Distanza tra 2 punti allineati in orizzontale
Il modo di calcolare la distanza di 2 punti allineati in orizzontale è in realtà molto intuitivo. Per capirlo meglio consideriamo in un primo momento un sistema di coordinate in una sola dimensione (i punti hanno una sola coordinata), tanto in questo caso sono comunque allineati in orizzontale. Consideriamo i punti (2) e (5). Il valore numerico delle loro coordinate coincide con la loro distanza dall' origine. Dalla figura si vede che sottraendo dalla distanza del più lontano dall' origine la distanza del più vicino otteniamo proprio la distanza tra i 2 punti, basta stare attenti di sottrarre la coordinata di quello più a sinistra dalla coordinata di quello più a destra. Si osserva che ciò vale anche se uno o entrambi i punti hanno coordinate negative. Se chiamiamo l' asse x, i punti A e B e la distanza d, allora
d=xB-xA
.
Anche in generale vale la formula di sopra perché se i punti sono allineati in orizzontale, le rispettive coordinate y non incidono sulla distanza. Guardate la figura.
Distanza tra 2 punti allineati in verticale
È completamente analogo.
d=yB-yA
.
Guardate la figura.
Distanza tra 2 punti
Dalla figura si vede che la distanza tra 2 punti qualsiasi nel piano è l' ipotenusa di un triangolo rettangolo. I cateti sono invece uguali a distanze tra punti allineati in orizzontale e punti allineati in verticale di cui conosciamo le coordinate. Usando il teorema di Pitagora dalla figura si vede che
d=((xB-xA)2+(yB-yA)2)
Coordinate del punto medio di un segmento
Il punto medio di un segmento è quello che ha pari distanza da un estremo e dall' altro. Dalla figura si vede che se proiettiamo gli estremi del segmento e il punto medio sugli assi, la distanza tra la proiezione del punto medio e di un estremo e uguale alla distanza tra la proiezione del punto medio e dell' altro estremo. Chiamiamo gli estremi del segmento A e B e il punto medio M. Allora vale
xM-xA=xB-xM / +xM
xM-xA+xM=xB-xM+xM
xM+xM+(-xA)=xB+xM+(-xM)
2xM-xA=xB+(xM-xM)
2xM-xA=xB+0 / +xA
2xM-xA+xA=xB+xA
2xM+xA+(-xA)=xB+xA
2xM+(xA-xA)=xA+xB
2xM+0=xA+xB
2xM=xA+xB / /2
2xM(1/2)=(xA+xB)/2
2(1/2)xM=(xA+xB)/2
(2/2)xM=(xA+xB)/2
1xM=(xA+xB)/2
xM=(xA+xB)/2
Analogamente da
yM-yA=yB-yM
segue che
yM=(yA+yB)/2
Guardate la figura.
Considerazioni generali
Il problema principale della geometria analitica è determinare equazioni che sono soddisfatte da tutte e sole le coordinate dei punti della figura (il contorno) o della linea (dritta o curva) che ci interessa. In generale non è sempre facile trovarle. È importante sapere che l' equazione di una retta nel piano è data da un' equazione della forma
y=ax+b, dove a e b sono numeri reali.
Scegliendo opportunamente a e b, otteniamo qualsiasi retta nel piano (tranne quelle parallele all' asse y che hanno equazione x=c, dove c è un numero reale). Aumentando a la retta diventa più "ripida" (verso destra), b ci dice l' intersezione sull' asse y. Se abbiamo le equazioni di 2 figure (o 2 linee o una figura ed una linea) otteniamo le coordinate delle intersezioni risolvendo il sistema di equazioni (significa ottenere le soluzioni comuni a più equazioni) costituito dalle equazioni date. Se come soluzioni otteniamo numeri non reali, significa che le figure non si intersecano proprio. Per determinare l' equazione di una figura, molte volte è più semplice farlo posizionando in un primo momento la figura in modo da porre l' origine "in un posto privilegiato" (ad esempio al centro di un' ellisse) perché ciò semplifica enormemente i conti e poi effettuando un cambio di coordinate per ottenere la formula generale.
Esercizi di geometria analitica
I disegni qui sotto sono stati ottenuti con il programma per grafici contenuto in questo sito alla pagina dei programmi.
--1 Disegna nel piano la retta di equazione y=2*x+3.
È chiaro che per disegnare una retta sono sufficienti 2 punti che poi colleghiamo col righello. Troviamo quindi 2 punti nel modo più semplice possibile. Sappiamo che le coordinate di questi 2 punti soddisfano l' equazione
y=2x+3.
Ci chiediamo: quando la coordinata x è uguale a 0 (ho scelto 0 per semplicità nei conti), quanto vale y?
y=2*0+3
y=0+3
y=3
Quando x=0, y=3, quindi il punto(0;3) appartiene alla retta.
Analogamente: quando la coordinata y è uguale a 0, quanto vale x?
0=2x+3
2x+3=0 / -3
2x+3+(-3)=-3
2x+(3-3)=-3
2x+0=-3 / /2
2x(1/2)=(-3)/2
(2/2)x=(-3)/2
1x=(-3)/2
x=(-3)/2
Il punto ((-3)/2;0) appartiene alla retta.
Ora basta disegnare i 2 punti e collegarli.
--2 Determina l' equazione generale di una circonferenza.
Per prima cosa determiniamo l' equazione di una circonferenza con il centro nell' origine. Ci viene in mente che la circonferenza è l' insieme di punti nel piano che hanno la stessa distanza dal centro. Questa distanza si chiama raggio del cerchio. Indichiamo il raggio con r e le coordinate di un punto generico con (x;y). Osserviamo il triangolo rettangolo in figura ed usiamo il teorema di Pitagora. Quindi
r=(x2+y2) / 2
r2=((x2+y2))2
r2=((x2+y2)1/2)2
r2=(x2+y2)(1/2)2
r2=(x2+y2)2/2
r2=(x2+y2)1
r2=x2+y2
x2+y2=r2
Effettuiamo un cambio di coordinate. L' origine del nuovo sistema di assi x1 e y1 sarà il generico centro della circonferenza e lo chiameremo C (avrà coordinate (xC;yC)).
x1=x-xC
y1=y-yC
Quindi
x=x1+xC
y=y1+yC
(si ottengono facilmente con qualche conto).
x2+y2=r2
(x1+xC)2+(y1+yC)2=r2
x12+2x1xC+xC2+y12+2y1yC+yC2=r2 /-r2
x12+y12+2x1xC+2y1yC+xC2+yC2-r2=r2-r2
x12+y12+2xCx1+2yCy1+xC2+yC2-r2=0
Se ci interessa solo sapere in che forma si presenta l' equazione di una circonferenza (così come sappiamo che l' equazione di una retta è y=ax+b) ignorando il legame che ha con il suo centro e il raggio, allora possiamo scrivere
x12+y12+ax1+by1+c=0, dove
a=2xC
b=2yC
c=xC2+yC2-r2.
Quindi (basta fare un po' di conti)
xC=a/2
yC=b/2
r=((a2+b2)/4-c).
Ora ci ricordiamo che il problema iniziale era di determinare l' equazione generale di una circonferenza. Sappiamo che forma ha e quindi possiamo dimenticare il cambio di coordinate e scrivere
x2+y2+ax+by+c=0, dove
xC=a/2
yC=b/2
r=((a2+b2)/4-c).
--3 Trova le intersezioni tra la retta di equazione y=x-2 e la circonferenza
x2+y2+2x+2y-7=0.
Consideriamo il sistema
y=x-2
x2+y2+2x+2y-7=0
Sostituiamo l' espressione di y della prima equazione nella seconda equazione e otteniamo
x2+(x-2)2+2x+2(x-2)-7=0
x2+x2-2x*2+22+2x+2x+2(-2)-7=0
2x2-4x+4+4x+(-4)-7=0
2x2+4x+(-4x)+4-4-7=0
2x2+0+-7=0
2x2-7=0 / +7
2x2-7+7=0+7
2x2+7+(-7)=7
2x2+7-7=7
2x2+0=7
2x2=7 / /2
2(1/2)x2=7/2
1x2=7/2
x2=7/2 / (x2)=±(7/2)
(x2)1/2=±(7/2)
x2(1/2)=±(7/2)
x1=±(7/2)
x=±(7/2) Razionalizziamo il risultato.
x=±7/2
x=±7/2*1
x=±7/2*2(1/2)
x=±72(1/2)2
x=±(7*2)(12/(2)2)
x=±14(1/(21/2)2)
x=±14/2(1/2)2
x=±14/21
x=±14/2
Otteniamo 2 valori per la variabile x:
x=14/2 e x=(-14)/2.
Ora prendiamo l' equazione y=x-2 e con un po' di conti troviamo i 2 valori per y.
y=(14-4)/2 e y=(-(14+4))/2
Quindi i punti di intersezione sono
(14/2;(14-4)/2) e ((-14)/2;(-(14+4))/2).
--4 Determina il coefficiente a in modo che la retta y=ax+5 intersechi la circonferenza
x2+y2+5x+1=0 in un solo punto (potete immaginare che in generale una retta può intersecare una circonferenza in 2 punti).
Consideriamo il sistema
y=ax+5
x2+y2+5x+1=0
Sostituiamo l' espressione di y della prima equazione nella seconda equazione e otteniamo
x2+(ax+5)2+5x+1=0
Con un po' di conti arriviamo alla forma
(a2+1)x2+(10a+5)x+26=0
Le soluzioni (delle intersezioni - non possiamo ottenere direttamente a e ci servono per fare un ragionamento) sono date da
x=((-(10a+5))+((10a+5)2±4(a2+1)*26))/(2a)
Prima di continuare i conti facciamo un ragionamento (comunque svolgendoli otterremmo x espresso con a, il che non avrebbe alcuna utilità). Vogliamo imporre di ottenere una sola intersezione, ma l' espressione sopra dovrebbe darcene 2, perché c' è il ±. Ebbene, un numero è uguale al suo opposto quando questo è 0 (q=-q quando q=0) e la radice quadrata vale 0 quando il radicando è 0, quindi
(10a+5)2-4(a2+1)26 deve essere 0. Allora
(10a+5)2-4(a2+1)26=0
(10a)2+2*10a*5+52-(4a2+4*1)*26=0
100a2+100a+25-(4*26a2+4*26)=0
100a2+100a+25-(104a2+104)=0
100a2-104a2+100a+25-104=0
(-4)a2+100a+(-79)=0
a=((-100)±(1002-4(-4)(-79)))/(2(-4))
a=((-100)±(10 000-1264))/(-8)
a=((-100)±8736)/(-8)
a=(±8736+(-100))/(-8)
a=(±8736-100)/(-8)
a~24,18
a~0,82
Notiamo che la condizione è soddisfatta per 2 valori di a.
Una retta non si vede bene, ma è composta da puntini rossi che noterete osservando attentamente.
((xB-xA)2+(yB-yA)2)
