Aree e volumi

Basta imparare a memoria le formule per aree e volumi! Ricordando i seguenti disegni (il che è facile) riuscirete a ricostruirle facilmente ogni volta.

Figure piane

Rettangolo
Il rettangolo è un quadrilatero (4 lati) che ha i lati 2 a 2 paralleli e della stessa lunghezza e tutti gli angoli retti.

Per le figure piane bisogna prendere come figura di riferimento il rettangolo. Dopo aver capito come si calcola la sua area, capiremo anche come si calcola l' area delle altre figure (quasi tutte) in modo molto intuitivo.
Prendiamo un' unità di misura per la lunghezza. La corrispondente unità di misura per l' area sarà un quadrato che ha per lato l' unità di misura per la lunghezza. Se ad esempio prendiamo i centimetri per la lunghezza, useremo i centimetri quadrati per l' area.
Dalla figura è evidente che l' area del rettangolo si calcola moltiplicando tra loro le lunghezze dei 2 lati. I quadratini rappresentano l' unità di misura dell' area (il loro lato quella della lunghezza). Accertatevene voi stessi. Si può osservare che la formula vale anche se i lati non hanno come lunghezza un numero intero.
Quindi se chiamiamo la lunghezza di un lato a, l' altra b e la superficie s, possiamo scrivere
s=ab

Quadrato
Il quadrato è un quadrilatero che ha tutti i lati della stessa lunghezza e a 2 a 2 paralleli e tutti gli angoli retti.

Il quadrato non è altro che un rettangolo particolare, cioè tale che a=b. Perciò l' area si calcola allo stesso modo.
Quindi se chiamiamo la lunghezza del lato a e la superficie s, possiamo scrivere
s=aa o più correttamente s=a2

Parallelogrammo
Il parallelogrammo (o romboide) è un quadrilatero che ha i lati 2 a 2 paralleli e della stessa lunghezza (un caso particolare di parallelogrammo è il rettangolo).

Per calcolare l' area del parallelogrammo possiamo rifarci all' area del rettangolo. Dobbiamo osservare che l' area di un parallelogrammo è esattamente uguale all' area di un rettangolo che ha la stessa base e il secondo lato uguale all' altezza del parallelogrammo. Diventa tutto più chiaro se si osserva la figura, dove l' area verde è uguale all' area del parallelogrammo di partenza.
Quindi se chiamiamo la lunghezza di un lato a, l' altezza h e la superficie s, possiamo scrivere
s=ah

Rombo
Il rombo è un quadrilatero che ha tutti i lati della stessa lunghezza e a 2 a 2 paralleli (un caso particolare di rombo è il quadrato).

Il rombo non è altro che un romboide (o parallelogrammo) particolare, cioè tale che a=b. Perciò l' area si calcola allo stesso modo.
Quindi se chiamiamo la lunghezza del lato a, l' altezza h e la superficie s, possiamo scrivere
s=ah

Triangolo
Il triangolo è una figura a 3 lati.

Per calcolare l' area del triangolo possiamo rifarci all' area del parallelogrammo. Dobbiamo osservare che l' area di un triangolo è esattamente la metà dell' area di un parallelogrammo che ha la stessa base e l' altezza uguale all' altezza del triangolo. Diventa tutto più chiaro se si osserva le figure, dove nella prima l' area viola è uguale all' area bianca e nella seconda le 2 aree gialle sono uguali tra loro e lo stesso vale per le aree verdi.
Quindi se chiamiamo la lunghezza della base a, l' altezza h e la superficie s, possiamo scrivere
s=ah/2

Trapezio
Il trapezio è un quadrilatero che ha 2 lati paralleli tra loro.

Per calcolare l' area del trapezio possiamo rifarci all' area del parallelogrammo. Dobbiamo osservare che l' area di un trapezio è esattamente uguale alla metà dell' area di un parallelogrammo che ha la stessa altezza e come base un lato di lunghezza pari alla somma delle lunghezze dei 2 lati paralleli del trapezio. Diventa tutto più chiaro se si osserva la figura, dove l' area verde è uguale all' area gialla.
Quindi se chiamiamo la lunghezza della base a, la lunghezza del lato parallelo alla base c e l' altezza h e la superficie s, possiamo scrivere
s=(a+c)h/2

Cerchio
Il cerchio è la figura che ha come bordo tutti i punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso (il centro).

Per il cerchio non si possono fare ragionamenti simili a quelli sopra, ma possiamo immaginare di costruire un quadrato che abbia come lato il raggio del cerchio e di valutare poi quante volte questo quadrato sta nel cerchio. Diventa tutto più chiaro se si osserva la figura, dove l' area verde è il quadrato menzionato.
Se chiamiamo la lunghezza del raggio r (d è il diametro) e la superficie s, possiamo scrivere
s=r2, dove è la lettera greca pi che sta a indicare una particolare costante numerica.
~3,1415926535 ma di solito si arrotonda a 3,14 (~ significa "è circa uguale a").

Corona circolare
La corona circolare è la figura che sta tra 2 cerchi che hanno lo stesso centro (nella figura è l' area in rosso).

Dal disegno è chiaro che l' area della corona circolare si calcola sottraendo dall' area del cerchio maggiore l' area del cerchio minore. La formula però si può semplificare un po'. Se chiamiamo la lunghezza del raggio maggiore R, la lunghezza del raggio minore r e la superficie s, possiamo scrivere
s=R2-r2
s=(R2-r2)
s=(R2-r2)

Solidi

Cuboide
Il cuboide è un esaedro (6 facce) che ha le facce a 2 a 2 parallele e uguali -sono rettangoli- e tutti gli angoli tra esse retti.

Per i solidi bisogna prendere come riferimento il cuboide. Dopo aver capito come si calcola il suo volume, capiremo anche come si calcola il volume degli altri solidi (quasi tutti) in modo molto intuitivo.
Prendiamo un' unità di misura per la lunghezza. La corrispondente unità di misura per il volume sarà un cubo che ha per lato l' unità di misura per la lunghezza. Se ad esempio prendiamo i centimetri per la lunghezza, useremo i centimetri cubi per il volume.
Dalla figura è evidente che il volume del cuboide si calcola moltiplicando tra loro le lunghezze dei 3 lati. I cubetti rappresentano l' unità di misura del volume (il loro lato quella della lunghezza). Accertatevene voi stessi. Si può osservare che la formula vale anche se i lati non hanno come lunghezza un numero intero.
Quindi se chiamiamo la lunghezza di un lato a, le altre b e c e il volume v, possiamo scrivere
v=abc
Siccome l' area del rettangolo che è la superficie di base è uguale ad ab, possiamo notare che il volume del cuboide si calcola moltiplicando l' area della superficie di base con il terzo lato.

Cubo
Il cubo è un esaedro che ha tutte le facce uguali -sono quadrati- e a 2 a 2 parallele e tutti gli angoli tra esse retti.

Il cubo non è altro che un cuboide particolare, cioè tale che a=b=c. Perciò il volume si calcola allo stesso modo.
Quindi se chiamiamo la lunghezza del lato a e il volume v, possiamo scrivere
v=aaa o più correttamente s=a3

Parallelepipedo
Il parallelepipedo è un esaedro che ha le facce a 2 a 2 parallele e uguali -sono parallelogrammi (i rettangoli e i quadrati sono speciali parallelogrammi, quindi possono essere facce del parallelepipedo; il cuboide e il cubo sono quindi speciali parallelepipedi).

Per calcolare il volume del parallelepipedo possiamo rifarci al volume del cuboide. Dobbiamo osservare che il volume di un parallelepipedo è esattamente uguale al volume di un cuboide che ha la stessa superficie di base e il terzo lato uguale all' altezza del parallelepipedo. Diventa tutto più chiaro se si osserva la figura.
Quindi se chiamiamo la superficie di base s, l' altezza h e il volume v, possiamo scrivere
v=sh

Prisma
Il prisma è un solido che ha come facce due figure piane qualsiasi parallele ed uguali tra loro e parallelogrammi che collegano queste due figure parallele.

Vogliamo determinare il volume del prisma. Innanzitutto dobbiamo osservare che il volume indica quanto spazio un' oggetto occupa, perciò possiamo fare la seguente analogia. Possiamo costruire un prisma nella realtà mettendo uno sopra l' altro una pila di fogli che possono anche essere stati ritagliati per dare loro una particolare forma (ad esempio di trapezio, vedi sopra). Se disponiamo i fogli in modo da avere un prisma "storto" (ma senza discontinuità naturalmente, sennò non abbiamo un prisma), oppure se li disponiamo in modo da avere un prisma "dritto", cioè tale che le 2 facce uguali e parallele siano una esattamente sopra l' altra e che le facce che li collegano siano rettangoli (speciali parallelogrammi), notiamo che hanno lo stesso volume, infatti spostando i fogli non possiamo creare o far svanire volume. Quindi un prisma qualsiasi ha lo stesso volume del corrispondente prisma retto (retto è un termine tecnico per dritto). Allora possiamo semplificare il nostro problema cercando di capire quanto è grande il volume di un prisma retto. Prendiamo un prisma retto e immaginiamo di tagliarlo nel verso dell' altezza e di ricomporlo in modo da ottenere un cuboide; evidentemente questo cuboide avrà lo stesso volume! Tagliandolo in questo modo è chiaro che la superficie di base del cuboide sarà uguale alla superficie di base del prisma. Diventa tutto più chiaro se si osserva la figura.
Quindi se chiamiamo la superficie di base s, l' altezza h e il volume v, possiamo scrivere
v=sh

Piramide
La piramide è un solido che ha come superficie di base una figura piana qualsiasi e come facce restanti triangoli che collegano un punto sopra la superficie di base, il vertice della piramide, ai lati di essa. La piramide può essere anche retta (è un caso particolare), cioè che ha il vertice esattamente sopra il centro della figura di base.

Per calcolare il volume della piramide possiamo rifarci al volume del prisma. Si può verificare che il volume della piramide è un terzo del volume del prisma che ha la stessa superficie di base e la stessa altezza. Ciò non è così evidente, ma possiamo fare la seguente analogia per ricordarcelo: il triangolo sta nel corrispondente parallelogrammo 2 volte (e ciò accade per le figure piane che hanno 2 dimensioni), mentre la piramide sta nel corrispondente prisma 3 volte (e ciò accade per i solidi che hanno 3 dimensioni). Diventa tutto più chiaro se si osserva la figura.
Quindi se chiamiamo la superficie di base s, l' altezza h e il volume v, possiamo scrivere
v=sh/3

Sfera
La sfera è il solido che ha come limite tutti i punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso (il centro).

Per la sfera non si possono fare ragionamenti simili a quelli sopra, ma possiamo immaginare di costruire un cubo che abbia come lato il raggio della sfera e di valutare poi quante volte questo cubo sta nella sfera, similmente a come abbiamo fatto per il cerchio per le figure piane. Lì il quadrato ci stava volte, ma non è detto che qui il cubo ci stia anche volte, anzi è più ragionevole pensare che ci stia "qualche volta volte". Si può verificare che la costante corretta è (4/3). L' unica cosa che dovete quindi ricordare (oltre al ragionamento) è 4/3. Diventa tutto più chiaro se si osserva la figura, dove il cubo giallo è quello menzionato.
Se chiamiamo la lunghezza del raggio r (d è il diametro) e il volume v, possiamo scrivere
s=r3(4/3), dove ricordo che è la lettera greca pi che sta a indicare una particolare costante numerica.
~3,1415926535 ma di solito si arrotonda a 3,14.


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