MIKY & GENNY

FUNZIONI ---> INDICE

Concetto generale di funzione
In una data questione possono comparire delle quantità, ad esempio geometriche, fisiche, ecc., che conservano lo stesso valore, altre suscettibili di assumere più o anche infiniti valori.
Le prime si dicono costanti, e generalmente si indicano con le prime lettere dell'alfabeto, a, b, c, ecc., le seconde variabili
, e generalmente si indicano con le ultime lettere dell'alfabeto, x, y, z, ecc.
In matematica e nelle scienze sperimentali, si verifica spesso che, di due quantità variabili x e y, ad esempio la y, abbia un valore ben determinato quando si assegna il valore alla x, cioè il valore assunto dalla y dipende dal valore attribuito alla x.

Esempi

1)-Se si indica con x la misura del lato di un quadrato e con y la sua area, il valore di y è determinato completamente da quello di x, ed il legame che vincola y ad x è dato dalla formula:

(1) y = x2.

Se si vuole l'area del quadrato avente il lato x=3, si ha y=9, se invece x=7, si ha y=49.

2)-Se non varia la temperatura, il volume y che occupa una determinata massa di gas ideale è
determinato completamente dal valore x della pressione a cui è sottoposto, ed il legame che vincola y ad x (quello di Boyle-Mariotte) è dato dalla formula:


dove k è una costante che indica il volume occupato dal gas quando è sottoposto ad una pressione di un'atmosfera.
Se si vuole conoscere il volume occupato da una determinata massa di gas ideale, sottoposta ad una pressione di 5 atmosfere, basta sostituire il numero 5 alla x nella (2) e si trova y=k/5; se invece x=1/12, si ha y=12k.

3)-Il numero y dei metri percorsi nel vuoto da un grave, in un dato luogo, senza velocità iniziale,
è determinato completamente dal numero x dei secondi impiegati nella caduta; il legame che vincola y ad x, è dato dalla formula:


dove g è l'accelerazione di gravità.

Se si vuole conoscere lo spazio in centimetri percorso da un grave in 8 secondi, preso g=981,
basta porre nella (3) x=8 e si ha:



4)-Sapendo che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale a 5, il valore y di un cateto è 
determinato completamente dal valore x dell'altro cateto, ed il legame che vincola y ad x è dato dalla formula:



In questi casi, cioè quando il valore della y dipende da quello fissato per la x, si dice che y è funzione del
la variabile x, però non è detto che alla variabile x si possano attribuire valori completamente arbitrari.

Negli esempi 1), 2) e 3), alla x si devono attribuire valori positivi, perchè:
-nella 1), la misura di un segmento è positiva,
-nella 2), non ha senso parlare di un gas sottoposto ad una pressione negativa,
-nella 3), non ha senso considerare uno spazio percorso in un tempo negativo.
Nell'esempio 4), alla x si possono attribuire soltanto valori positivi minori di 5, se si vuole che il valore della y sia reale.
Si deve quindi pensare che il legame che determina il valore della y, una volta assegnato quello della x, si può applicare, in generale, soltanto quando alla x si attribuiscono convenienti valori.

L'insieme dei valori che si devono attribuire alla x, affinchè esista il corrispondente valore della y, si chiama campo di esistenza o di definizione della funzione y.
Dalle considerazioni fatte, segue la seguente definizione data da Dirichlet:
-una variabile y si dice funzione della variabile x, quando esiste un legame di natura qualsiasi, che faccia corrispondere ad ogni valore assegnato alla x, entro determinati limiti, uno ed un solo valore della y.

La x si chiama variabile indipendente e la y variabile dipendente o funzione.

L'insieme dei valori che si possono attribuire alla x
, come è stato detto, si chiama
campo di esistenza o di definizione della funzione y.

Per indicare che y è una funzione della variabile x, si usa scrivere:

y = f(x),

e si legge "y uguale ad effe di x".
Il simbolo f deve ricordare l'esistenza di un legame tra la variabile y e la variabile x, in base al quale ad ogni valore dato alla x, entro certi limiti, deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quando alla x si attribuisce un valore numerico a, il corrispondente valore che la funzione f(x) assume si indica con f(a).

Esempi

1)-Se

f(x) = 3 x + 1 ,


si ha:

f(0) = 1, f( 2) =7.

2)-Se


Si osservi che per x=1 o per x=-5, ecc., 
non esiste un valore della funzione, perchè in tali casi il radicando risulta negativo.

Le funzioni definite si chiamano funzioni univalenti oppure ad un solo valore, perchè ad ogni valore della x, nel campo di esistenza della funzione, corrisponde uno ed un solo valore della y.

Vi sono anche funzioni polidrome o a più valori, cioè quelle
per cui, ad ogni valore della x, nel campo di esistenza della funzione, corrispondono due o più valori della y.

Nota bene
Dalla definizione di funzione, risulta che una funzione y nella variabile x è nota, quando esiste un legame, di qualsiasi natura, mediante il quale, ogni volta che la x assume un valore appartenente ad un insieme numerico, resta determinato il corrispondente valore della y. Il legame fra y ed x può essere tale che il valore della y si deduca da quello della x mediante un ben determinato procedimento di calcolo; ad esempio, si consideri il legame fra y ed x espresso dalla seguente formula:



si vede che ad ogni valore della x, compreso nell'intervallo (-3, +3), corrisponde un valore della y, che si ottiene mediante determinati calcoli.
Quindi, quando esiste un complesso di operazioni matematiche ben definite, che fa passare dal valore della x al valore corrispondente della y, si dice che la funzione è data mediante un'espressione analitica, o espressa analiticamente.

La definizione di funzione non presuppone l'esistenza di un complesso di operazioni matematiche che permettono di passare dal valore della x a quello corrispondente della y; ad esempio, nello studio dei fenomeni naturali, le funzioni si presentano, in generale, definite sperimentalmente, in modo che il valore della y si possa dedurre da quello assegnato alla x soltanto con misure dirette; le funzioni conosciute soltanto in base a dati sperimentali si dicono empiriche.