MIKY & GENNY

ELEMENTI DI CALCOLO LETTERALE ---> INDICE

Premesse

Spesse volte in aritmetica si sono risolti dei problemi le cui tracce differivano soltanto per i valori delle quantità note, come ad esempio:
1)-sapendo che m. 5 di stoffa costano € 50, quanto costano m. 3 della stessa stoffa?
2)-sapendo che m. 9 di stoffa costano € 72, quanto costano m. 23 della stessa stoffa?
Esaminando le due tracce, si può dire che in sostanza si tratta dello stesso problema, ma con dati numerici differenti. Per risolvere questi due problemi si deve fare lo stesso ragionamento, però su numeri e calcoli diversi, e quindi i risultati sono diversi. Pertanto, quando vi sono molti problemi che si risolvono con lo stesso ragionamento, è noioso seguire sempre lo stesso procedimento per trovare le soluzioni; sarebbe più comodo se esistesse una regola generale che permettesse di calcolare subito le soluzioni di tutti i problemi dello stesso tipo.
Esempio: sapendo che m. a di stoffa costano € n, quanto costano m. b della stessa stoffa?
Infatti, se a metri di stoffa costano n euro, un metro costa n diviso a, e si scrive n/a. Se il costo di un metro è n/a, allora b metri costano (n/a)xb. Perciò, se il prezzo di b metri di stoffa si indica con la lettera x, si può dire che esso è dato dalla seguente formula: x=(n/a)xb.
Con tale formula, a carattere generale, in quanto vale quali che siano i valori attribuiti alle lettere a, b e n, si possono trovare le soluzioni di tutti i problemi dello stesso tipo di quello ora trattato. Ad esempio, se si vuole la soluzione del problema 1), si pone a=5, b=3, n=50 e si trova x=(50/5)x3=10x3=30. Se invece si vuole la soluzione del problema 2), si pone a=9, b=23, n=72 e si trova x=(72/9)x23=8x23=184. Dall'esame di questi esempi, si vede che è più conveniente, quando si ha un problema, risolverlo prima in generale, cioè sostituendo ai numeri che misurano le grandezze note e quelle incognite, delle lettere, e poi esprimere le soluziono con formule, come è stato fatto negli esempi trattati. Queste formule possono servire in tutti i problemi dello stesso tipo, cioè diversi fra loro soltanto per particolari valori numerici dei dati. Si nota bene che i calcoli fatti su lettere, anzichè su numeri, forniscono un linguaggio più abbreviato per effettuare ragionamenti ed enunciare regole di carattere generale.

L'algebra elementare si propone di studiare i procedimenti di calcolo fatti su numeri relativi indicati con lettere e di studiare le formule a cui si perviene.
Pertanto, d'ora innanzi i numeri relativi saranno indicati con lettere minuscole dell'alfabeto scritte in corsivo, ad esempio: a, b, c, ecc. Perciò, con una lettera sarà indicato il numero relativo nel suo complesso, cioè con il suo segno e con il suo valore assoluto.

Definizione: se a indica un numero relativo, si pone +a=+1xa, -a=-1xa.
Esempi:
1)-se è a=-5, risulta: a=+1x(-5)=-5, -a=-1x(-5)=+5;
2)-se a=2/3: +a=+1x(+2/3)=+2/3, -a=-1x(+2/3)=-2/3.

Tenendo conto che il prodotto di un numero relativo per +1 è il numero stesso, mentre il prodotto di un numero relativo per -1 è l'opposto del numero, si puo dire, in base alla definizione data, che: +a=a, -a=all'opposto di a. Siccome le due scritture +a e a, rappresentano, per la definizione data, lo stesso numero, allora in seguito il segno + dinanzi alla lettera sarà sottinteso, e si scriverà a invece di +a. Quando la lettera sarà preceduta dal segno -, cioè quando si scriverà -a, allora si dovrà ricordare che con questa scrittura s'intende rappresentare il numero relativo che risulta dal prodotto del numero -1 per il numero rappresentato dalla lettera a, o equivalentemente s'intende rappresentare l'opposto del numero a.
Nota bene: la scrittura -a non rappresenta sempre un numero negativo, anche se cè il segno - dinanzi alla lettera a; si deve invece tenere presente che quando si scrive -a, s'intende dire o scrivere -1 moltiplicato per a.

Ricapitolando: la scrittura -a rappresenta un numero positivo, quando a rappresenta un numero negativo, la scrittura -a rappresenta un numero negativo, quando a rappresenta un numero positivo.

Addizione letterale
E' evidente che quando i numeri sono rappresentati da lettere, le operazioni non si possono eseguire come nel calcolo numerico, ma semplicemente indicare; soltanto quando si fissa un valore per ciascuna lettera le operazioni si possono eseguire. Quindi, la somma di due numeri relativi rappresentati da a e da b, resta solo indicata e si scrive: a+b. La somma di due numeri a e -b si scrive con a-b; la somma dei numeri a, b, c, e dei numeri a, -b, -c, viene rispettivamente indicata con: a+b+c, a-b-c, ecc.
Anche su questo punto si deve prestare attenzione: quando si considera a+b, s'intende quel numero che risulta dalla somma del numero a con il numero b; così quando si considera la a+b-c, s'intende quel numero che risulta sommando il numero a con il numero b, e sommando c al risultato ottenuto.
Esempi:
1)-se a=-3, b=+7, allora a+b=-3+7=+4, a-b=-3-(+7)=-10;
2)-se a=-1/2, b=+2, c=-3/4, allora a-b+c=-1/2-2-3/4=-13/4, -a+b-c=+1/2+2+3/4=13/4.

Proprietà commutativa dell'addizione letterale
La proprietà commutativa dell'addizione letterale è espressa dalla seguente uguaglianza: a+b=b+a.

Proprietà associativa dell'addizione letterale
La proprietà associativa dell'addizione letterale è espressa dalla seguente uguaglianza: a+b+c=a+(b+c), dove con (b+c) si è indicata la somma già calcolata di b e c.

Proprietà dissociativa dell'addizione letterale
Supponendo che sia b=(d+f), c=(x+y+z), la proprietà dissociativa dell'addizione letterale è espressa dalla seguente uguaglianza: a+b+c=a+(d+f)+(x+y+z)=a+d+f+x+y+z.

Tenendo presente queste tre proprietà, si può dimostrare il seguente teorema:
-l'opposto di una somma algebrica è la somma degli opposti dei suoi termini, o equivalentemente che la somma di due numeri relativi diversi da zero è uguale a zero solo quando i numeri sono opposti fra loro.
Ipotesi: si considera la somma a-b+c e l'opposta di essa -a+b-c.
Tesi: si vuole dimostrare che: (a-b+c)+(-a+b-c)=0.
Infatti, applicando la proprietà dissociativa, si ha: (a-b+c)+(-a+b-c)=a-b+c-a+b-c. Per la proprietà commutativa dell'addizione, il secondo membro di tale uguaglianza si può scrivere come segue: (a-b+c)+(-a+b-c)=a-a-b+b+c-c, da cui, per la proprietà associativa dell'addizione si ottiene: (a-b+c)+(-a+b-c)=(a-a)+(-b+b)+(c-c), ossia (a-b+c)+(-a+b-c)=0+0+0=0.
Tale teorema si può enunciare anche così:
-per cambiare segno ad una somma algebrica, basta cambiare il segno a tutti i suoi termini.

Moltiplicazione letterale
Se a e b sono due numeri relativi, per indicare il loro prodotto, anzichè usare la scrittura axb, si può usare a.b o ab, senza interporre alcun segno fra a e b. Ad esempio, per a=+3, b=-7, risulta ab=-21. Se qualche fattore letterale ha in evidenza il segno meno, nello scrivere il prodotto, un tale fattore si deve chiudere in parentesi assieme al segno -. Così, il prodotto di a e -b si deve scrivere a(-b). Però, siccome -b=-1b, per la proprietà commutativa della moltiplicazione, si ha: a(-b)=a(-1)b=(-1)ab=-ab, e perciò, invece di scrivere a(-b), si scrive -ab. Come anche, il prodotto del numero -a per il numero -b, invece di indicarlo (-a)(-b), si può scriverlo sotto la forma ab.

Proprietà commutativa della moltiplicazione letterale
La proprietà commutativa della moltiplicazione letterale è espressa dalla seguente uguaglianza: ab=ba.

Proprietà associativa della moltiplicazione letterale
La proprietà associativa della moltiplicazione letterale è espressa dalla seguente uguaglianza: abc=a(bc), dove con (bc) si è indicato il prodotto già calcolato di b per c.

Proprietà dissociativa della moltiplicazione letterale
Supponendo che sia b=(xy), la proprietà dissociativa dell'addizione letterale è espressa dalla seguente uguaglianza: abc=a(xy)c=axyc.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione algebrica
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione algebrica è espressa dalla seguente uguaglianza: (ab)c=ac+bc, od anche, tenendo conto della proprietà commutativa della moltiplicazione, da c(a+b)=ca+cb.

Conseguenze delle proprietà della moltiplicazione
Per la definizione di prodotto di più numeri relativi, si ha: abcd=(abc)d (1). Inoltre, per la proprietà commutativa si può scrivere abcd=abdc, e quindi per la proprietà associativa bcd=a(bd)c (2). Da (1) e (2), risulta: (abc)d=a(bd)c. Questa uguaglianza esprime quanto segue: per moltiplicare il prodotto indicato abc per d, basta moltiplicare il fattore b per d, lasciando inalterati gli altri fattori. Si ha quindi il seguente teorema:
-per moltiplicare un prodotto indicato per un numero, basta moltiplicare per quel numero un solo fattore del prodotto, e lasciare inalterati gli altri fattori.
In base alla proprietà dissociativa della moltiplicazione, si ha (ab)(cde)=abcde, e quindi si può enunciare il seguemte teorema:
-per moltiplicare fra loro due o più un prodotti indicati, basta formare un unico prodotto con tutti i fattori dei prodotti dati.
Si osserva infine che la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione vale anche per una somma algebrica, qualunque sia il numero dei suoi termini. Ad esempio: (a-b-c+d-e)f=af-bf-cf+df-ef. Questa uguaglianza si può scrivere, per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, sotto la seguente forma: af-bf-cf+df-ef=(a-b-c+d-e)f, e si vede che:
-quando i termini di una somma algebrica indicata contengono tutti uno stesso fattore, la somma stessa è uguale al prodotto del fattore comune per la somma indicata che si ottiene dalla data sopprimendo in ogni termine il fattore comune.
Questa proprietà prende il nome di inversa della proprietà distributiva. Quando viene applicata, si dice che raccoglie o che si mette in evidenza il fattore comune.

Divisione letterale
Il quoziente di due numeri a e b, con b≠0, si indica con il simbolo a:b, o anche sotto forma di frazione a/b. Ad esempio, se a=5, b=7, allora a:b=5/7; se a=2, b=-9, allora a:b=-2/9; se a=-5/4, b=3/7, allora a:b=-35/12.

E' bene ricordare che il quoziente di due numeri ha senso quando il divisore è diverso da zero, e perciò nel calcolo letterale, quando una lettere si usa come divisore, si deve sempre sottintendere che essa rappresenta un numero diverso da zero.
Si vogliono ora evidenziare alcune proprietà della divisione: se q indica il quoziente fra a e b, cioè se a:b=q, allora, per definizione di quoziente si ha: qb=a. Detto c un numero qualsiasi, diverso da zero, dalle due espressioni uguali qb e a, si ottengono due nuove espressioni uguali, moltiplicandole entrambe per c, si ha: qbc=ac, ossia, per la proprietà associativa della moltiplicazione: q(bc)=ac. Ma se il numero q moltiplicato per (bc) dà per prodotto ac, ciò vuole dire che il quoziente fra ac e bc è uguale a q, cioè si ha (ac):(bc)=q, ossia, essendo q=a:b, (ac):(bc)=a:b, o anche (a:b=ac):(bc). Da queste due ultime uguaglianze segue il seguente teorema:
-un quoziente non cambia valore se si dividono o si moltiplicano, per uno stesso numero diverso da zero, sia dividendo che divisore.
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione, è noto che (a+b+c)m=am+bm+cm. Ma se il prodotto del numero (a+b+c) per il numero m dà per il risultato il numero am+bm+cm, ciò significa che, per la definizione di quoziente, che è (am+bm+cm):m=a+b+c. Si ha così il seguente teorema:
-per dividere una somma algebrica indicata per un numero relativo diverso da zero, si divide ogni termine della somma per questo numero e poi si effettua la somma algebrica dei quozienti ottenuti.
Ricordando infine che per moltiplicare un prodottto indicato per un numero basta moltiplicare per quel numero un solo fattore del prodotto, segue che per dividere un prodotto indicato per quel numero diverso da zero, basta dividere per quel numero un solo fattore. Si ha così il seguente teorema:
per dividere un prodotto indicato di numeri relativi per un numero relativo diverso da zero, basta dividere uno solo dei fattori del prodotto per quel numero, e lasciare inalterati gli altri fattori.

Nota bene: è molto importante ricordare questi teoremi, perchè in seguito saranno saranno applicati parecchie volte. Si ribadisce quindi che: per dividere una somma indicata per un numero diverso da zero, bisogna dividere tutti i termini della somma per quel numero, mentre per dividere un prodotto indicato per un numero diverso da zero, si deve dividere un solo fattore del prodotto per quel numero.

Osservazione: si è convenuto di rappresentare i numeri relativi con lettere dell'alfabeto e, per non commettere degli errori, è preferibile fare delle precisazioni. Molte volte, in un problema algebrico o geometrico, fra le quantità che possono comparire, che sono indicate con lettere, alcune possono conservare lo stesso valore, altre invece possono essere suscettibili di assumere più valori. Le lettere che rappresentano le prime quantità si dicono costanti, le seconde variabili. Si vede quindi che una lettera può avere un doppio ufficio: essere una costante, cioè rappresentare un numero ben determinato e fisso, oppure essere una variabile, cioè rappresentare un numero che, in una stessa questione, può variare più o meno arbitrariamente, perchè in ogni problema verrà precisato quali lettere indicano quantità costanti e quali quantità variabili.