Nota bene: negli
esempi visti, i segni + e - sono stati considerati segni distintivi dei
numeri e le operazioni da eseguire erano solo addizioni. Ma anche se si
considerano i segni + e - come segni rispettivamente di addizione e
sottrazione ed i numeri che li seguono come positivi, e poi si eseguono
le rispettive operazioni, si vede che si perviene allo stesso risultato.
Così
si vede che nessun inconveniente deriva dall'aver usato i segni + e -
come segni distintivi di numero e come segni di operazione.
Regola per togliere le parentesi
Si
possono presentare delle somme indicate in cui uno o più termini
siano essi stessi delle somme indicate, e perciò vengono
racchiuse dentro le parentesi. Si vuole vedere come si
può arrivare al risultato mediante un'unica somma senza
termini dentro le parentesi.
Esempio: calcolare la somma -5+(+4-3+9)+(-7+2-15).
Calcolando la somma dentro le parentesi, si ha: -5+(+10)+(-20)=-5+10-20=-15.
Allo
stesso risultato, per la proprietà dissociativa dell'addizione,
si perviene togliendo le parentesi assieme al segno + che le precede e
scrivendo gli addendi in essa contenuti col proprio segno. Infatti, si
ha: -5+(+4-3+9)+(-7+2-15)=-5+4-3+9-7+2-15=-15. Si ha perciò la
seguente regola:
-se uno o più termini di un'addizione
sono somme indicate, e quindi in parentesi, e se queste parentesi sono
precedute dal segno+, allora ogni parentesi può essere soppressa
assieme al segno + che la precede e gli addendi, che erano nella
parentesi, devono essere scritti ciascuno col proprio segno.
Si
vuole calcolare la seguente differenza: +9-(-5-14+2-1-17). Calcolando
la somma dentro le parentesi, si ha: +9-(-35)=+9+35=+44. Lo stesso
risultato si ottiene togliendo le parentesi assieme al segno - che la
precede e scrivendo gli addendi in essa contenuti ciascuno cambiato di
segno. Infatti, si ha: +9-(-5-14+2-1-17)=+9+5+14-2+1+17=+44.
Si
vuole calcolare il valore della seguente espressione:
-2-(+3-1+9)-(-7+2-5)-(-5+4-12). Calcolando prima le somme in parentesi,
si ottiene: -2-(+11)-(-10)-(-13)=-2-11+10+13=+10.
Togliendo prima le parentesi ed il segno - che le precede, e scrivendo gli addendi contenuti in ciascuna parentesi ognuno con il segno cambiato, si ha: -2-3+1-9+7-2+5+5-4+12=+10, e si ottiene lo stesso risultato.
Si ha quindi la seguente regola:
-se
uno o più termini di un'addizione algebrica sono somme indicate,
e quindi ciascuna in parentesi, e queste parentesi sono precedute dal
segno meno, allora ogni parentesi può essere soppressa assieme
al segno meno che la precede, e gli addendi contenuti dentro ogni
parentesi, devono essere scritti ciascuno con il segno cambiato.
Esempi:
1)-Liberare dalle parentesi la seguente somma algebrica e poi calcolarla:
-9+(+2-3-7)-(-5-2+11)-(+4-1-12)+(-9+5-17).
Togliendo le parentesi indicate, servendosi delle regole enunciate, si ha:
-9+2-3-7+5+2-11-4+1+12-9+5-17=-33.
2)-Liberare dalle parentesi la seguente somma algebrica e poi calcolarla:
Moltiplicazione di due numeri relativi
Si
vuole ora definire il prodotto di due numeri relativi; e ciò
sarà fatto in modo che per questa nuova specie di
moltiplicazione valgano le stesse proprietà note della
moltiplicazione dei numeri assoluti, cioè le proprietà
commutativa, distributiva e la legge di annullamento del prodotto. Allo
scopo, si comincia col rammentare le proprietà suddette nel
caso dei
numeri assoluti. Per questi numeri, dopo aver definito il
prodotto, si è constatato che il suo valore non cambia, se si
scambia l'ordine dei fattori. Così il prodotto 5x9 è
uguale al prodotto 9x5; il prodotto 2/3x4x5/7 è uguale al
prodotto 4x5/7x2/3, ecc. Questa proprietà della moltipicazione
si chiama proprietà commutativa. Così per moltiplicare
una somma per per un numero, invece di calcolare prima la somma e poi
moltiplicare il risultato per il numero, si può moltiplicare
ogni addendo della somma per quel numero e poi addizionare i prodotti
parziali ottenuti.
Esempio: (5+4+9)x3=5x3+4x3+9x3.
Infatti, (5+4+9)x3=54; (5+4+9)x3=5x3+4x3+9x3=16+12+27=54.
Questa proprietà della moltiplicazione si chiama proprietà distributiva.
Così
il prodotto di due numeri è uguale a zero, soltanto quando uno
dei fattori è uguale a zero. Questa proprietà prende il
nome di legge di annullamento del prodotto.
Si vuole ora definire il prodotto di due numeri relativi in modo che per questa operazione valgano ancora le proprietà
commutativa, distributiva e la legge di annullamento del prodotto. Si
vede subito che, se si vuole definire il prodotto di due numeri
relativi in modo che per esso valga la legge dell'annullamento del
prodotto, si è obbligati a porre la segluente definizione:
-il prodotto di un qualsiasi numero relativo per zero è uguale a zero.
Esempi: (+9)x0=; 0x(-2/3)=0.
Si
vede ora come si può definire il prodotto di due numeri relativi
entrambi non nulli. A tale scopo, si osserva che se ci si limita a
considerare grandezze misurate da numeri positivi, ad esempio solo
crediti o solo temperature sopra lo zero o solo gli anni dopo Cristo,
ecc., vengono meno le ragioni che hanno permesso di introdurre i numeri
relativi e si torna all'aritmetica, identificando i numeri positivi con
gli ordinari numeri assoluti. In base a questa osservazione si è
condotti a dare la seguente definizione:
-chiamasi prodotto di
due numeri positivi il numero positivo che ha per valore assoluto il
prodotto dei valori assoluti dei due numeri considerati.
Esempi: (+9)x(+2)=+18; (+15)x(+1)=+15; (+2/5)x(+3/7)=+6/35; (-7)x(+5)=-35.
Si
vuole ora definire il prodotto di un numero negativo per un numero
positivo, ad esempio, (-7) per (+ 5). Per fare ciò, tenendo
presente che il prodotto dello zero per per un numero relativo
è uguale a zero, ed essendo (-7)+(+7)=0, il prodotto del
numer[(-7)+(+7)] per il numero (+5) vale zero cioè: [(-7)+(+7)]x(+5)=0 (1).
Se
si vuole che la moltiplicazione di due numeri positivi goda della
proprietà distributiva rispetto all'addizione, si deve porre:
[(-7)+(+7)]x(+5)=(-7)x(+5)+(+7)x(+5). Da qui, e tenendo presente (1),
deve risultare (-7)x(+5)+(+7)x(+5)=0 (2).
In base alla definizione
di prodotto di due numeri positivi, essendo (+7)x(+5)=+35, la (2) si
può scrivere: (-7)x(+5)+(+35)=0. Ma poichè questa somma
sia uguale a zero, i due segni della somma devono essere numeri
opposti, e quindi deve risultare (-7)x(+5)=-35, e per definizione si
deve porre (-7)x(+5)=-35.
Se si vuole poi che, come per i numeri
assoluti, il prodotto goda della proprietà commutativa, si deve
porre (+5)x(-7)=(-7)x(+5), cioè si deve porre anche
(+5)x(-7)=-35.
Chiamasi prodotto di due numeri di segno contrario
quel numero negativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori
assoluti dei due fattori.
In base alla definizione data, risulta: (-7)x(+2/5)=(-14/5; (+9)x(-2)=-18; (-4/5)x(+1)-4/5.
Resta da definire il prodotto di due numeri negativi, per esempio, (-8)x(-5).
A
tale scopo, si parte dal fatto che è: [(-7)+(+7)]x(-5)=0 (3),
perchè è noto che il prodotto dello zero per un numero
relativo è uguale a zero.
Se si vuole che la moltiplicazione
goda della proprietà distributiva, si deve porre:
[(-7)+(+7)]x(-5)=(-7)x(+5)+(+7)x(-5), ossia, per la (3),
(-7)x(-5)+(+7)x(-5)=0 (4). Essendo, come è noto, (+7)x(-5)=-35,
la (4) si può scrivere (-7)x(-5)+(-35)=0. Affinchè questa
somma sia uguale a zero, i due termini della somma devono essere
opposti, e quindi deve risultare (-7)x(-5)=+35. Si è quindi
portati a dare la seguente definizione:o
-chiamasi prodotto di due numeri negativi il
numero positivo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori
assoluti dei due numeri considerati.
Da quanto visto, il prodotto di due numeri relativi viene definito nel modo seguente:
-chiamasi prodotto di due numeri relativi, diversi da zero, quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori
assoluti dei due
fattori ed è positivo o negativo, secondo che i due fattori
hanno segni uguali o segni contrari. Il prodotto di un qualsiasi numero
relativo per zero è uguale a zero.
Regola dei segni
La regola dei segni si può enunciare nel modo seguente:
+ per +, oppure - per - è uguale a +;
+ per -, oppure - per + è uguale a -.
Come per i numeri assoluti, si chiama addizione l'operazione che si effettua per ottenere il prodotto di due numeri relativi. Anche il
prodotto di due numeri relativi si indica mettendo fra i due numeri,
chiudi in parentesi, il solito segno x, oppure con un punto, oppure
nessun segno. Così il prodotto di (+5) per (-7) si indica con (+5)x(-7), oppure (+5).(-7), (+5)(-7),
ed anche nella moltiplicazione quando un fattore è positivo, si
suole scrivere il numero senza il segno + che lo precede.
Esempi:
Nota bene: non bisogna cercare giustificazioni
intuitive del perchè della regola dei segni data per il
prodotto; in particolare non si devono cercare giustificazioni
intuitive del perchè - per - è uguale a più.
La ragione della regola data, va ricercata esclusivamente nel fatto che
si è voluto definire la moltiplicazione di due numeri relativi
in modo che essa conservasse la proprietà commutativa,
distributiva e la legge di annullamento, valevoli per il prodotto di
due numeri assoluti. Per esempio se si ritenesse conveniente che "- per
- è uguale a -", lasciando ferme le altre regole, si vedrebbe
subito che non sarebbe valida la proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all'addizione. Infatti, dal calcolo del
seguente prodotto: [(+7)+(-5)]x(-3), si ha: [(+7)+(-5)]x(-3)=(+2)x(-3)=-6 (1), mentre applicando la proprietà distributiva e supponendo che "- per - è uguale a -", si ottiene: (+7)x(-3)+(-5)x(-3)=-21-15=-36,
e si vede che i due risultati sono diversi. Se si applica regola dei
segni, si ottiene: (+7)x(-3)+(-5)x(-3)=-21+15=-6 (2). In quest'ultimo
caso i due risultati (1) e (2) sono uguali. Ora,
il fatto di aver definito il prodotto in modo che la moltiplicazione
goda delle proprietà dette, costituisce un grande vantaggio per
il seguito. In questo, va ricercata la ragione della regola dei segni
data per il prodotto di due numeri relativi.