In questi casi, cioè quando il valore della y dipende da quello fissato per la x, si dice che y è funzione della variabile x, però non è detto che alla variabile x si possano attribuire valori completamente arbitrari.
Negli esempi 1), 2) e 3), alla x si devono attribuire valori positivi, perchè:
-nella 1), la misura di un segmento è positiva,
-nella 2), non ha senso parlare di un gas sottoposto ad una pressione negativa,
-nella 3), non ha senso considerare uno spazio percorso in un tempo negativo.
Nell'esempio 4), alla x si possono attribuire soltanto valori positivi minori di 5, se si vuole che il valore della y sia reale.
Si
deve quindi pensare che il legame che determina il valore della y, una
volta assegnato quello della x, si può applicare, in generale,
soltanto quando alla x si attribuiscono convenienti valori.
L'insieme dei valori che si devono attribuire alla x, affinchè esista il corrispondente valore della y, si chiama campo di esistenza o di definizione della funzione y.
Dalle considerazioni fatte, segue la seguente definizione data da Dirichlet:
-una
variabile y si dice funzione della variabile x, quando esiste un legame
di natura qualsiasi, che faccia corrispondere ad ogni valore assegnato
alla x, entro determinati limiti, uno ed un solo valore della y.
La x si chiama variabile indipendente e la y variabile dipendente o funzione.
L'insieme dei valori che si possono attribuire alla x, come è stato detto, si chiama campo di esistenza o di definizione della funzione y.
Per indicare che y è una funzione della variabile x, si usa scrivere:
y = f(x),
e si legge "y uguale ad effe di x".
Il
simbolo f deve ricordare l'esistenza di un legame tra la variabile y e
la variabile x, in base al quale ad ogni valore dato alla x, entro
certi limiti, deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quando
alla x si attribuisce un valore numerico a, il corrispondente valore
che la funzione f(x) assume si indica con f(a).
Esempi
1)-Se
f(x) = 3 x + 1 ,
si ha:
f(0) = 1, f( 2) =7.
2)-Se
Si osservi che per x=1 o per x=-5, ecc., non esiste un valore della funzione, perchè in tali casi il radicando risulta negativo.
Le funzioni definite si chiamano funzioni univalenti oppure ad un solo valore, perchè ad ogni valore della x, nel campo di esistenza della funzione, corrisponde uno ed un solo valore della y.
Vi sono anche funzioni polidrome o a più valori, cioè quelle per cui, ad ogni valore della x, nel campo di esistenza della funzione, corrispondono due o più valori della y.
Nota bene
Dalla
definizione di funzione, risulta che una funzione y nella variabile x
è nota, quando esiste un legame, di qualsiasi natura, mediante
il quale, ogni volta che la x assume un valore appartenente ad un
insieme numerico, resta determinato il corrispondente valore della y.
Il legame fra y ed x può essere tale che il valore della y si
deduca da quello della x mediante un ben determinato procedimento di
calcolo; ad esempio, si consideri il legame fra y ed x espresso dalla
seguente formula:
si
vede che ad ogni valore della x, compreso nell'intervallo (-3, +3),
corrisponde un valore della y, che si ottiene mediante
determinati calcoli.
Quindi, quando esiste un complesso di
operazioni matematiche ben definite, che fa passare dal valore della x
al valore corrispondente della y, si dice che la funzione è data
mediante un'espressione analitica, o espressa analiticamente.
La
definizione di funzione non presuppone l'esistenza di un complesso
di operazioni matematiche che permettono di passare dal valore
della x a quello corrispondente della y; ad esempio, nello studio
dei fenomeni naturali, le funzioni si presentano, in generale,
definite sperimentalmente, in modo che il valore della y si possa
dedurre da quello assegnato alla x soltanto con misure dirette; le
funzioni conosciute soltanto in base a dati sperimentali si dicono
empiriche.