Polinomi

Si dice espressione algebrica ogni funzione che  consiste nell’operare con le quattro operazioni su numeri reali relativi rappresentati tutti, o in parte, da lettere.

 

Esempio:

La prima espressione si dice intera e la seconda frazionaria.

 

Le espressioni sono formate da monomi, (esempio 2x, 3ab etc..), a loro volta costituiti da coefficiente (il numero) e parte letterale.

In particolare due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale, uguali se hanno anche lo stesso coefficiente.

 

Tra monomi si possono definire le seguenti operazioni:

 

Si dice polinomio un monomio, o un’espressione algebrica che rappresenta la somma di più monomi.

 

Costanti e variabili

Scrivendo delle espressioni, non sempre le lettere rappresentano delle variabili, a volte rappresentano dei valori fissi detti costanti.

E’ necessario distinguere bene tra costanti e variabili per poter effettuare correttamente le operazioni.

Esempio:

Se consideriamo a e b come costanti, il polinomio è costituiti da due monomi simili che si possono sommare scrivendo .

Se consideriamo anche a e b come variabili, i due monomi non sono simili poiché hanno diversa parte variabile.

 

Operazioni con i polinomi

 

Si possono definire le quattro operazioni sui polinomi, prestando la dovuta attenzione per quanto riguarda la divisione.

Somma

La somma di polinomi è un polinomio che si ottiene semplicemente addizionando i singoli monomi di ogni polinomio della somma, riducendo tutti i monomi simili.

Esempio:

Prodotto di un monomio per un polinomio

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio.

Esempio:

Divisione di un polinomio per un monomio

Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio non nullo, se esiste un altro polinomio il cui prodotto per il monomio è uguale al polinomio dato.

La condizione di divisibilità è che ciascun termine del polinomio sia divisibile per il monomio.

Esempio:

Prodotto di due polinomi

Il prodotto di due polinomi è il polinomio ottenuto moltiplicando ogni termine di uno di essi per tutti i termini dell’altro.

In pratica si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Esempio:

Prodotti notevoli

Divisione di due polinomi

Consideriamo i polinomi in una sola variabile, ordinati secondo le potenze decrescenti della stessa.

Il polinomio A(x) si dice divisibile per il polinomio B(x), se esiste un polinomio Q(x) tale che:

A(x)=B(x)*Q(x)

B(x) si dice divisore e Q(x) si dice quoziente.

Esempio:

Siano

considerando che

si può considerare Q(x)=x+2 il quoziente tra A(x) e B(x).

 

Se i due polinomi non sono perfettamente divisibili, considerando il resto della divisione, si può sempre affermare che:

 

Se A(x) e B(x) sono due polinomi, ordinati secondo le potenze decrescenti della x e se B(x) non è il polinomio nullo, esistono (sempre) due polinomi unici, Q(x) e R(x), che soddisfano le seguenti condizioni:

A(x)=B(x)*Q(x)+R(x)

Dove il grado di R(x) è minore del grado di B(x).

R(x) si dice resto.

 

La regola dice:

1)     ordinare i due polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile, avendo cura di indicare con uno 0 i termini mancanti.

2)     Si divide il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore, ottenendo il primo termine del quoziente.

3)     Si moltiplica il primo termine del quoziente per il divisore e si sottrae il risultato dal dividendo, ottenendo il primo resto parziale.

4)     Si ripete dal punto 2) utilizzando il resto parziale invece del dividendo.

5)     Il ciclo finisce quando il resto parziale ha grado inferiore al divisore. Questo è il resto della divisione.


 

Esempio:

 

Teorema di Ruffini

Il polinomio A(x) è divisibile esattamente per il binomio (x+a) se, e solo se, A(-a)=0, cioè il polinomio A(x) si annulla per x=-a.

 

Tale teorema è utile quando si devono scomporre i polinomi.

 

Scomposizione di polinomi

Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo sotto forma di un prodotto di due o più polinomi di grado minore.

 

Alcuni semplici metodi sono:

  1. Raccoglimento a fattor comune:
    1. Totale: ab+ac-ad=a(b+c-d)
    2. Parziale: ab+ac-db-dc=a(b+c)-d(b+c)=(a-d)(b+c)
  2. Uso delle regole sui prodotti notevoli:
  3. Scomposizione di un trinomio di 2° grado:
  4. Regola di Ruffini: esempio: