MIKY & GENNY

EQUAZIONI ESPONENZIALI ---> INDICE

Siano a e b due numeri reali, ci si propone di cercare se esistono soluzioni dell'equazione:

(1) ax=b
.

Dall'analisi di quest'equazione si vede che essa differisce in modo sostanziale da quelle trattate, in quanto in esse i due membri si potevano sempre ridurre a polinomi e l'incognita era la base delle potenze e mai l'esponente. In tale caso, l'incognita figura come esponente ed è per questa ragione che un'equazione del tipo (1) si chiama equazione esponenziale.

E' bene osservare che, nel campo dei numeri reali, il primo membro della (1), per definizione di potenza, ha significato solo se a>0.

Si ricordi che per a=0, la potenza è stata definita soltanto per esponenti positivi ed è sempre uguale a zero per qualsiasi esponente.
Inoltre si sa che
ax risulta sempre positivo per qualsiasi valore della x, perciò l'equazione (1) può avere delle soluzioni soltanto se si suppone b>0.

Supposto a>0 e b>0, si esaminano prima alcuni casi particolari:
-se a=1, b=1, è ovvio che qualsiasi valore della x soddisfa la (1), pertanto la (1) è un'identità;
-se a=1, b≠1, è chiaro che l'equazione (1) non ammette nessuna soluzione, perchè ogni potenza avente per base 1, quale che sia l'esponente, è sempre uguale ad 1 e quindi non può risultare uguale a b, che è diverso da 1;
-se
a1, b=1, l'equazione (1) ammette solo la soluzione x=0, perchè a0=1;
-se si vuole considerare il caso banale di a=0, allora per b=0 l'equazione è soddisfatta per tutti i valori positivi della x, mentre per
b≠0 è impossibile.
Restano da esaminare i casi in cui a e b sono entrambi diversi da 1.

1° caso: a>1, b>1.
In tale caso si vuole dimostrare che l'equazione esponenziale

(1) ax=b
,

ammette una ed una sola soluzione, data da un numero reale positivo.

Si comincia col dimostrare l'unicità della soluzione, pertanto, ragionando per assurdo, si suppone che due numeri distinti
α e β siano soluzioni dell'equazione (1), cioè sia:

(2) a
α
=b, aβ=b.

Dalle (2) segue:

a
α
=aβ,

da cui si deduce che dev'essere

(3) α=β,

perchè se fosse 
α>β, sarebbe aα>aβ, dato che α>1, mentre se fosse α<β, sarebbe aα<aβ.
La (3) è contro l'ipotesi, perchè αβ. Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto che α e β fossero due soluzioni distinte dell'equazione, si deve concludere che la soluzione è unica.
Si dimostra ora che la (1) ammette sempre una soluzione.

Se esiste un numero razionale



per cui risulta


si ha subito la soluzione


S
e ciò non si verifica, si mettono tutti i numeri razionali, indicati con h, in una classe H per cui risulta ah<b, e tutti i numeri razionali, indicati con k, in una classe K per cui risulta ak>b. Si osservi che per un teorema precedente, di questi numeri k ne esistono certamente ed inoltre che anche lo zero appartiene alla classe H, perchè a0=1<b, siccome per ipotesi b>1.
A tal punto si dimostra che, e ci si limita solo all'enunciato, le classi H e K formano una sezione nel campo dei numeri razionali, perciò esse definiscono un numero reale positivo
, indicato con β, perchè lo zero appartiene alla classe H. Cioè si pone:

β=(H, K).

SI dimostra ora che il numero β soddisfa l'equazione (1), cioè risulta:

a
β
=b.

Infatti, elevando a alla potenza avente come esponente
β, per definizione di potenza ad esponente reale, si ottiene una sezione (F, G) di numeri reali, cioè:

a
β
=(F, G),

dove nella classe F vi sono tutti i numeri del tipo 
ah, con h numero di H, e tutti i numeri reali minori di essi; mentre in G vi sono tutti i numeri del tipo aK, con k numero di K, e tutti i numeri reali maggiori di essi. Pertanto, per come sono state costruite le due classi H e K, essendo
ah<b, ak>b, quali che siano i numeri h di H e k di K, si può dire che tutti i numeri contenuti in F sono minori di b, mentre tutti i numeri contenuti in G sono maggiori di b. E ciò significa che il numero individuato dalla sezione (F, G) è proprio il numero b, cioè dev'essere:

(F, G)=b,

quindi

aβ=b,

come volevasi dimostrare.

2° caso
: 0<a<1, 0<b<1.
In tale caso si pone:



quindi risulta 
a1>1, b1>1. Per quanto dimostrato in precedenza, esiste uno ed un solo numero reale positivo β per cui risulta:



ossia



cioè



quindi

a
β
=b .

Anche in questo caso è stato dimostrato che l'equazione (1) ammette una ed una sola soluzione, che risulta positiva.

3° caso
: a>1, 0<b<1.
In tale caso si pone:



quindi risulta 
b1>1. Per quanto dimostrato in precedenza, esiste uno ed un solo numero reale positivo β per cui risulta:

a
β
=b1 ,

ossia


da cui




cioè

a=b.

Quindi, in questo caso, l'equazione (1) ammette una ed una sola soluzione, data dal numero reale negativo -
β.

4° caso
: 0<a<1, b>1.

In tale caso si pone:



quindi risulta
a1>1. Per quanto dimostrato in precedenza, esiste uno ed un solo numero reale positivo β per cui risulta:


ossia


cioè
a=b.

Quindi, in questo caso, l'equazione (1) ammette una ed una sola soluzione, data dal numero reale negativo -
β.

Concludendo, si può enunciare il seguente teorema:
-se a e b sono due numeri reali positivi e a
1, l'equazione esponenziale

ax=b
,

ammette una ed una sola soluzione
:
-se a>1, b>1, la soluzione è un numero reale positivo,
-se a<1, b<1,
la soluzione è numero reale positivo,
-se a>1, b<1, la soluzione è un numero reale negativo,

-se a<1, b>1, la soluzione è un numero reale negativo,
-se a>0, b=1, la soluzione è uguale a 0.