Soluzione Quesito 3/2 - Numeri primi

Siano D1=2*n+1 e D2=2*(n+1)+1 due numeri dispari consecutivi. Dimostriamo che essi sono primi fra loro, cioè che il loro unico divisore comune è 1. Supponiamo, PER ASSURDO, che essi abbiano un divisore comune p diverso da 1, con p appartenente all'insieme dei numeri naturali N (cioè supponiamo che D1 e D2 non siano primi fra loro). Allora abbiamo che 2*n+1=p*q1 e 2*(n+1)+1=p*q2, dove q1, q2 sono numeri naturali la cui differenza è q2-q1=n1 (infatti, poiché D2>D1, si ha che q2>q1). Dalle due equazioni appena viste ricaviamo allora che q1=(2*n+1)/p e q2=(2*(n+1)+1)/p. Pertanto abbiamo che n1=q2-q1=(2*(n+1)+1)/p+(2*n+1)/p=2/p. Ma n1 è un numero naturale, quindi dovrà essere per forza p=1 (cioè n1=2) oppure p=2 (cioè n1=1). Noi abbiamo supposto p diverso da 1. Quindi ci rimane p=2. Ma allora D1 e D2 sono entrambi divisibili per 2 e questo vuol dire che D1 e D2 sono numeri pari. Ciò è ASSURDO perché per ipotesi i due numeri considerati erano dispari. Concludiamo che l'ASSURDO a cui siamo arrivati deriva dal fatto di aver supposto p diverso da 1. Abbiamo quindi dimostrato che deve per forza essere p=1 e, quindi, i numeri iniziali devono essere primi fra loro.

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