Casualità

Strumenti per la
GENERAZIONE DI NUMERI CASUALI
nei giochi

di F. Germanà

Pur non amando l'elemento aleatorio nei giochi - diciamo pure "disprezzandolo" - sono stato da sempre affascinato dagli strumenti utili a generare numeri casuali.
Lungi da visioni probabilistiche o deterministiche dell'universo (Heisenberg e Laplace ci perdoneranno), con il termine "casuale" qui si intende un valore numerico non conosciuto prima della sua palese manifestazione. Resta valida la definizione del matematico italo-austriaco Bruno de Finetti che definiva numero aleatorio un numero ben determinato ma non noto per carenza di informazioni.
In codesta trattazione si preferiscono i sistemi meccanici e/o manuali a quelli elettronici/informatici.
Gli strumenti/giochi trattati in questo articolo sono in seguenti:

Rotazione/Centrifuga	Caduta/Gravità	Volontà/Abilità	Estrazione/Caos
Roulette	Astragali	Pari e dispari	Tombola e Lotto
Roulette tirolese	Bastoncino	Freccette	Carte
Trottola	Dadi	Evento terzo	.
Ruota della fortuna	Libro.	.	.
Dreidel	.	.	.
Machina de la sorte	.	.	.

Lo strumento d'alea più antico di cui siamo a conoscenza è il "bastoncino". Si tratta di un legno piatto, di dimensioni ridotte, i cui due lati sono differentemente colorati; con tinte chiare (colore naturale del legno o bianco) o scure (nero o rosso bruno). La combinazione dei colori ottenuti in seguito ad un lancio dei bastoncini determina valori casuali. Una applicazione pratica ed esemplificativa la si può trovare nel Senet.

Gli astragali (dal greco astragalos) erano usati diffusamente in varie aree dei Paesi mediterranei, sin da tempi antichissimi. Si possono considerare a tutti gli effetti gli antesignani degli odierni dadi. L'astragalo è un ossicino che fa parte dell'articolazione del piede di alcuni animali, è l'osso corto situato nella parte superiore del tarso che si articola con la tibia, il perone, il calcagno e lo scafoide. Per il gioco venivano usate ossa di conigli, capre, maiali, buoi o montoni. Successivamente vennero realizzati manualmente degli astragali "finti" prevalentemente in argilla, pietra, avorio o altro materiale. Gli astragali hanno una conformazione simile a quella di un parallelepipedo dalla forma allungata e stretta, in maniera tale da poter disporre di 4 lati utili e 2 lati inutilizzabili, facilmente distinguibili per la loro superficie ridotta. Infatti, due facce sono minuscole ed inutili ai nostri fini visto che l'astragalo non può restare dritto su una di esse, delle altre ... due sono piatte, una concava, una convessa ed a ognuna è attribuito un valore diverso. L'astragalo può cadere su una delle quattro facce, mostrando in alto quella opposta il cui valore può essere 1 (Monas), 3 (Trias), 4 (Tetras), 6 (Hexas) (secondo altre fonti i valori erano 1, 2, 3, e 6).

Un aspetto curioso ma assolutamente interessante riguarda i valori dei lati contrapposti la cui somma dava come totale 7 (somma 7), esattamente come avviene ancora oggi con i tradizionali dadi cubici.
Sappiamo per certo che esistevano anche degli astragali dipinti, poiché dei ritrovamenti archeologici ne hanno restituiti alcuni ben conservati. Uno di questi è quello risalente al 460 a.C., di bellezza straordinaria e di sopraffina fattura, è attribuito all'opera di Sotades () e raffigura sui lati delle fanciulle danzanti. E' conservato presso il British Museum di Londra. Lo vedete nella foto che segue.

Gli astragali, oltre che come strumento da gioco, venivano usati anche come mezzo di divinazione, per predire il futuro. Per rispondere ad una domanda specifica si utilizzavano di preferenza i tarsi di una pecora lanciati all'interno di un cerchio. Il vate poteva anche scrivere delle lettere sulle facce degli astragali che venivano riposti in un recipiente prima di essere mischiati e prelevati per comporre messaggi da interpretare.
Grazie ai ritrovamenti effettuati sappiamo anche che gli astragali facevano parte del corredo funerario dei defunti, o erano portati in dono alle divinità e lasciati come offerta all'interno dei templi.

I dadi (lat. datum, deriv. da datus, p.p. di dare.) veri e propri a sei facce, in osso o avorio, sono rintracciabili fin dal 2000 a.C. in Cina o dal 600 a.C. in Egitto. Oggi esistono dadi di svariate forme e colori, usati come gioco a se stante, o come elemento funzionale per giochi più complessi. Ogni dado è individuabile con una sigla che ne identifica la tipologia. Il tipo più comune è il D6, cioè un dado con 6 facce. Tuttavia, ve ne sono di inconsueti e stravaganti per forma e numero di facce, riproducenti differenti solidi (platonici e non platonici), dal piccolo D3 al quasi sferico D100.
Qualche volta è possibile trovare un codice più lungo in cui il primo numero identifica la quantità dei dadi; es. 4D12 indica quattro dadi a dodici facce.
Questi dadi multifaccia più rari si sono diffusi grazie ai giochi di ruolo che ne fanno largo uso.
Come si diceva, i comuni dadi D6 sono la naturale evoluzione degli astragali. I D6 regolamentari sono a "somma 7", cioè sommando i valori presenti sulle facce contrapposte del dado il risultato darà sette. Dal lato opposto del numero 1 troveremo il 6, del 2 il 5, e del 3 il 4.

Una valida alternativa al dado - che non siamo in grado di datare correttamente - è rappresentata dalla "trottola" o "trottola numerica".
Su queste trottole i numeri sono segnati sui lati, alla fine della rotazione solo un lato si fermerà a contatto sul piano determinando così il numero.
A questa stessa categoria appartengono le trottole con su segnati i simboli "1", "X", e "2" usate per la divinazione dei pronostici del Totocalcio. Gradualmente sono passate in disuso in concomitanza con la progressiva riduzione di popolarità del Totocalcio stesso.
Un ruolo particolare è riservato alla Dreidel (o sevivon), oggetto rituale della tradizione culturale e della religione ebraica.

Questo tipo di trottola deriva dal girlo a quattro facce in uso tra gli antichi romani. I quattro lati su cui la trottola si può fermare contenevano le lettere P, A, N, T, iniziali delle parole latine Pone Accipe Nihil Totum (metti nel piatto una posta; prendi dal piatto una posta; niente: passa il turno; tutto: prendi tutte le poste presenti nel piatto). I Dreidel riportano sui lati le lettere ebraiche, che in questo caso sono le iniziali della frase Nes Gadol Hayah Sham (miracolo grande avvenne là). Si è certi che questa trottola era conosciuta tra diverse popolazioni Europee, probabilmente grazie alla dominazione romana, ed infatti era sicuramente usata in Francia, Inghilterra, e Germania.

In questo ambito sembra opportuno trattare un gioco tradizionale Tirolese noto con il nome roulette Tirolese. In questo gioco di fortuna i contendenti si sfidano a raggiungere il punteggio più elevato sfruttando delle palline spinte da un trottola verso delle buche numerate diversamente. Le quattro ad angolo sono quelle con il punteggio più elevato. L'esempio in figura è esemplificativo.

Un ulteriore mezzo per generare numeri casuali è la roulette. La si può certamente considerare il simbolo principe del gioco di azzardo, infatti è presente in ogni casinò del mondo.
Nella roulette una ruota provvista di scanalature numerate ed una pallina ruotano in senso opposto sin tanto che la spinta permette il moto. Quando entrambe (pallina e ruota) si fermeranno, la posizione occupata dalla pallina determina il valore. I numeri usati nel gioco della roulette vanno dall'uno al trentasei, con in più le cifre "0" e "00" (il doppio zero è stato rimosso dalle moderne roulette).
Inoltre, i numeri sono differentemente colorati, in nero ed in rosso per consentire scommesse in denaro anche sul colore.
Le origini di questo gioco risalirebbero al 1600 e sarebbero legate al noto matematico, fisico e filosofo francese Blaise Pascal (19 giugno 1623 - 19 agosto 1662).
Pascal - uno dei padri degli studi sulla probabilità - avrebbe ideato una nuova macchina chiamata "rouler". Nel giro di circa un secolo il gioco della roulette diventa molto popolare in Francia, e si diffonde negli Stati Uniti, approdando a New Orleans. Nonostante la sua avversione al gioco Napoleone I° risparmiò la roulette che, invece, fu vietata a seguito della disposizione dettata nel 1838 da Luigi Filippo che decise di chiudere le sale da giuoco francesi in cui veniva praticato quel gioco. Questo divieto favorì il proliferare di case di gioco in altri Paesi, specialmente in Germania. Dopo la Rivoluzione Francese le case da giuoco vennero poste sotto sorveglianza, furono inviati degli ispettori e fu introdotta la figura del croupier, entrambi erano a loro volta controllati da funzionari statali.
Simile come concezione è la più antica Ruota della fortuna, costituita da un disco posto in verticale, con numeri stampati lungo tutta la circonferenza. Come conseguenza della rotazione causata dalla spinta manuale del giocatore, il numero posizionato in alto rappresenta il valore casuale che si intendeva ottenere.
Ancora più simile alla roulette è La macchina della sorte, conosciuta anche come La macchina del caso di Leonardo, che è raffigurata nell'immagine che segue.

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Il modello in figura era un elemento del gioco da tavolo "Leonardo" edito dalla EG (Editrice Giochi). Non si tratta di un'invenzione di Leonardo DaVinci ma di Marco Donadoni che l'ha disegnata secondo lo "spirito" del genio toscano. Come forse si nota dall'immagine, si trattava di una sorta di mini roulette con una base e una parte centrale a forma di torre rotante su un perno posto al centro della base stessa. Le palline colorate cadevano dalla torre attraverso un foro centrale e finivano casualmente in uno dei dodici settori numerati. Il prototipo in legno funzionava perfettamente, ma la realizzazione in plastica della "machina" presentò dei problemi. Si scoprì che la parte centrale non ruotava bene, riusciva a compiere un giro e mezzo al massimo per poi fermarsi producendo un effetto diametralmente opposto da quello desiderato dai progettisti.
Mentre il prototipo aveva un certo peso, la versione commerciale in plastica era troppo leggera e, ovviamente, meno precisa. C'era un minimo di gioco fra il perno e la torre e questa entrava in una sorta di "oscillazione" che ne bloccava il movimento. La soluzione al problema la trovò Riccardo Mazzoletti, responsabile della produzione EG, inserendo all'interno della base un dischetto di gommapiuma che distribuiva l'energia sviluppata dal movimento su una superfice più ampia, con un effetto di ammortizzazione che evitava l'insorgere del problema.

Tipico della tradizione natalizia è il sacchetto dei numeri per la Tombola ed il Lotto, entrambi giochi molto popolari in tutta Europa.
All'interno di un sacco di stoffa sono contenuti 90 oggetti identici (palline, dischetti, etc.) su cui sono riprodotti i numeri dall'uno al novanta.

L'estrazione fatta alla cieca, dopo opportuna mischiata, garantisce la necessaria imprevedibilità per realizzare ambo, terno, quaterna, cinquina, e l'ambita Tombola.
L'estrazione dei numeri è un ottimo metodo per generare numeri casuali non ripetitivi compresi all'interno di un determinato intervallo (es. 1-90).
Le origini di questo gioco non sono certe. Sappiamo che un gioco simile era praticato dagli antichi romani nel periodo dei Saturnalia (Dicembre), durante i quali venivano distribuiti ai partecipanti delle tavolette di legno su cui erano incisi dei numeri, per poi essere estratti dando vita ad una procedura molto simile alle attuali lotterie.
Le origini del lotto come lo intendiamo oggi vengono fatte risalire al 1576 a Genova. In quegli anni l'ammiraglio GianAndrea Doria principe di Melfi (nipote del più famoso Andrea Doria) impose al governo di Genova una nuova organizzazione politica per ridurre i contrasti tra vecchia e nuova nobiltà cittadina. Decise che per sostituire i cinque membri dei serenissimi collegi - 3 membri del Senato e 2 membri del Consiglio dei Procuratori - sarebbero stati estratti a sorte 5 nobili ogni due anni, venendo scelti tra un gruppo di 120 padri. Si diffuse tra la gente l'usanza di scommettere sui nomi dei nobili che sarebbero usciti dalle urne, dette anche “seminari”. Essendo le scommesse ritenute lesive per l'onorabilità dei candidati oggetto delle puntante e per la cerimonia di nomina stessa, il Governo della Repubblica di Genova proibì tali scommesse e previde delle punizioni per coloro che trasgredivano. Il gioco rimase clandestino per tanto tempo, finché fu legalizzato nel 1643, anno in cui fu regolamentato ed opportunamente tassato. Successivamente i papabili furono ridotti da 120 a 90 ed i nomi sostituiti da numeri. Secondo la tradizione chi codificò per primo le regole del gioco sarebbe stato il genovese Benedetto Gentile. A quei tempi questo gioco che noi chiamiamo Lotto era conosciuto come gioco del seminario, che in genovese si chiama ancora adesso zeugo do semenajo.
Nel 1732 veniva praticato il gioco delle zitelle, che deriva dal precedente. In questo gioco di scommesse i rispettabili nomi dei nobili vennero sostituiti da quelli di 90 giovani donne in età da marito, ma prive di dote adeguata. Alle ragazze partecipanti ed estratte veniva riconosciuta una somma di denaro proprio come dote. Il gioco si diffuse rapidamente anche grazie ai mercanti/naviganti genovesi sin tanto che approdò a Napoli che lo adottò subito come proprio (nonostante severi divieti) e dove nacque la famosa smorfia.
Il gioco divenne legale sotto il Regno d'Italia nel 1863, anno in cui il venne strutturato in maniera simile a quella attuale. Vennero individuate delle "ruote" che inizialmente furono otto, da cui il nome Lotto.

Anche un comune Libro può essere un eccellente strumento adatto al nostro scopo. Lo si può aprire "a caso" e considerare in questa maniera il numero della pagina così selezionata, oppure - meglio - lasciare cadere il volume in modo tale che si apra da solo.
E' interessante sapere che esistono vari libri-gioco che hanno un disegno di dadi nell'angolo, per "normalizzare" tale sistema. Ad esempio questa trovata è utilizzata nei libri-gioco "In cerca di fortuna" e in "Il gobbo maledetto" (entrambi con un dado D6 per pagina).

Un metodo ancora più semplice ed immediato, che non necessita di alcun componente è il "Pari e Dispari". Come si evince dal nome, quello che si vuol individuare non è una cifra specifica, ma più semplicemente l'appartenenza all'insieme dei "pari" o dei "dispari".
Due persone, in un preciso momento, contemporaneamente, producono ciascuna un numero compreso tra 0 e 5, indicandolo con le dita di una sola mano.
La somma dei valori delle mani dei due individui determina l'esito. La probabilità di verificarsi dei due eventi non è perfettamente uguale, essendoci 18 casi di possibile valore dispari, e solo 17 pari. La giocata 0 e 0 viene considerata nulla, e va ripetuta.

Casi dispari		Casi pari
0-1 0-3 0-5 1-0 1-2 1-4 2-1 2-3 2-5 3-0 3-2 3-4 4-1 4-3 4-5 5-0 5-2 5-4		0-0 0-2 0-4 1-1 1-3 1-5 2-0 2-2 2-4 3-1 3-3 3-5 4-0 4-2 4-4 5-1 5-3 5-5
Totale giocate dispari 18		Totale giocate pari 17 (+1)

Il valore zero 0 risultante da una doppia giocata 0 e 0 non è considerato pari, nonostante - ovviamente - lo sia. Per tradizione ludica, storicamente, la giocata nulla viene ripetuta.
Anche se è vero che da alcuni giocatori viene contemplata e, naturalmente, messa nel novero dei Pari ristabilendo un perfetto equilibrio tra i due possibili eventi.

La sequenza in cui la probabilità pende maggiormente a favore del "Dispari" è quella in cui uno dei due giocatori punta 0. Infatti, supponendo che il primo giocatore punti sempre 0, le possibili combinazioni sono:

0-0: Nullo
0-1: Dispari
0-2: Pari
0-3: Dispari
0-4: Pari
0-5: Dispari

Escludendo il risultato nullo, la probabilità che esca "Pari" è uguale al 40% (2/5) mentre la probabilità che esca "Dispari" è uguale al 60% (3/5). In conclusione, quando giocate a "Pari e Dispari", scommettete
sul dispari e buttate zero.
(Vedi anche Par-Impar nell'articolo Nuces >>)

Vale la pena accennare ad altri oggetti consoni a produrre numeri casuali. Carte, Freccette.

I giochi di carte sono molto popolari e diffusi in tutto il mondo, tantissimi giochi fanno parte della ricchissima tradizione ludica italiana (tra tutti la scopa e la briscola) e sono praticati tanto da giocatori giovani quanto da anziani.
Per la loro stessa natura - essendo contrassegnate ciascuna da un numero - le carte da giuoco si prestano molto bene per i nostri scopi "aleatori".
Anche il gioco delle freccete, con il suo consueto bersaglio costituito da cerchi concentrici di diverso valore, può essere facilmente usato per ottenere dei valori casuali a seguito di un lancio. Le freccette sono un gioco praticato un po' ovunque (specialmente nei Paesi anglosassoni e nord europei).
Un ulteriore metodo che si può tenere in considerazione è quello che chiamo "evento terzo". Il numero, in questo caso, è determinato da fattori completamente indipendenti dai giocatori (non devono lanciare, estrarre, o spingere nulla). Alcuni esempi possono essere: il numero di automobili che passano sotto un ponte entro un preciso intervallo di tempo; il numero di animali al guinzaglio, o di persone vestite di rosso, di uomini in divisa, etc. etc. etc.

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-Definizioni di probabilità:
Definizione di Laplace o CLASSICA: La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano ugualmente possibili. In altri termini, la probabilità P (E) di un evento E è il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili.

Definizione di Von Mises o FREQUENTISTICA: In conseguenza dei progressi delle scienze sperimentali e dalle critiche alla limitatezza della definizione classica si sviluppò una nuova concezione della probabilità. Trova applicazione per esperimenti casuali i cui eventi elementari non sono ritenibili equiprobabili, ma l'esperimento è ripetibile più volte sotto le stesse condizioni. La probabilità di un evento è associata alla frequenza relativa del verificarsi dell'evento stesso, su un elevato numero di prove (tendenti all'infinito). Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l'evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate:

La frequenza dipende non solo da n , numero delle prove fatte, ma, per uno stesso n , può variare al variare del gruppo delle prove, cioè se, per esempio, si lancia 100 volte una moneta e si presenta testa 46 volte, effettuando altri 100 lanci, testa si può presentare un altro numero di volte, ad esempio 52; ne segue che la frequenza per il primo gruppo di lanci è 46/100, per il secondo è 52/100. sono storici gli esperimenti di Buffon e Pearson . Buffon lanciò 4.040 volte una moneta ottenendo testa 2.048 volte con una frequenza 0,5069. Il Pearson in un primo esperimento con 12.000 lanci ottenne testa 6.019 volte, con frequenza 0,50158; in un secondo esperimento ottenne, su 24.000 lanci, 12.012 volte testa, con frequenza 0,5005. Quindi la frequenza, al crescere del numero delle prove, si avvicina ordinariamente al valore 0,5 della probabilità dell'evento viene testa, calcolato con l'impostazione classica.

Grazie a ciò si giunge ad enunciare, per eventi per i quali si può calcolare la probabilità, la cosiddetta legge empirica del caso: in una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza <<tende>> ad assumere valori prossimi alla probabilità dell'evento e, generalmente, l'approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le prove eseguite

Definizione di De Finetti, Savage, Ramsey o SOGGETTIVA: La probabilità di un evento è fornita secondo l'esperienza personale e le informazioni disponibili. Per taluni tipi di eventi non è possibile valutare la probabilità né secondo la concezione classica, perché non si possono determinare i casi possibili e i casi favorevoli, né secondo la concezione frequentista, perché gli eventi non sono ripetibili; in questi casi si stima la probabilità in base allo stato d'informazione. Basti pensare ad interrogativi di questo genere:

Che probabilità ha il concorrente X di vincere quella gara di nuoto?
Che probabilità ha quel nuovo tipo di maglione di rispondere ai gusti del mercato?

La probabilità P(E) di un evento E è la misura del grado di fiducia che un individuo attribuisce, in base alle sue informazioni e alle sue opinioni, al verificarsi dell'evento E.

-Studi sulla probabilità e sul gioco:
I primi studi che portarono successivamente a concetti legati alla probabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadi di Galileo Galilei (pubblicato nel 1656) nei quali i due autori ottengono degli elenchi di numeri facendo ricorso alle permutazioni.

Il problema della ripartizione della posta in gioco nel caso che un gioco d'azzardo debba essere interrotto, venne affrontato da Luca Pacioli, noto anche come Fra Luca dal Borgo, nella sua Summa de arithmetica, geometria, Proportioni et proportionalita (pubblicata nel 1494) e successivamente da Tartaglia, per poi essere risolto da Pascal e Fermat.

La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a due grandi scienziati quali erano Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), in particolar modo nella corrispondenza che si scambiavano discutendo di un problema legato al gioco d'azzardo: Se si lanciano più volte due dadi, quanti lanci sono necessari affinché si possa scommettere con vantaggio che esca il doppio sei?
(nota: vedi riquadro sul calcolo delle probabilità)

Nello stesso periodo Christiaan Huygens (1629-1695) scrive de ratiociniis in aleæ lugo nel quale utilizza il concetto di valore atteso e il campionamento statistico con e senza riposizione (vedi rispettivamente v.c. ipergeometrica e v.c. binomiale).

I suoi lavori influenzano tra l'altro Pierre de Montmort (1678-1719) che scrive nel 1708 Essai d'analyse sur le jeux de hasard, ma anche Jakob Bernoulli e Abraham de Moivre.

Pascal annuncia nel 1654 all'Accademia di Parigi che sta lavorando sul problema della ripartizione della messa in gioco. E in una lettera del 29 luglio dello stesso anno a Fermat propone la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni.

Nel 1713 Jakob Bernoulli formula in Ars conjectandi il primo teorema limite, ovvero la legge dei grandi numeri.

Solo nel '900, negli anni '30, si viene a creare pure una moderna teoria della probabilità grazie soprattutto a Andrey Nikolaevich Kolmogorov che nel 1933 sviluppa la teoria assiomatica in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ispirandosi alla teoria della misurazione o delle scale di misura il cui dibattito - in quel periodo - era particolarmente acceso tra le psico-discipline.

Nella prima metà del '900 si imposta anche la teoria soggettivista, la cui formulazione è dovuta a Bruno de Finetti.