Trigonometria

Nota: normalmente in matematica si dice che non si può calcolare il valore di una funzione per o - e una funzione non può assumere come valore o - ( non viene considerato un numero), ma a scuola talvolta si usa questa terminologia impropria quando non si studiano ancora cose più complesse e qui la userò. Più precisamente si può dire che si può calcolare a cosa tende una funzione per la variabile indipendente (di solito x) che tende a o - e/o una funzione può tendere a o - per valori della variabile indipendente (di solito x) che tendono ad un certo valore (per questo valore abbiamo una "divisione" tra una quantità diversa da 0 e 0; si dice che per questo valore la funzione non è definita). Si tratta del calcolo dei limiti che non tratto in questo sito.

L' angolo
Tutti sappiamo cos' è un angolo. Semmai il problema è come misurarlo. Esistono principalmente due unità di misura: i gradi e i radianti, ed è importante conoscerle entrambe. Ma prima devo fare un' osservazione. Se prendiamo 2 semirette nel piano che partono dallo stesso punto, esse determinano 2 angoli: quello più piccolo si chiama angolo convesso, quello più grande angolo concavo. Guardate la figura.

Bisogna anche sapere cos' è l' angolo retto. È quello nella figura sottostante. Misura 90 gradi o

/4 radianti dove

~3,14.

L' angolo dal punto di vista filosofico è una cosa molto strana (secondo me). E vi spiego perché. Nella vita di tutti i giorni, per parlare degli oggetti che usiamo comunemente usiamo principalmente i metri e i centimetri come unità di misura. Immaginiamo di essere 1000 volte più grandi (in tutte le misure). La nostra grandezza rispetto all' universo è così relativa che quest' ipotesi non è affatto assurda. In tal caso, per parlare dei nostri oggetti useremmo i kilometri e i decametri (10 metri). Quello che è sorprendente è che gli angoli rimarrebbero sempre gli stessi!!! Quindi l' angolo non dipende dalla grandezza fisica di un oggetto.
Gradi
Quando misuriamo l' angolo in gradi prendiamo per convenzione che l' angolo giro (cioè il massimo angolo "che si può vedere", ottenuto facendo una rotazione completa di una semiretta rispetto ad un' altra) misura 360 gradi e così le sue parti misurano una parte di 360 gradi in proporzione all' angolo. I gradi si denotano mettendo un tondino in alto vicino al numero che ci indica il numero di gradi, ad esempio 90° significa 90 gradi. Qui sotto riporto alcuni angoli significativi e la loro misura in gradi. Faccio notare che si può anche parlare di angoli superiori a 360°, ciò significa semplicemente che una semiretta ha fatto più di un giro completo intorno ad un' altra fissa.
La comune notazione per i gradi (ad esempio 90°) è semplicemente orribile. Rende impossibile accorgersi che i gradi, come qualunque altra unità di misura, si comportano come qualsiasi numero e vanno a moltiplicarsi al numero che le precede perché esso dice quante volte si ripete quell' unità di misura.

Radianti
Abbiamo visto che l' angolo non dipende dalla grandezza fisica dell' oggetto che misuriamo. Allora facciamo questo ragionamento: disegnamo un cerchio e facciamo partire dal centro due semirette. Teniamone una fissa e ruotiamo l' altra intorno al centro. In questo modo otteniamo ogni angolo possibile. L' angolo però non dipende dalla grandezza (raggio) del cerchio. Quindi, se vogliamo misurare un angolo possiamo fare così: tenendo ferme le semirette (vogliamo misurare l' angolo tra esse) misuriamo la lunghezza dell' arco di cerchio tra le 2 intersezioni del cerchio con le semirette, poi misuriamo il raggio del cerchio, infine dividiamo la lunghezza dell' arco con la lunghezza del raggio. Dal punto di vista logico il risultato della divisione ci dice quante volte il raggio sta nell' arco di cerchio (anche se non è un numero intero). Ora dobbiamo osservare che se raddoppiamo o triplichiamo il raggio, allora automaticamente si raddoppia o triplica l' arco, quindi rimane invariato il risultato della nostra divisione. Perciò possiamo procedere sempre in questo modo: dato un angolo disegnamo un cerchio con centro l' intersezione delle semirette e con raggio qualsiasi, poi misuriamo l' arco di cerchio e il raggio, infine dividiamo la lunghezza dell' arco di cerchio con la lunghezza del raggio. Il numero ottenuto ha come unità di misura i radianti, per i quali usiamo la notazione rad (ad esempio 2 rad). Dobbiamo però ricordarci che abbiamo ottenuto i radianti dividendo due unità di misura per la lunghezza. Se sono diverse (ad esempio metri e centimetri) convertiamo una nell' altra. Per convenzione otteniamo i radianti solo se le unità di misura per la lunghezza sono uguali. Quindi dividiamo due unità di misura uguali (con i rispettivi numeri davanti). Ma secondo le regole matematiche in questo modo ci rimane solo un numero senza unità di misura. Ecco perché:
L' arco misura a m, il raggio b m, dove a e b sono numeri, m significa metro (basta che l' unità di misura per la lunghezza sia uguale, non importa qual' è), c è la grandezza dell' angolo.
c=(a m)/(b m)
c=(a m)/b/m
c=(a m)(1/b)(1/m)
c=a m(1/b)(1/m)
c=a (1/b)m(1/m)
c=(a/b) (m/m)
c=(a/b)1
c=a/b
Sappiamo che a e b sono numeri (non unità di misura), quindi il risultato della loro divisione (c) è ancora un numero. Tutte le misure in radianti sono quindi numeri. Facciamo un confronto.
c=x rad
x è un numero, c è un numero, rad è un unità di misura
Ne segue che c=x e rad=1.
Accade una cosa sorprendente: il radiante è un numero!!! L' unica spiegazione è che ciò accade perché l' angolo non dipende dalla grandezza fisica dell' oggetto che misuriamo. Quando scriviamo l' unità di misura la moltiplichiamo con il suo rispettivo numero, ma se il radiante è uguale a 1, allora moltiplichiamo il numero con 1, ma la moltiplicazione con 1 lascia il numero invariato, quindi possiamo tralasciare la moltiplicazione e quindi l' unità di misura radiante. L' angolo misurato in radianti si può quindi considerare senza unità di misura, senza che ciò implichi un' imprecisione (si dice che il radiante è un' unità di misura adimensionale): perciò in matematica e in fisica si preferisce di gran lunga il radiante al grado.
Quanto misura l' angolo giro in radianti?
c=(2r

)/r
r è il raggio (qualsiasi) del cerchio. Bisogna considerare che per un angolo giro l' arco è tutta la circonferenza. Si osserva che la lunghezza della circonferenza di un cerchio di raggio r è 2r

.
c=2r

(1/r)
c=2(r(1/r))

c=2*1

c=2

Quindi la grandezza di un angolo giro è 2

e così le sue parti misurano una parte di 2

in proporzione all' angolo. Ad esempio l' angolo retto misura

/2.
Quanto misura un radiante?
Affinché accada il risultato della divisione tra l' arco e il raggio deve essere 1, ma ciò accade solo quando l' arco è uguale al raggio. Come facciamo il conto?
2

=360° / /(2

)
1=360°/2/

1=360°(1/2)(1/

)
1=360(1/2)(1/

)°
1=(360/2)(1/

)°
1=180(1/

)°
1=(180/

)°
1~57,32°
Qui sotto riporto alcuni angoli significativi e la loro misura in radianti. Faccio notare che si può anche parlare di angoli superiori a 2

, ciò significa semplicemente che una semiretta ha fatto più di un giro completo intorno ad un' altra fissa.

Prima definizione delle funzioni trigonometriche
Prendiamo un triangolo rettangolo (cioè tale che un suo angolo è retto). Osserviamo che se raddoppiamo, triplichiamo i suoi lati, gli angoli rimangono invariati (accade anche per un triangolo qualsiasi). Quindi facendo divisioni tra i lati del triangolo rettangolo, i risultati dipendono solo dagli angoli e non dall' effettiva grandezza del triangolo (vale lo stesso ragionamento fatto sopra con gli archi di cerchio e i raggi). Quindi si può collegare questi risultati con le grandezze degli angoli tramite funzioni speciali chiamate funzioni trigonometriche.
Definizione di seno di un angolo
Il seno di un angolo è uguale al risultato della divisione tra il lato opposto all' angolo e l' ipotenusa (il lato opposto all' angolo retto). Indichiamo la funzione con sen. Siccome dividiamo due lunghezze, e possiamo convertire l' unità di misura di una nell' altra, otteniamo un numero senza unità di misura (come prima). L' angolo va da 0° o 0 a 90° o

/2.

In figura, sen x=b/c
Nota: qualcuno usa denotare la funzione seno con sin come in inglese (viene dall' equivalente sine).
Definizione di coseno di un angolo
Il coseno di un angolo è uguale al risultato della divisione tra il lato adiaciente all' angolo e l' ipotenusa. Indichiamo la funzione con cos.

In figura, cos x=a/c
Definizione di tangente di un angolo
La tangente di un angolo è uguale al risultato della divisione tra il lato opposto all' angolo e il lato adiaciente all' angolo. Indichiamo la funzione con tg.

In figura, tg x=b/a
Definizione di cosecante di un angolo
La cosecante di un angolo è uguale al risultato della divisione tra l' ipotenusa e il lato opposto all' angolo. Indichiamo la funzione con cosec. Questa funzione praticamente non si usa.

In figura, cosec x=c/b
Definizione di secante di un angolo
La secante di un angolo è uguale al risultato della divisione tra l' ipotenusa e il lato adiaciente all' angolo. Indichiamo la funzione con sec. Questa funzione praticamente non si usa.

In figura, sec x=c/a
Definizione di cotangente di un angolo
La cotangente di un angolo è uguale al risultato della divisione tra il lato adiaciente all' angolo e il lato opposto all' angolo. Indichiamo la funzione con ctg. Questa funzione si usa pochissimo, ma più delle 2 precedenti.

In figura, ctg x=a/b
Funzioni trigonometriche inverse
Le funzioni inverse di sen, cos, tg, cosec, sec, ctg si indicano con arcsen, arccos, arctg, arccosec, arcsec, arcctg (e si leggono arcoseno, arcocoseno, arcotangente, eccetera).
Se sen x=b/c, allora x=arcsen (b/c)
Se cos x=a/c, allora x=arccos (a/c)
Se tg x=b/a, allora x=arctg (b/a)
Se ctg x=a/b, allora x=arcctg (a/b)
eccetera
sen (arcsen x)=x
arcsen (sen x)=x
eccetera
Teorema di Pitagora
Per capire quello che viene dopo devo spiegare il famoso teorema di Pitagora. Il quadrato costruito sull' ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale (come area) alla somma dei quadrati costruiti sui 2 cateti. Ricordo che l' area di un quadrato di lato a è a².

In figura, c²=a²+b²
Possiamo anche scriverlo così:
c²=a²+b² /

(c²)=

(a²+b²)
Da entrambe le parti dell' equazione abbiamo una quantità positiva e una negativa (2 risultati), ma le lunghezze possono solo essere positive, quindi
(c²)^1/2=

(a²+b²)
c^2(1/2)=

(a²+b²)
c^2/2=

(a²+b²)
c¹=

(a²+b²)
c=

(a²+b²)
Analogamente
a=

(c²-b²)
b=

(c²-a²)
(Derivano da
a²=c²-b²
b²=c²-a².)
Proprietà delle funzioni trigonometriche
Chiamiamo i lati del triangolo rettangolo come in figura.

1/cosec x=1/(c/b)=1/(c(1/b))=1/c/(1/b)=1/c*b=(1/c)b=b(1/c)=b/c=sen x
Quindi sen x=1/cosec x
Analogamente
cos x=1/sec x
tg x=1/ctg x
E vale anche il contrario (si calcola facilmente):
cosec x=1/sen x
sec x=1/cos x
ctg x=1/tg x

sen x/cos x=(b/c)/(a/c)=(b/c)/(a(1/c))=(b/c)/a/(1/c)=b(1/c)(1/a)c=b(1/a)c(1/c)=(b/a)(c/c)=b/a*1=b/a=tg x
Quindi
sen x/cos x=tg x

(sen x)²+(cos x)²=
(b/c)²+(a/c)²=
b²/c²+a²/c²=
(b²+a²)/c²=
c²/c²=1
Qui ho usato il teorema di Pitagora. Quindi
(sen x)²+(cos x)²=1
Nota: invece di (sen x)² si usa quasi sempre scrivere sen² x (e lo stesso per le altre funzioni trigonometriche), concedetemi di non farlo.
Quest' ultima notazione (della nota) è spaventosamente orribile.

Nel disegno si osserva che gli angoli x ed y sono così collegati:
x=90°-y o x=

/2-y e
y=90°-x o y=

/2-x
sen y=a/c=cos x
cos y=b/c=sen x
Quindi
sen (90°-x)=cos x o sen (

/2-x)=cos x
cos (90°-y)=sen x o cos (

/2-y)=sen x

Esistono tante altre formule, ma non sono tutte importanti.
Il valore delle funzioni trigonometriche per alcuni particolari angoli
Prendiamo il triangolo equilatero (quello che ha tutti i lati uguali). Disegnando l' altezza si può spezzare in 2 triangoli retangoli uguali tra loro che hanno come cateti metà del lato del triangolo equilatero e l' altezza e come ipotenusa il lato del triangolo equilatero e come angoli 90°, 60°, 30° (perché il triangolo equilatero ha tutti gli angoli di 60°, ma guardate la figura per capirlo).

Userò più volte il teorema di Pitagora (non serve saperne le formule a memoria, basta ragionare sui quadrati costruiti sul triangolo rettangolo e capire qual' è il più grande, eccetera).
sen (30°)=(a/2)/a=(a(1/2))(1/a)=a(1/a)(1/2)=(a/a)(1/2)=1(1/2)=1/2=0,5
sen 60°=
h/a=

(a²-(a/2)²)/a=

(a²-a²/2²)/a=

(4*(1/4)*a²-a²/4)/a=

(4*a²/4-a²/4)/a=

((4*a²-1*a²)/4)/a=
(

((4-1)*a²)/4))*(1/a)=

(3*a²/4)*(1/a)=

(a²)/

4*(1/a)=

3*a(1/2)(1/a)=

3/2*(a/a)=

3/2*1=

3/2
Per capire quanto vale sen (90°) si fa questo ragionamento: quando l' angolo x si avvicina a 90° (aumentando), la lunghezza del lato opposto all' angolo si avvicina sempre di più alla lunghezza dell' ipotenusa, quindi il risultato della loro divisione si avvicina a 1 e quando l' angolo è di 90° è proprio 1.
Quando l' angolo è 0, il lato opposto è nullo e quindi dividendone la lunghezza con qualsiasi numero, otteniamo sempre 0.
Gli angoli 30° e 60° sono collegati dal legame 30°=90°-60°, lo stesso vale per 0° e 90°, quindi possiamo utilizzare alcune proprietà elencate sopra per calcolare i valori di cos (0°), cos (30°), cos (60°), cos (90°), da tutte queste informazioni possiamo infine calcolare i valori di tg (0°), tg (30°), tg (60°), tg (90°).
Ora prendiamo il triangolo isoscele (che ha 2 lati uguali, in questo caso possono essere solo i cateti) rettangolo. Guardate la figura.

sen (45°)=
a/b=
a/

(a²+a²)=
a/

(1*a²+1*a²)=
a/

((1+1)*a²)=
a/

(2*a²)=
a/(

(a²))=
a/(

2*a)=
a/(a

2)=
a/a/

2=
(a/a)/

2=
1/

2
Possiamo lasciare scritto 1/

2, ma per avere una scrittura più ordinata possiamo fare ciò che si chiama razionalizzare una frazione, cioè scriverla nella forma di una moltiplicazione della radice n-esima di un numero con una comune frazione. Si fa così:
1/

2=
(1/

2)*1=
(1/

2)*(

2)=
(1/

2)*

2*(1/

2)=

2*(1/

2)²=

2*(1²/(

2)²)=

2*(1/2)=

2/2.
Usando le proprietà di sopra possiamo calcolare anche cos (45°) e tg (45°).
Ecco in una tabella i valori sopra calcolati:

	0° o 0	30° o /6	45° o /4	60° o /3	90° o /2
sen	0	1/2	1/2 o 2/2	3/2	1
cos	1	3/2	1/2 o 2/2	1/2	0
tg	0	1/3 o 3/3	1	3	o -

Per i valori delle funzioni trigonometriche per altri angoli dobbiamo usare la calcolatrice o consultare le tabelle apposite (questo è un metodo antiquato), ma dobbiamo stare attenti che otterremo valori approssimati. Si possono calcolare i valori esatti solo per pochi altri angoli in modo diretto come sopra (ma è più complicato), per alcuni si possono utilizzare le formule matematiche delle funzioni trigonometriche, per i restanti dobbiamo accontentarci delle approssimazioni.
Altre formule trigonometriche
sen (x+y)=sen x cos y+sen y cos x
sen (x-y)=sen x cos y-sen y cos x
cos (x+y)=cos x cos y-sen x sen y
cos (x-y)=cos x cos y+sen x sen y
Con queste si possono calcolare i valori per alcuni altri angoli. Esempio:
sen (75°)=
sen (30°+45°)=
sen (30°) cos (45°)+sen (45°) cos (30°)=
1/2*

2/2+

2/2*

3/2=

2/2*(1/2+

3/2)=

2/2*(1+

3)/2=

2(1/2)(1+

3)(1/2)=

2(1+

3)(1/2)²=
(

2*1+

3)(1²/2²)=
(

2+(2*3)

)(1/4)=
(

2+6

)/4

Dalle formule sopra seguono le seguenti (con pochi conti):
sen (2x)=2 sen x cos x
cos (2x)=(cos x)²-(sen x)²=1-2(sen x)²=2(cos x)²-1
Seconda definizione delle funzioni trigonometriche
La seconda definizione serve per calcolare i valori delle funzioni trigonometriche per qualsiasi angolo, anche maggiore di 90° o negativo.
Definizione di seno e coseno di un angolo
Disegnamo un cerchio di raggio 1 lun, dove lun è la nostra unità di misura per le lunghezze, in un sistema di coordinate cartesiano in modo che il suo centro sia nell' origine. Cosideriamo il semiasse positivo dell' asse x come punto di partenza per misurare gli angoli. Disegnamo una semiretta che parte dall' origine: insieme alla precedente determina un angolo. La seconda semiretta interseca il cerchio in un punto. Il seno dell' angolo determinato dalla semiretta è l' ordinata (coordinata y) del punto d' intersezione, mentre il coseno è l' ascissa (la coordinata x) del punto d' intersezione. In questo modo si possono determinare per qualsiasi angolo (un angolo negativo si ottiene tramite una rotazione del secondo semiasse in senso orario). Guardate la figura.

Nota: qualcuno usa denotare la funzione seno con sin come in inglese (viene dall' equivalente sine).
Definizione di tangente di un angolo
Disegnamo un cerchio come prima. Consideriamo il punto di intersezione del cerchio con il semiasse positivo dell' asse x. Da questo punto tracciamo una retta verticale. Consideriamo l' intersezione di questa retta con la semiretta che determina l' angolo o con il suo prolungamento (per angoli maggiori di 90° e minori di 270°). La tangente dell' angolo è l' ordinata (la coordinata y) di questo punto di intersezione. Guardate la figura.

Definizione di cosecante, secante e cotangente di un angolo
cosec x=1/sen x
sec x=1/cos x
ctg x=1/tg x
Proprietà
La nuova definizione coincide con la vecchia per gli angoli tra 0° e 90° e si osserva che valgono anche le stesse proprietà (e qualcuna in più).
Il valore delle funzioni trigonometriche per alcuni particolari angoli
Con la seconda definizione non siamo più limitati a calcolare il valore delle funzioni trigonometriche per angoli tra 0° o 0 e 90° o

/2. Perciò nella seguente tabella ci sono i valori più significativi non più limitati come prima.

	0° o 0	30° o /6	45° o /4	60° o /3	90° o /2	180° o	270° o (3/2)
sen	0	1/2	1/2 o 2/2	3/2	1	0	-1
cos	1	3/2	1/2 o 2/2	1/2	0	-1	0
tg	0	1/3 o 3/3	1	3	o -	0	o -

Altre formule trigonometriche
Usando la seconda definizione queste regole si vedono subito soltanto osservando i disegni sottostanti.
--
sen (180°-a)=sen a o sen (

-a)=sen a
cos (180°-a)=-cos a o cos (

-a)=-cos a

--
sen (a+180°)=-sen a o sen (a+

)=-sen a
cos (a+180°)=-cos a o cos (a+

)=-cos a

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