già non sopportavano tanto Pitagora ed i suoi seguaci perché si davano tante arie e trattavano con distacco tutti gli altri:

"Fino a che Pitagora fu pronto a conversare con chiunque gli si avvicinasse, fu gradito alla città, ma dopo che cominciò a intrattenersi soltanto coi suoi discepoli, perdette il favore. Perché, se accettavano di essere superati da lui, straniero, erano irritati con quelli del luogo che apparivano privilegiati; e insieme sospettavano che si unissero per sopraffarli"3, tanto che un giorno videro Pitagora a Locri e gli dissero: "Sappiamo, o Pitagora, che tu sei uomo intelligente e sapiente; ma noi siamo contenti delle nostre leggi e vogliamo che restino così come sono: tu dunque, se hai bisogno di qualche cosa, prenditela, ma vattene altrove"5.

Egli, si dice, che andò prima a Taranto poi nel Metaponto dove morì dopo aver digiunato per 40 giorni. Un certo Filolao (500 a.C.) divulgò la notizia del numero irrazionale e… finì male.

 

 

La storicizzazione della matematica

 

Gli alunni, affascinati dal racconto (la storicizzazione della matematica e della sua evoluzione è un elemento determinante per una presa di coscienza delle dimensioni e contesto storico e... per indurre motivazione all’apprendimento) vedono che la storia e finita, non si accorgono che sta per suonare la campanella dell’ora ed allora ne approfitto per "affondare" un ultimo concetto.

Sappiamo che per fare i calcoli con i numeri razionali possiamo trasformarli, soprattutto se sono illimitati, in frazioni (frazioni generatrici), altrimenti sarebbe impossibile (tranne rivolgendosi all’approssimazione) lavorare con numeri con infinite cifre decimali.

E con gli irrazionali, come la mettiamo? I Pitagorici certamente non sapevano dove sbattere la testa, noi oggi sappiamo difenderci da essi lasciandoli sotto forma di radice (senza estrazione) e facendo i calcoli con il simbolo di radice compreso (radicali).

 

* Insegnante Scuola Media Statale, Torino.

 

NOTE

1. Porfirio, Vita Pythagorae 6

2. Aezio I 3, 8

3. Aristotele, Metaphysica A 5. 985 b 23

4. Teone di Smirne, 59.4

5. Porfirio, Vita Pythagorae 56