(1) ax=b.
Dall'analisi
di quest'equazione si vede che essa differisce in modo
sostanziale da quelle trattate, in quanto in esse i due membri si
potevano sempre ridurre a polinomi e l'incognita era la base delle
potenze e mai l'esponente. In tale caso, l'incognita figura come
esponente ed è per questa ragione che un'equazione del tipo (1)
si chiama equazione esponenziale.
E' bene osservare che,
nel campo dei numeri reali, il primo membro della (1), per definizione
di potenza, ha significato solo se a>0.
Si ricordi che per
a=0, la potenza è stata definita soltanto per esponenti positivi
ed è sempre uguale a zero per qualsiasi esponente.
Inoltre si sa che ax risulta
sempre positivo per qualsiasi valore della x, perciò l'equazione
(1) può avere delle soluzioni soltanto se si suppone b>0.
Supposto a>0 e b>0, si esaminano prima alcuni casi particolari:
-se a=1, b=1, è ovvio che qualsiasi valore della x soddisfa la (1), pertanto la (1) è un'identità;
-se
a=1, b≠1, è chiaro che l'equazione (1) non ammette nessuna
soluzione, perchè ogni potenza avente per base 1, quale che sia
l'esponente, è sempre uguale ad 1 e quindi non può
risultare uguale a b, che è diverso da 1;
-se a≠1, b=1, l'equazione (1) ammette solo la soluzione x=0, perchè a0=1;
-se
si vuole considerare il caso banale di a=0, allora per b=0
l'equazione è soddisfatta per tutti i valori positivi della x,
mentre per b≠0 è impossibile.
Restano da esaminare i casi in cui a e b sono entrambi diversi da 1.
1° caso: a>1, b>1.
In tale caso si vuole dimostrare che l'equazione esponenziale