MIKY & GENNY

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA ---> INDICE

Identità algebrica
Si è dimostrato che le seguenti due espressioni algebriche; (a+b)2 e
 a2+2ab+b2, sono uguali fra loro per qualsiasi valore attribuito alle lettere a e b. In altri termini, se alle lettere a e b si sostituisce qualsiasi valore numerico, e si calcola separatamente prima il numero (a+b) e quindi, (a+b)2, e se poi si calcola il valore dell'espressione a2+2ab+b2, si trova sempre lo stesso numero. Quindi, si può dire che l'uguaglianza (1) (a+b)2=a2+2ab+b2, risulta verificata da tutti valori che si possono attribuire alle lettere in essa contenute.
Esempi:

1)-se a=-3, si ha:
(a+b)2=(-3+7)2=(+4)2=+16; a2+2ab+b2=(-3)2+2(-3)(+7)+(+7)2=9-42+49=16;

2)-se




si ha:




Altre uguaglianze che godono della stessa proprietà, ad esempio, sono le seguenti:


Nota bene
Nell'espressione (2) si deve escludere
il valore c=5, perchè non permette di calcolare il valore delle due espressioni, mentre nella (4) si devono escludere i valori a=b, per i quali la prima espressione non si può calcolare. Da tali esempi, si vede che esistono delle uguaglianze fra due espressioni algebriche che risultano verificate da tutti i valori che si possono attribuire alle variabili in esse contenute, esclusi quei particolari valori numerici per i quali almeno una delle due espressioni perde di significato. A questi particolari tipi di uguaglianze si attribuisce il nome di identità.
Negli esempi suddetti 1), 2), 3), 4), tutte le lettere contenute nelle singole espressioni sono state considerate come variabili; però è noto che non sempre tutte le lettere contenute in un'espressione algebrica sono variabili, perchè alcune di esse possono rappresentare numeri fissi ben determinati, cioè possono essere delle costanti. Allora, quando in due espressioni algebriche alcune lettere sono costanti, le due espressioni sono identiche quando assumono gli stessi valori per ogni valore attribuiti alle variabili in esse contenute. Ad esempio, se le lettere a e b rappresentano numeri ben determinati, le due espressioni algebriche nella variabile x: a(b+x), ab+ax, sono identiche perchè, per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, è noto che per ogni valore della x, risulta: a(b+x)=ab+ax. Dalla definizione data, segue che per verificare se le due espressioni algebriche sono o no identiche, esse si devono calcolare solo per quei valori delle variabili per i quali risultano entrambe definite.

Definizione

Si chiama identità algebrica ogni uguaglianza fra due espressioni algebriche che è verificata da qualsiasi valore attribuito alle variabili in esse contenute, esclusi quei valori per i quali almeno una delle due espressioni perde significato.
Dalla definizione segue che, per verificare se due espressioni sono o no identiche, esse si devono calcolare solo per quei valori delle variabili per i quali risultano entrambe definite.
Esempi:
1)-si considerano ora le due espressioni nella variabile x:
x2-5x+20 e 3x+8.
E' ovvio che, se alla lettera x si attribuisce un valore numerico, le due espressioni assumono, in generale, valori diversi. Ad esempio, per x=5, la prima vale 20 e la seconda  23; per x=12, la prima vale 104, la seconda 44, ecc. Invece, per x=2, le due espressioni assumono lo stesso valore, e precisamente 14, perciò l'uguaglianza
(5) x2-5x+20=3x+8, non è verificata per qualsiasi valore della x, ma soltanto per determinati valori attribuiti alla variabile x.

2)-si considerano le due espressioni algebriche nelle variabili x e y: 3x+2y-1, x-5y+13, si vede facilmente che esse non risultano uguali per tutte le coppie di numeri che si possono attribuire alle variabili x e y:
per x=2, y=1, la prima espressione vale 7 e la seconda 10,
per x=1/3, y=-5, la prima vale -10 e la seconda 115/3,
per x=1, y=12/7, le due espressioni assumono valori uguali, quindi si può dire che questa coppia di numeri verifica l'uguaglianza (6) 3x+2y-1=x-5y+13.
Così pure la coppia di numeri x=-5, y=24/7, verifica l'uguaglianza suddetta. Anzi in seguito si può dimostrare che la (6) è verificata da infinite coppie di numeri; ma nonostante ciò, la (6) non è verificata da tutte le possibili coppie di numeri che si possono attribuire alle variabili in essa contenute.
3)-se nelle due espressioni ax+4, a2-2x, si considera la lettera a come una costante e la lettera x come variabile, si vede che le due espressioni assumono valori uguali quando alla x si attribuisce il valore a-2, cioè x=a-2. Infatti, la prima espressione vale a(a-2)+4=a2-2a+4, la seconda a2-2(a-2)=a2-2a+4, quindi i due risultati sono uguali. Per qualsiasi altro valore della x, il valore della prima espressione non è uguale a quello della seconda, perciò l'uguaglianza ax+4=a2-2x, dove a è considerata costante ed x variabile, è soddisfatta dolo per x=a-2. Si vede così la differenza che esiste fra questi ultimi tre tipi di e quelle considerate in precedenza. Si quò dire quindi che le prime tre sono uguaglianze incondizionate, nel senso che l'uguaglianza sussiste per qualsiasi valore attibuito alle variabili in esse contenute, mentre le ultime sono uguaglianze condizionate, nel senso che l'uguaglianza sussiste per determinati valori attibuiti alle variabili in esse contenute.
Queste ultime uguaglianze si chiamano
equazioni.

Chiamasi equazione algebrica, un'uguaglianza fra due espressioni algebriche che risulta verificata soltanto da particolari valori delle variabili in essa contenute
.
Le variabili che compaiono in un'equazione algebrica si chiamano incognite. Le due espressioni algebriche, che formano l'equazione, si chiamano membri dell'equazione, quello a sinistra del segno di uguaglianza si chiama primo membro, quello a destra secondo membro.

Definizione - Si chiama soluzione dell'equazione, ogni sistema di valori che, attribuiti alle incognite, fanno assumere al primo membro dell'equazione lo stesso valore del secondo.
Un'equazione si dice ad una, due, tre, ecc., incognite, se in essa figurano
una, due, tre, ecc., variabili.
Ad esempio, le equazioni precedentemente considerate:
x2-5x+20=3x+8, ax+4=a2-2x, sono ad una sola incognita, mentre l'equazione: 3x+2y+1=x-5y+13, è a due incognite. Può capitare il caso in cui un'equazione non ammette soluzioni, ad esempio l'equazione: x2=-9, non ammette nessuna soluzione perchè per qualsiasi valore, positivo o negativo, attribuito alla x, il suo quadrato risulta sempre positivo, e quindi non può risultare uguale a -9.
Ogni equazione che non ammette soluzioni, si dice impossibile o assurda
.
Un'equazione che ammette un numero illimitato di soluzioni, si dice indeterminata.
Ad esempio, si vede facilmente che l'equazione x+y=9 è indeterminata, perchè ammette infinite soluzioni, cioè esistono infinite coppie di numeri che, sostituiti alle incognite, soddisfano l'equazione.

Un'equazione che ammette un numero limitato di soluzioni, si dice determinata
.

Ad esempio, l'equazione 2x=6 è determinata, perchè ammette solo la soluzione x=3, come anche è determinata l'equazione 
x2=4, perchè ammette solo le due soluzioni x=1 e x=-1.

Risolvere un'equazione, significa trovare tutte le soluzioni
.
Il procedimento che permette di ottenere le soluzioni, costituisce la risoluzione dell'equazione.

Equazioni algebriche ad una sola incognita
Indicando sempre con la lettera x l'incognita, siano A(x) e B(x) due espressioni algebriche nella variabile x, non fra loro identiche; un'equazione
algebrica nell'incognita x si può rappresentare con la scrittura A(x)=B(x). Premesso ciò, ci si propone di vedere come, data un'equazione algebrica in un'incognita si possono determinare le soluzioni dell'equazione, cioè come si possono determinare quei numeri che, sostituiti all'incognita x, fanno assumere al primo membro dell'equazione lo stesso valore del secondo.
Si premettono alcune definizioni:
Definizione 1) - Un'equazione algebrica, nell'incognita x, si dice intera, quando i suoi due membri sono espressioni algebriche intere rispetto ad x.
Ad esempio, sono intere le seguenti equazioni, nell'incognita x:


Definizione 2) - Un'equazione algebrica, nell'incognita x, si dice frazionaria o fratta, quando in uno almeno dei suoi due membri vi sono delle frazioni che contengono l'incognita al denominatore.

Ad esempio, sono fratte le seguenti equ
azioni, nell'incognita x:


Definizione 3) - Un'equazione algebrica,
si dice numerica quando, all'infuori dell'incognita, contiene soltanto numeri.
Ad esempio, sono numeriche le seguenti equ
azioni, nell'incognita x:



Definizione 4) - Un'equazione algebrica,
si dice letterale quando, all'infuori dell'incognita, contiene altre lettere che rappresentano numeri ben determinati.
Ad esempio, sono letterali le seguenti equ
azioni, nell'incognita x:



In questo caso le soluzioni sono, in generale, espressioni formate con le lettere costanti.
Così, ad esempio, si è visto che la soluzione della prima delle due equazioni scritte, è x=a-2.

Equazioni equivalenti

Definizione - Due
equazioni algebriche nella stessa incognita x si dicono equivalenti, quando tutte le soluzioni della prima equazione sono anche soluzioni della seconda e, viceversa tutte le soluzioni della seconda sono anche soluzioni della prima.

Nota bene

Quando si hanno due equazioni, per decidere se sono equivalenti, non basta assicurarsi che tutte le soluzioni della prima equazione sono anche soluzioni della seconda, ma bisogna controllare anche se tutte le soluzioni della seconda sono soluzioni della prima, e ciò perchè può benissimo capitare che la seconda equazione ha come soluzioni tutte le soluzioni della prima ed anche altre.
Ad esempio, nelle due equazioni 5x-3=7, 2x2-x=x2+6x-10, si verifica facilmente che la prima ammette l'unica soluzione x=2, mentre la seconda è soddisfatta anch'essa per x=2, ma ammette anche la soluzione x=5, che non è soluzione della prima. Pertanto, queste due equazioni non sono equivalenti.

Dalla definizione di equazioni equivalenti, risulta che: due equazioni equivalenti ad una terza, sono equivalenti.
Poichè due
equazioni equivalenti hanno le stesse soluzioni, è chiaro che, quando si vuol risolvere una data equazione, al suo posto si può risolvere qualsiasi altra equazione ad essa equivalente. Ciò è molto vantaggioso quando questa seconda equazione, equivalente alla prima, si presenta sotto forma più semplice di quella data. Anzi, è molto conveniente trasformare l'equazione data in un'altra ad essa equivalente, ma più semplice, e questa, a sua volta, si trasforma in un'altra equivalente di forma ancora più semplice, e così via, finchè si perviene ad un'equazione equivalente alla data, della quale si trovano con facilità le soluzioni. Se questo è dunque il procedimento da seguire per risolvere un'equazione, si comprende come è importante vedere quali sono le operazioni che si possono effettuare su un'equazione per trasformarla in un'altra equivalente: esse derivano da due teoremi fondamentali, detti principi della teoria delle equazioni, sui quali si richiama la massima attenzione, per evitare di trasformare la risoluzione di un'equazione in un inutile e brutale meccanismo. Si vedono ora i principi fondamentali sulle equazioni, ricordando prima le proprietà delle uguaglianze fra numeri relativi, che sono immediate conseguenze della definizione di somma, prodotto e quoziente fra numeri relativi.
1)-Se a, b, c, indicano tre numeri relativi, da a=b, segue: a+c=b+c, quale che sia il numero c;
2)-da
a+c=b+c, segue: a=b;
3)-
da a=b, segue: ac=bc;
4)-da ac=bc, segue, se c è diverso da 0: a=b.

Principio di addizione - Se ad ambo i termini di un'equazione si aggiunge uno stesso numero, o una stessa espressione algebrica nell'incognita x, che si possa calcolare per ogni valore della x, si ottiene un'equazione equivalente alla data.
Dimostrazione
Data l'equazione: (1) A(x)=B(x), e indicata con M(x) un'espressione 
algebrica nell'incognita x, si deve dimostrare che l'equazione (1) è equivalente all'equazione (2) A(x)+M(x)=B(x)+M(x).
Per definizione di equazioni equivalenti, si deve quindi dimostrare che ogni soluzione della (1) è anche soluzione della (2) e, viceversa, ogni soluzione della (2) è anche soluzione della (1).
Per dimostrare la prima parte, si suppone che il numero α sia una soluzione dell'equazione (1). Ciò significa che se si calcolano le due espressioni A(x) e B(x) per x=α, esse assumono valori uguali. Si ha quindi, per l'ipotesi fatta, (3)
A(α)=B(α), che è, per quanto detto su α, un'uguaglianza numerica. Indicato con M(α) il valore che assume l'espressione M(x) per x=α, valore certamente esistente per l'ipotesi fatta su M(x), dalla (3), per la proprietà (1) delle uguaglianze fra numeri relativi, si deduce che è pure: A(α)+M(α)=B(α)+M(α): il che prova che per x=α, ambo i membri dell'equazione (2) assumono lo stesso valore, cioè che α è anche una soluzione dell'equazione (2), come volevasi dimostrare. Per dimostrare la seconda parte, si suppone che il numero β sia una soluzione dell'equazione (2), cioè sia: (4) A(β)+M(β)=B(β)+M(β), si prova che il numero β è anche soluzione dell'equazione (1).
Infatti, essendo le (4) un'uguaglianza tra numeri,
per la proprietà (2) delle uguaglianze fra numeri relativi, si deduce l'uguaglianza: A(β)=B(β), e ciò prova che il numero β è anche una soluzione dell'equazione (1). In tal modo, il teorema è completamente dimostrato.
Esempi:
1)-l'equazione 2x+7=3+
x2, è equivalente all'equazione 2x+7+9=3+x2+9, ottenuta da quella assegnata aggiungendo ad entrambi i membri il numero 9.

2)-l'equazione
x3-2x-a=b+5x, è equivalente all'equazione x3-2x=b+5x+a, ottenuta da quella assegnata aggiungendo ad entrambi i membri a, e quest'ultima è equivalente all'equazione x3-7x=b+a, che si deduce aggiungendo -5x ad entrambi i membri.

Nota bene
Per evitare equivoci ed errori, è bene fare alcune osservazioni sul principio di addizione dimostrato. Si è dimostrato che se ad ambo i membri di un'equazione si aggiunge una stessa espressione M(x), che si può calcolare per ogni valore della x, si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata. Ma se invece l'
espressione M(x) non si può calcolare per tutti i valori della x, può benissimo darsi che le equazioni (1) e (2) non siano equivalenti. Infatti, se accade che una soluzione, x=α, dell'equazione (1) è proprio uno di quei valori per i quali si può calcolare l'espressione M(X), allora il numero α non è certamente la soluzione dell'equazione (2).
Esempi:
(1)-l'equazione 5x-1=9, ha per soluzione il numero 2.
Aggiungendo ad ambo i membri l'espressione

 

si ha l'equazione:



Questa equazione non può avere per soluzione 2, perchè per questo valore non si può calcolare l'espressione 7/x-2. Quindi essa non è equivalente all'equazione data.

(2)-l'equazione


non è equivalente all'equazione
x2=9, ottenuta dalla data aggiungendo ad ambo i membri l'espressione -1/x-3. Infatti, quest'ultima equazione ha per soluzioni x=3, x=-3. Ma la soluzione x=3 non è soluzione dell'equazione data, perchè per x=3, l'espressione 1/x-3 non si può calcolare.

Conseguenza del principio di addizione, è il seguente principio:
Principio del trasporto - Se in un'equazione si trasporta un termine dal membro in cui si trova all'altro, purchè lo si cambi di segno, si ottiene un'equazione equivalente alla data.

Infatti, se nell'equazione
A(x)+C(x)=B(x) si aggiunge ad ambo i membri -C(x), per il principio dell'addizione, si ottiene l'equazione equivalente: A(x)+C(x)-C(x)=B(x)-C(x), che si può scrivere anche sotto la forma: A(x)=B(x)-C(x), dato che C(x)-C(x)=0. Dal confronto di quest'ultima equazione con quella assegnata, si nota che il termine +C(x) è passato dal primo al secondo membro, col segno cambiato.
Esempi:
(1)-nell'equazione 4x+5=2x+7, si può trasportare il termine +5 nel secondo membro, col segno cambiato, perchè aggiungendo ad entrambi i membri dell'equazione il numero -5, si ottiene l'equazione equivalente:
4x+5-5=2x+7-5; e poichè 5-5=0, si ha: 4x=2x+7-5. In questa equazione il termine +5 risulta trasportato nel secondo membro col segno cambiato.

(2)-nell'equazione
3x2-5x+9=5x2-7x-2, aggiungendo ad entrambi i membri dell'equazione -5x2+7x+2, si ottiene l'equazione equivalente: 3x2-5x+9-5x2+7x+2=5x2-7x-2-5x2+7x+2, da cui, riducendo i termini simili; -2x2+2x+11=0.

Dal principio del trasporto, segue:
-in un'equazione si possono trasportare tutti i termini nel primo membro, ed in tal modo il secondo membro risulta uguale a zero.

Concludendo, si può dire che un'equazione si può sempre scrivere sotto la forma: A(x)=0.

Principio di moltiplicazione e divisione - Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un'equazione per uno stesso numero diverso da zero, o per una stessa espressione algebrica nell'incognita x, che si può calcolare per ogni valore della x, e che non risulta
mai nulla, si ottiene un'equazione equivalente a quella assegnata.
Dimostrazione:
data l'equazione
(1) A(x)=B(x), e detta M(x) un'espressione algebrica che si può calcolare per ogni valore della x, e che non risulta mai nulla, si tratta di dimostrare che l'equazione (2) A(x)M(x)=B(x)M(x), è equivalente a quella assegnata.
Infatti, sia
α una soluzione dell'equazione (1), cioè sia (3) A(α)=B(α), e M(α) il valore di M(x) per x=α, valore certamente esistente, per l'ipotesi fatta su M(x). Dalla (3), per la terza proprietà dell'uguaglianza fra numeri relativi, si ha: A(α)M(α)=B(α)M(α); e quindi, poichè x=α, ambo i membri dell'equazione (2) assumono lo stesso valore; segue che il numero α è una soluzione dell'equazione (2). Viceversa, sia β una soluzione dell'equazione (2), cioè sia: (4) A(β)M(β)=B(β)M(β), si deve dimostrare che è anche β una soluzione della (1). Siccome per ipotesi M(β)≠0, si può applicare all'uguaglianza numerica (4) la quarta proprietà dell'uguaglianza fra numeri relativi, quindi, si ha: A(β)=B(β), come volevasi dimostrare. Analogamente si procede nel caso in cui si dividono ambo i membri della (1) per M(x).
Esempi:
1)-l'equazione 4x+3=x-5 è equivalente all'equazione 20x+15=5x-25, oppure all'equazione:



la prima ottenuta moltiplicando ambo i membri per 5, la seconda per 1/4.

2)-l'equazione x-a=b+c è equivalente all'equazione (b+c)(x-a)=
b2-c2, purchè sia b-c≠0, ossia b≠c.

Nota bene
L'ipotesi che M(x) sia diverso da zero per qualsiasi valore della x, è una condizione essenziale per la validità del principio enunciato. Infatti, se ciò non fosse vero, ogni soluzione dell'equazione (1) sarebbe anche soluzione della (2), ma non viceversa, perchè la (2) è anche soddisfatta dai valori che annullano M(x). In altri termini, l'equazione (2) ammette, oltre le soluzioni dell'equazione (1), anche tutte quelle dell'equazione M(x)=0, così la (1) e la (2) non sono, in generale, equivalenti. Perciò, quando si devono moltiplicare ambo i membri di un'equazione per un'espressione M(x) contenente l'incognita, dopo aver risolto l'equazione ottenuta, bisogna discutere i valori trovati, per escludere quelli che annullano il moltiplicatore M(x), senza verificare l'equazione proposta. Bisogna cioè, come suol dirsi, discutere le soluzioni trovate. Quando invece si dividono ambo i membri dell'equazione (1) per un'espressione M(x) contenente l'incognita, si sopprimono, in generale, delle soluzioni dell'equazione (1), e precisamente quelle che annullano l'espressione M(x) per la quale si è diviso. Perciò, in tal caso, per avere le soluzioni dell'equazione proposta, bisogna, dopo aver risolto l'equazione ottenuta dalla (1) dividendo ambo i termini per M(x), aggiungere alle soluzioni trovate quelle eventuali soluzioni dell'equazione M(x)=0 che soddisfano l'equazione assegnata (1).
Esempi:
1)-l'equazione x+5=8, non è equivalente all'equazione x2+5x=8, che si è ottenuta dalla prima moltiplicando ambo i membri per x.
Infatti, la prima equazione ammette l'unica soluzione x=3, mentre la seconda ha le soluzioni x=0 e x=3.


2)-l'equazione (1) 3x+1=5x-3, ha per soluzione x=2. Moltiplicando ambo i membri per x-1, si ottiene l'equazione (x-1)(
3x+1)=(x-1)(5x-3), ossia, eseguendo i prodotti indicati e riducendo i termini simili, l'equazione: (2) 3x2-2x-1=5x2-8x+3, che ha soluzioni x=2 e x=1. La prima, x=2, è soluzione, come si è visto, anche dell'equazione data, la seconda, x=1, non è soluzione dell'equazione data, ma dell'equazione x-1=0, che si ottiene uguagliando a zero l'espressione x-1, per la quale si sono moltiplicati ambo i membri dell'equazione data. Perciò (1) e (2) non sono equivalenti.

3)-dividendo ambo i membri dell'equazione:
x2+8=6x, per x-2, si ottiene:



ossia


cioè:

 
ed essendo:
x2-6x+8=x2-4x-2x+8=x(x-4)-2(x-4)=(x-4)(x-2), l'equazione può anche scriversi sotto la forma:


da cui, semplificando, segue: x-4=0, che ammette la sola soluzione x=4, che è anche soluzione dell'equazione data. Però, l'equazione proposta ammette anche la soluzione x=2, che è precisamente la soluzione dell'equazione x-2=0, ottenuta uguagliando a zero l'espressione x-2, per la quale sono stati divisi ambo i membri dell'equazione data.
Evidentemente, l'equazione ottenuta, non è equivalente a quella data.

Conseguenze del principio di moltiplicazione e divisione

1) - Se due membri di un'equazione hanno un fattore numerico comune, diverso da zero, questo può essere soppresso.
Infatti, ciò equivale a dividere ambo i membri dell'equazione per uno stesso numero diverso da zero.
Esempio:
l'equazione: 630
x2-420x=105x-735, è equivalente all'equazione 6x2-4x=x-7, perchè questa si può dedurre dalla prima, dividendo i due membri per il fattore 105.

2) - Cambiando il segno a tutti i termini di un'quazione, si ottiene un'altra equazione equivalente alla data
.
Infatti, ciò equivale a moltiplicare ambo i membri dell'equazione per -1.
Esempio:
l'equazione: 2
x2-3x=-9+x, è equivalente all'equazione -2x2+3x=9-x.

3) - Un'equazione intera a coefficienti numerici, si può trasformare in un'altra equazione equivalente alla data, in cui non compaiono denominatori.
Infatti, basta moltiplicare ambo i membri dell'equazione per il m. c. m. dei denominatori.

Esempio: moltiplicando ambo i membri dell'equazione:


per il m. c. m. dei denominatori, che è 42, si ottiene l'equazione equivalente:


e questa, semplificando le singole frazioni, diventa: 70x-12=49x+16, che è priva di denominatori.


Equazioni intere ad un'incognita e con coefficienti numerici

Si è visto che le equazioni intere a coefficienti numerici si possono trasformare in altre equivalenti, nelle quali non figurano denominatori e con il secondo membro uguale a zero. Perciò, il primo membro di queste equazioni risulta un polinomio in x. Questo polinomio si può scrivere sotto la forma normale, riducendo i termini simili, in modo che ogni equazione intera a coefficienti numerici, può essere scritta sotto la forma A(x)=0,dove
A(x) è un polinomio in x scritto sotto forma normale.
Quando l'equazione è scritta sotto la forma A(x)=0, si dice scritta o ridotta a forma normale.
Il grado del polinomio A(x) si chiama grado dell'equazione.
Quindi, per trovare il grado di un'equazione intera a 
coefficienti numerici, bisogna scriverla sotto forma normale: il suo grado è quello del polinomio che costituisce il primo membro
.
Esempi:
1)-l'equazione
(2x+5)2-6x=x(4+x)+3x2, scritta sotto forma normale diventa: 10x+25=0, ed essendo il suo primo membro un polinomio di primo grado, l'equazione data è di primo grado.

2)-l'equazione:


scritta sotto forma normale diventa:
2x2+2x-57=0, ed è perciò di secondo grado.

3)-l'equazione:



scritta sotto forma normale diventa: 3
7=0, ed è grado 0, perchè il polinomio 37 è di grado 0.

4)-l'equazione:


scritta sotto forma normale diventa:
0=0, e si vede che è un'identità, cioè l'uguaglianza risulta soddisfatta da qualsiasi valore atribuito alla x. In questo caso, non ha senso parlare di grado, perchè, come si è detto, al polinomio nullo non si attribuisce nessun grado.
Si deve infine osservare che: un un'equazione di grado zero non ammette soluzioni, cioè è impossibile.

Equazioni di primo grado
Si applicano ora i principi dimostrati, alla risoluzione delle equazioni intere di primo grado, a coefficienti numerici. In base a tali principi, un'equazione intera, a coefficienti numerici, di primo grado, si può sempre scrivere sotto la forma: ax=b, dove a e b sono numeri interi, con a diverso da zero. Dividendo allora ambo i membri dell'equazione per a, si ottiene:



e ciò prova che l'equazione ammette l'unica soluzione data dal numero b/a.
Un'equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione.
Esempi:
1)-risolvere l'equazione:
(x+2)2-(x-1)2=3(x-1)+2x.
Sviluppando i quadrati ed eseguendo il prodotto indicato, si ha:
x2+4x+4-x2+2x-1=3x-3+2x.
Trasportando tutti i termini contenenti l'incognita nel primo membro ed i termini noti nel secondo, per il principio del trasporto, si ottiene l'equazione equivalente:
x2+4x-x2+2x-3x-2x=-4+1-3, ed effettuando la riduzione dei termini simili: x=-6. La soluzione dell'equazione è quindi data dal numero -6.
Se si vuole controllare l'esattezza dei calcoli, basta effettuare la cosiddetta verifica, che consiste in questo: nell'equazione data si sostituisce ad x il numero trovato e, si eseguono separatamente le operazioni indicate nei due membri dell'equazione; se 
membri dell'equazione assumono valori uguali, vuol dire che il numero trovato è proprio la soluzione dell'equazione.
Nell'esempio 1), ponendo nei due membri x=-6, si trova:
1° membro,
(-6+2)2-(-6x-1)2=(-4)2-(-7)2=16-49=-33.
2° membro,  3(-6-1)+2(-6)=-21-12=-33.

2)-risolvere l'equazione:



Si moltiplicano ambo i membri dell'equazione per il m. c. m. dei denominatori, che è 60, e si ha: 15(x-3)-12(x-2)=60-2(4x-9). Dopo aver calcolato i prodotti, risulta: 15x-45-12x+24=60-8x+18, da cui, trasportando i termini contenenti l'incognita nel primo membro, e i termini noti nel secondo, si ottiene:15x-12x+8x=45-24+60+18; ed infine, riducendo i termini simili, si ha 11x=99, da cui, dividendo ambo i membri per 11, si ottiene x=99/11=9, che è la soluzione dell'equazione proposta.
Dalla  verifica, sostituendo il valore numerico 9 alla x, primo e secondo membri risultano entrambi uguale a 1/10.
Si può concludere che, per risolvere un'equazione intera
di primo grado in una incognita e a coefficienti numerici, si devono eseguire le seguenti operazioni:
1)-si libera, quando sia il caso, l'equazione dai denominatori, moltriplicando ambo i membri per il m. c. m. dei denominatori;
2)-si effettuano gli eventuali prodotti indicati;
3)-si trasportano tutti i termini contenenti l'incognita al primo membro, e tutti i termini noti al secondo;
4)-si riducono in ambo i membri i termini simili;
5)-si dividono ambo i membri dell'equazione per il coefficiente dell'incognita
.

Equazioni intere letterali

In pratica,
oltre alle equazioni intere di primo grado in una incognita e a coefficienti numerici, capita spesso di trovare equazioni intere i cui coefficienti sono tutti, o in parte, espressioni letterali. Anche queste equazioni si risolvono con la regola enunciata in precedenza, ma in questo caso può darsi che, per valori particolari delle lettere che compaiono nei coefficienti, l'equazione diventi impossibile o si trasformi in un'identità. Bisogna quindi precisare di volta in volta questi particolari valori delle lettere; in ciò consiste la cosiddetta discussione dell'equazione.
Esempi:
1)-risolvere l'equazione: 7x-b=ax+2.

Trasportando al primo membro il termine ax e al secondo -b, si ha: 7x-ax=2+b, ossia: (1) (7-a)x=2+b.

Affinchè questa equazione sia di primo grado è necessario che risulti 7-a
0, ossia a7. Perciò, supponendo che la lettera a rappresenti un numero diverso da 7, dividendo per 7-a ambo i membri dell'equazione data, si ottiene:



Discussione:
per a
7, l'equazione data ammette una sola soluzione, data da:



Per a=
7, l'equazione (1) diventa: (2) 0=2+b. Se poi b=-2, cioè 2+b=0, la (2) diventa 0=0, cioè un'identità. Perciò l'equazione proposta per a=7 e b=-2, risulta soddisfatta da qualsiasi valore attibuito alla x. Se invece è b-2cioè 2+b0, l'equazione (2) è di grado zero e, come è noto, non ammette soluzioni..

2)-risolvere l'equazione:



Affinchè l'equazione abbia significato, i denominatori devono essere tutti diversi da zero, e quindi si deve supporre a
0, b0. Sotto queste condizioni il loro m. c. m., ab, è un numero diverso da zero. Pertanto, moltiplicando ambo i membri dell'equazione per ab, si ottiene l'equazione equivalente: bx+ab-b2-ax-ab+a2=b2-a2, ossia (1): (b-a)x=2(b2-a2).
Se ora si suppone ba, risulta b-a0, e quindi dalla (1) si ricava:



Se a=b, la (1) assume la forma 0=0, e quindi l'equazione proposta è soddisfatta da qualsiasi numero, ossia è un'identità. Si può quindi dire che: se a=0, oppure b=0, l'equazione perde di significato. Se a=b
≠0, l'equazione è soddisfatta da qualsiasi valore della x, cioè è un'identità. Per a0, b0, ab, l'equazione ammette una sola soluzione data da x=2(a+b).

3)-risolvere l'equazione:

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Affinchè l'equazione abbia significato, i denominatori devono essere tutti diversi da zero, e quindi si deve supporre a
1/2 e a-1/2. Sotto queste condizioni il denominatore comune, cioè (2a+1)(2a-1) è diverso da zero. Risolvendo l'equazione, si ha: 3a(2a+1)+(3ax+a)(2a-1)=8a2+2+ax(2a+1), ossia calcolando i prodotti indicati e poi riducendo i termini simili: (1) 4a(a-1)x=-2(a-1).
Se è a(a-1)
0, cioè a0 e a1, l'equazione ammette la soluzione:



Se è a=
0, l'equazione (1) non ammette soluzioni, perchè il primo membro vale sempre zero per qualsiasi valore della x, mentre il secondo membro è diverso da zero.
Se a=1, la (1) è un'identità, cioè risulta soddisfatta da qualsiasi valore della x.
Si può quindi dire che, se alla lettera a si dà valore -1/2, oppure 1/2, l'equazione perde di significato. Per a=0, l'equazione è impossibile. Per a=1, l'equazione è soddisfatta da ogni valore della x, cioè è un'identità. In ogni altro caso, l'equazione ammette una sola soluzione, data da x=-1/2a.

Equazioni frazionarie
Le e
quazioni frazionarie si risolvono come quelle intere, numeriche o letterali. In tal caso però, per togliere i denominatori, si devono moltiplicare ambo i membri dell'equazione per un multiplo comune dei denominatori, che può essere un'espressione M(x), contenente l'incognita. Perciò, se questa espressione M(x) non si annulla per nessun valore della x, per il principio di moltiplicazione, l'equazione che si ottiene è equivalente alla data. Ma se M(x) si annulla per certi valori della x, allora si sa che, delle soluzioni della nuova equazione, sono soluzioni dell'equazione data soltanto quelle che non annullano M(x), cioè quelle che non annullano nessun denominatore dell'equazione data.
Esempi:
1)-risolvere l'equazione:


Il denominatore comune è (x+1)(x-1). Quindi
si devono moltiplicare ambo i membri dell'equazione per questa espressione, operazione lecita se x-1, x+1, perchè allora il denominatore comune è diverso da zero. Stabilita tale escusione, liberando l'equazione dai denominatori, si ottiene: 1+3x+3=2x-2, ossia x=-6. Siccome il numero trovato -6 è diverso dai valori -1 e +1 che annullano il denominatore comune, allora si è certi che -6 è anche soluzione dell'equazione data.

2)-risolvere l'equazione:


Il denominatore comune è 2(x-3), e quindi per la x si deve escludere il valore 3. Supposto ciò, liberando l'equazione dai deniminatori, si ha:
2x2-4x-6=(x-3)(2x+1). Sviluppando e semplificando, si ha: x=3. Poichè quest'ultima soluzione coincide con il valore da escludere, si conclude che l'equazione data non ammette soluzioni, cioè è impossibile.