Soluzione Quesito 3/1 - Un po' di algebra

Poiché X³ + Y³ è divisibile per X + Y eseguiamo la divisione fra i due polinomi, ottenendo: (X³ + Y³)/(X + Y) = X² - XY + Y² da cui risulta che possiamo scrivere: X³ + Y³ = (X + Y) * (X² - XY + Y²), ma sostituendovi i valori che abbiamo (cioè X³ + Y³ = 8100 e X + Y = 30), otteniamo: 8100 = 30 * (X² - XY + Y²), dalla quale ricaviamo: X² - XY + Y² = 270. Lasciamo un attimo in sospeso tale equazione e cerchiamo di ricavare il valore di XY a noi ancora sconosciuto. Per farlo usiamo una piccola astuzia: aggiungendo e togliendo al primo membro dell'equazione lasciata in sospeso la quantità 2XY otteniamo: X² + 2XY + Y² - 2XY - XY = 270 ossia (X + Y)² - 3XY = 270. Sostituendovi la X + Y = 30 otteniamo 30² - 3XY = 270 che fornisce XY = 210. Sostituendo ora tale valore nell'equazione lasciata in sospeso otteniamo: X² - 210 + Y² = 270 dalla quale segue che: X² + Y² = 480.

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