MIKY & GENNY

NUMERI RELATIVI E OPERAZIONI FONDAMENTALI ---> INDICE

Premesse
E' noto che i numeri interi e i numeri frazionari si chiamano numeri razionali assoluti. Si
introduce ora una nuova categoria di numeri detti numeri razionali relativi o numeri segnati, in quanto vi sono delle grandezze il cui valore non è completamente individuato da un numero razionale assoluto.
Esempio: se in una località, in una certa ora della giornata, la temperatura è stata di 5 gradi, la definizione non è del tutto accurata, in quanto non non è stato specificato se si tratta di 5 gradi sopra lo zero o di 5 gradi sotto lo zero. Quindi: il numero 5 da solo non individua completamente la temperatura, ma è necessario farlo seguire dalle frasi "sopra lo zero" o "sotto lo zero". Invece di queste due frasi, si possono usare due segni distintivi, ad esempio, due freccette in senso opposto e scrivere , per indicare una temperatura di 5 gradi sopra lo zero, e ,
per indicare una temperatura di 5 gradi sotto lo zero. In ogni caso, per individuare le temperature sono necessari due numeri razionali assoluti e due segni distintivi. Dall'esame di questo esempio e di molti altri, si può notare che vi sono delle grandezze dotate di due versi, l'uno opposto all'altro e che il valore di tali grandezze è espresso da un numero razionale assoluto, accompagnato da uno dei due segni distintivi scelti per indicare i due versi posseduti dalla grandezza. I segni distintivi si possono scegliere a piacere, ad esempio si possono usare ° e * e scrivere, anzichè "Archimede nacque nell'anno 287 Avanti Cristo e Dante Alighieri nacque nell'anno 1265", "Archimede nacque nell'anno e Dante Alighieri nacque nell'anno ". Al posto di quest'ultimi segni distintivi, per un motivo che si vedrà in seguito, la scelta migliore è quella di prendere i due segni + e -, e scrivere "Archimede nacque nell'anno -287 e Dante Alighieri nacque nell'anno +1265". Però, non bisogna confondere i segni distintivi + e - con i segni di addizione e sottrazione. Per evitare ciò, si racchiude in parentesi ogni numero col proprio segno, ad esempio: (+4), (-5), (-6/5), (9/2) e si legge rispettivamente più quattro, meno cinque, meno sei quinti, meno nove mezzi.

Nota bene: durante la trattazione degli argomenti e lo svolgimento dei problemi, le frazioni saranno indicate, ad esempio, un mezzo con 1/2.

Definizione di numeri razionali relativi

Si dicono numeri razionali relativi i numeri razionali assoluti preceduti dal segno + o dal segno -
.
I seguenti sono numeri relativi: -7, +9, -2/3, 0,15, 4/9, che, come è stato detto, per non confondere i segni distintivi + e - con i segni di addizione e sottrazione, si scrivono dentro le parentesi, pertanto si scrivono (
-7), (+9), (-2/3), (0), (15), (4/9).
I numeri relativi, escluso lo zero, preceduti dal segno + si chiamano positivi;
quelli preceduti dal segno - si chiamano negativi.
Esempi: i numeri (+2), (+4/3), (+3,2) sono numeri positivi; (-5), (-7/4), (
-0,4) sono numeri negativi.
Si conviene non distinguere (+0) da (-0), pertanto quando si parla di numeri relativi lo zero si denota semplicemente con 0.

Definizione di numeri relativi concordi e discordi

Due numeri relativi non nulli si dicono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segno contrario.

Esempi: i numeri (+2), (+4/3), (+3,2) sono concordi e tali sono anche
(-5), (-7/4), (-0,4); mentre i numeri (-7), (+9) sono discordi.

Definizione di
valore assoluto di un numero relativo
Si chiama valore
assoluto di un numero relativo quel numero che si ottiene da esso sopprimendo il segno.
Esempi: il valore assoluto di (+5) è 5, quello di (-2/5) è 2/5.

Definizione di numeri relativi opposti o contrari

Due numeri relativi si dicono
opposti o contrari, quando hanno segni contrari e lo stesso valore assoluto.
Esempi: l'opposto di (+7) è (-7), l'opposto di (-2/7) è (+2/7).

Equaglianza e disuguaglianza di numeri relativi

Due numeri interi, diversi da zero, si dicono uguali, quando hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto
.
Per
indicare l'uguaglianza si usa il segno =.
Esempi: (-2/4)=(-1/2); (+4/5)=(+0,8); (-2)=(-8/4).

Dalla definizione segue che
per l'uguaglianza fra numeri relativi valgono le stesse proprietà di cui gode l'uguaglianza fra numeri assoluti.
Proprietà riflessiva: ogni numero relativo è uguale a se stesso.
Proprietà 
simmetrica: se numero relativo è uguale ad un altro, questo è uguale al primo.
Proprietà transitiva
: se un numero relativo è uguale ad un secondo numero relativo e quest'ultimo è uguale è uguale ad un terzo, anche il primo è uguale al terzo.

Due numeri relativi non uguali, si dicono disuguali
.
Per indicare la disuguaglianza si usa il segno , e si legge "diverso".
Esempi: (-3)(-5), (-7)(+7), 0(-2), 0(+2).

Maggiore e minore
Se si indicano le temperature sopra lo zero con i numeri positivi, e quelle sotto lo zero con i numeri negativi, è evidente che una temperatura di +20 gradi è più bassa di una temperatura di 30 gradi, di 35, di 40, ecc.; mentre essa è più alta di una temperatura di +7 gradi, di +2 gradi, di
zero gradi, ed è più alta qualsiasi temperatura al di sotto dello zero. E' anche evidente che una temperatura di -10 gradi è più alta di una temperatura di -18 gradi, di 39, ecc.; mentre essa è più bassa di una temperatura di -8 gradi, di -1 grado, di 0 gradi ed è più bassa di qualsiasi temperatura al di sopra dello zero, ad esempio di +15 gradi. Queste considerazioni, ed altre analoghe, ci permettono di dare le seguenti definizioni:
1)-un numero positivo è maggiore di zero,
ed ogni numero negativo è minore di zero
;
2)-ogni numero positivo è maggiore di ogni
numero negativo;
3)-di due
numeri positivi disuguali è maggiore è maggiore duello che ha il valore assoluto maggiore;
4)-di due
numero negativi disuguali è maggiore quello che ha il valore assoluto minore.
Per indicare la relazione di maggiore e di minore, si usano i segni > e <
e si leggono "maggiore" e "minore".
Esempi: (+5)>0, (-7)<(+2), (-15)<(-2), (+9)>(-4), (-3)>(-25).

Confronto di due numeri relativi

Per confrontare due numeri relativi, se uno dei due è una frazione, si riducono allo stesso denominatore e si confrontano i valori assoluti delle frazioni e applicare le definizioni.
Esempi:
1)-confrontare le frazioni (+5/4) e (+2/3)
.
Poichè il primo numero è maggiore di +1 e il secondo è minore di +1, evidentemente risulta (+5/4)>(+2/3).
2)-confrontare i due numeri (+9/8) e (+7/6).
Si riducono allo stesso denominatore le frazioni,
ed essendo 27/24<28/24, si ha: (+9/8)<(+7/6).
3)-confrontare
i due numeri (-8/21) e (-3/14).
Si riducono allo stesso denominatore le frazioni, e si ha:
(-8/21)=(-16/42) e (-3/14)=(-9/42), ed essendo 16/42>9/42, si ha: (-8/21)<(-3/14).
4)-ordinare per valori crescenti i seguenti numeri: (-1/5), (+7/6), (-3/2), (-4/3), (+1/2)
.

Si riducono allo stesso denominatore le frazioni, e si ha:
(-1/5)=(-6/30), (+7/6)=(+35/30), (-3/2)=,(-45/30) (-4/3)=(-40/30), (+1/2)=(+15/30). Pertanto, i numeri si devono ordinare nel modo seguente: (-3/2), (-4/3), (-1/5), (+1/2) (+7/6).

Le quattro operazioni fondamentali dei numeri relativi
1)-Addizione di numeri relativi
Per comprendere come dev'essere definita questa operazione, si risolvono i seguenti problemi:
a)-Il signor Filippo ha due crediti, uno di € 650 e l'altro di
€ 350. A quanto ammonta il suo credito totale?
La risoluzione è facile, in quanto il credito totale è dato dalla somma dei due crediti, cioè:
650
(€ di credito) + 350 (€ di credito) = 1000 (€ di credito).
b)-Il signor Filippo ha due debiti, uno di € 650 e l'altro di
€ 350. A quanto ammonta il suo debito totale?
La risoluzione è facile, in quanto il debito totale è dato dalla somma dei due debiti, cioè:
650
(€ di debito) + 350 (€ di debito) = 1000 (€ di debito).
Se ora si indicano i crediti con i numeri positivi e i debiti con quelli negativi, nel caso a), si ha:
(+ 650) + (+350) = (+1000), e nel caso b), (+650) + (-350) (-1000).
Si può quindi dire che in questi due problemi si sono sommati numeri aventi lo stesso segno e che questa operazione è stata eseguita sommando i valori assoluti e premettendo al risultato il segno comune ai due numeri. Queste considerazioni giustificano la seguente definizione:
-Si chiama somma di due numeri di segno uguale, quel numero che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti dei due numeri e per segno lo stesso segno.
Si considerano ora i seguenti problemi:
c)-
Il signor Filippo ha un credito di € 650 e un debito di di € 350. A quanto ammonta il suo credito o debito totale?
Ovviamente, egli ha un credito di € 300, perchè se riscuotesse il credito di € 650 e pagasse il debitio di € 350, resterebbe con € 300. Pertanto, si può scrivere:
650 (€ di credito) + 350 (€ di debito) = 300 (€ di credito), ossia: (+ 650) + (-350) = (+300).
d)-
Il signor Filippo ha un debito di € 650 e un credito di di € 350. A quanto ammonta il suo credito o debito totale?
Ovviamente, egli ha un debito di € 300, e quindi si può scrivere:
650 (€ di debito) + 350 (€ di credito) = 300 (€ di credito), ossia: (+ 650) + (-350) (+300).
Si può quindi dire che in questi due problemi si sono sommati numeri aventi segno opposto e che questa operazione è stata eseguita sottraendo i valori assoluti dei due numeri e premettendo al risultato il segno del numero avente il valore assoluto più grande. Queste considerazioni giustificano la seguente definizione:
-si chiama somma di due numeri di segno contrario, quel numero che ha per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei due numeri e per segno, il segno di quello di essi che ha il valore assoluto maggiore.
e)
-Il signor Filippo ha un debito di € 650 e un credito di di € 650. A quanto ammonta il suo credito o debito totale?
In tale caso, egli non ha nè crediti, nè debiti, e si può scrivere: 
(+ 650) + (-650) = 0. Questa considerazione giustifica la seguente definizione:
-la somma di due numeri opposti è uguale a zero.
Da quanto è stato visto, la somma di due numeri interi relativi viene definita come segue:
-
la somma di due numeri relativi di segno uguale, è quel numero che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti dei due numeri e, per segno lo stesso segno.
La somma di due numeri relativi di segno contrario, e non opposti, è quel numero che ha per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei due numeri e, per segno, il segno di quello di essi che ha il valore assoluto maggiore
.
La somma di due numeri opposti è uguale a zero.
L'operazione che si esegue per trovare la somma si dice addizione, come per i numeri assoluti. I numeri che si addizionano si chiamano addendi o termini della somma e l'operazione di addizione si continua ad indicare col segno +.
Attenzione a non confondere il segno + dell'operazione di addizione con il segno attribuito al numero. Per evitare confusione, si continuano a scrivere i numeri relativi dentro le parentesi.
Esempi: (+5)+(+2)=(+7); (-9)+(-4)=(-13); (-18)+(+7)=(-11); (+7)+(-6)=(+1); (-53)+(+27)=(-26); (+28)+(-47)=(-19).
Se i termini dell'addizione sono frazioni, esse si devono ridurre allo stesso denominatore. Esempi:

1) (+5/6)+(+7/4)=(10/12)+(+
21/12)=(31/12);
2) (-7/3)+(-9/2)=(-14/6)+(-27/6)=(-41/6);
3) (-19/12)+(+5/8)=(-38/24)+(+15/24)=(-23/24);
4) (+7)+(-11/3)=(+21/3)+(-11/3)=(+10/3);
5) (+3/2)+(-5)+=(+3/2)+(-10/2)=(-7/2).

Somma di più numeri relativi

Analogamente a quanto fatto in aritmetica, per i numeri assoluti la somma di due numeri relativi si definisce nel modo seguente:
-la somma di più numeri relativi, dati in un certo ordine, è il numero relativo che si ottiene addizionando il primo numero al secondo, il risultato ottenuto con il terzo e così via, fino ad esaurire tutti gli addendi.

Esempi:
1)-Calcolare la somma dei numeri (+5), (-7), (-11).
Per indicare la somma, si scrive:
(+5)+(-7)+(-11) ed eseguendo il calcolo, si ottiene: (+5)+(-7)+(-11)=(-2)+(-11)=(-13).
2)-Calcolare la somma dei numeri (-3/2), (+7/6), (-3/8)+ (+2).
Si riducono prima gli addendi allo stesso denominatore, ed eseguendo poi l'addizione si ha:
(
-36/24), (+28/24), (-9/24)+(+48/24)=(-8/24)+(-9/24)+(+48/24)=(-17/24)+(+48/24)=(+31/24).
Praticamente, per effettuare più velocemente i calcoli, le singole somme parziali si eseguono mentalmente e si scrive solo il risultato finale.

3)-Calcolare la somma dei numeri (-7), (-12), (+37).
Col calcolo mentale, si ha rapidamente:
(-7)+(-12)+(+37)=(+18).
4)-Calcolare la somma dei numeri (-3/5), (+7/3), (-1/6)+(+5/2).
Col calcolo mentale, si ha rapidamente: (-3/5)+(+7/3)+(-1/6)+(+5/2)=(-18/30)+(70/30)+(-5/30)+(+75/30)=(+122/30)=(+61/15).

Si risolvono ora alcuni problemi
1)-Un negoziante inizia la sua attività commerciale con € 10000. Guadagna € 4500, poi subisce una perdita di € 2100, in seguito subisce una ulteriore perdita di € 5200. Quale capitale resta al negoziante?
Se alla somma di € 10000, posseduta dal negoziante, si aggiunge il guadagno realizzato e dalla somma complessiva si tolgono le due perdite, si trova che al negoziante restano € 7200. Introducendo i numeri relativi e indicando con numeri positivi i guadagni e la somma posseduta e con numeri negativi le perdite, per trovare quanto è rimasto complessivamente, si deve calcolare la seguente somma: (+10000)+(+4500)+(-2100)+(-5200)=(+7200).
2)-Un ragazzo fa 160 passi in avanti e poi, sulla stessa via, 40 indietro, poi di nuovo 25 in avanti ed infine 25 indietro. Di quanti passi è distante dal punto di partenza?
Indicando con numeri positivi i passi fatti in avanti e
con numeri negativi i passi fatti indietro, per risolvere il problema si deve calcolare la seguente somma: (+160)+(-40)+(+25)+(-35)=(+110). Il numero 110 indica il numero dei passi fatti dal punto di partenza.
3)-Un termometro segna 8 gradi sotto lo zero, poi la temperatura è salita di 3 gradi, poi è scesa di 2 gradi e mezzo, quindi è salita di 4,7 gradi ed infine ancora di 1 grado e tre quinti; quale temperatura segna il termometro?
Indicando i gradi di aumento con numeri positivi e quelli di diminuzione con numeri negativi, la temperatura segnata dal termometro è data dalla seguente somma: (-8)+(+3)+(-2,5)+(+4,7)+(+1,6)=(-1,2).
Da tali esempi si vede che per risolvere facili problemi, l'introduzione dei numeri relativi è molto utile, ed è logica la definizione di somma data.
Dalla definizione
data di somma di due o più numeri relativi, segue che l'addizione è una operazione sempre possibile.
E' facile vedere che per questa operazione valgono le stesse proprietà, commutativa, associativa, dissociativa, che sussistono per i numeri assoluti.

Proprietà commutativa
La somma di due o più numeri relativi non dipende dall'ordine degli addendi.

Proprietà associativa

La somma di più numeri relativi non cambia, se ad alcuni di essi si sostituisce la loro somma effettuata.


Proprietà dissociativa

La somma di più numeri relativi non cambia, se un suo addendo
si sostituisce con due o più altri la cui somma sia uguale all'addendo sostituito. Se si tiene conto insieme delle due proprietà, commutativa e associativa, si ha:
-dovendo sommare più numeri aventi segni diversi, si possono sommare gli addendi positivi, e separatamente gli addendi negativi, poi sommare le due somme parziali di segno contrario così ottenute.

Esempi:

1)-Calcolare la somma dei numeri (-5), (+7), (-4), (-9), (+12), (+3).
Applicando prima la proprietà commutativa e poi quella associativa, si ha:
(-5)+(+7)+(-4)+(-9)+(+12)+(+3)=(+7)+(+12)+(+3)+(-5)+(-4)+(-9)=(+22)+(-18)=(+4).
2)-Calcolare la somma dei numeri (-1/2), (-5/6), (+9/4), (-7/12), (+2).
Si riducono prima gli addendi allo stesso denominatore, poi si applicano le proprietà commutativa e associativa, e si ha: (-6/12)+(
-10/12)+(+27/12)+(-7/12)+(+24/12)=(-6/12)+(-10/12)+(-7/12)+(+27/12)+(+24/12)=
(-23/12)2+
(51/12)=(+28/12)=7/3.

Da questi esempi si vede come la regola permette di eseguire il calcolo velocemente, perchè ogni somma di numeri di segno uguale si riduce, in sostanza, ad una somma ordinaria.

Sottrazione di due numeri relativi
Si chiama differenza di due numeri relativi il numero relativo che, addizionato al secondo di questi numeri (sottraendo), dà per somma il primo (minuendo).

Tale definizione è analoga a quella data in aritmetica per i numeri assoluti.
Anche per i numeri relativi la sottrazione si indica con il segno -.

Esempi:

1)-Calcolare la differenza dei numeri (+9) e (-3).
In base alla definizione, si deve trovare un numero che addizionato al numero (-3) deve dare (+9). Si vede facilmente che tale numero è (+12), perchè si ha: (-3)+(+12)=(-9). Quindi, si può scrivere: (+9)-(-3)=(+12). Allo stesso risultato si perviene se al minuendo (+9) si aggiunge l'opposto del sottraendo, cioè (-3). Infatti: (+9)+(+3)=(+12). In base a tale osservazione, si può scrivere: (+9)-(-3)=(+9)+(+3)=(+12).
2)-Calcolare la differenza dei numeri (+15) e (+21).
Facilmente, si ha:
(+15)-(+21)=(-6), perchè (+21)+(-6)=(+15). Anche in tal caso si perviene allo stesso risultato, se al minuendo (+15) si aggiunge l'opposto del sottraendo, cioè (-21). Infatti, si ha: (+15)+(-21)=(-6).
Allo stesso modo si prova che:
(-8)-(+12)=(-8)+(-12)=(-20).
(-5)-(-7)=(-5)+(+7)=(+2).
(-2)-(-2/3)=(-2)+(+2/3)
=(-4/3).(+3/5)-(+7/2)=(+3/5)+(-7/2)=(-29/10).

Dagli esempi svolti, è giustificata la seguente definizione:
-per sottrarre da un numero relativo un altro numero relativo, basta sommare al minuendo l'opposto del sottraendo.

Nota bene
Bisogna notare che nella sottrazione fra numeri relativi, il "togliere" porta in diminuzione solo se il sottraendo è positivo; se invece è negativo, allora porta un "aumento".
Esempio: (+5)-(+7)=(-2); (+5)-(-7)=(+12).

Un principiante, per tale fatto, può rimanere disorientato; però la risoluzione di alcuni problemi, può chiarire le idee.

1)-Tizio morì nell'anno 15 dopo Cristo, e Caio nacque nell'anno 50 dopo Cristo. Quanti anni sono decorsi fra questi due avvenimenti?
Indicando gli anni dopo Cristo con i numeri positivi, si può dire che Tizio morì nell'anno +15 e Caio nacque nell'anno +50. Per trovare quanti anni sono trascorsi dall'anno +15 all'anno + 50, da +50 si deve togliere +15, e si ha: (+50)-(+15)=(+35).

2)-Tizio morì nell'anno 15 avanti Cristo, e Caio nacque nell'anno 50 dopo Cristo. Quanti anni sono decorsi fra questi due avvenimenti?
Indicando gli anni dopo Cristo con i numeri positivi, e gli anni avanti Cristo con i numeri negativi, si può dire che Tizio morì nell'anno -15 e Caio nacque nell'anno +50. Per trovare quanti anni sono trascorsi dall'anno -15 all'anno + 50, da + 50 si deve togliere -15, e si ha: (+50)+(+15)=(+65).
3)-Due automobili partono dallo stesso punto e vanno sullo stesso rettilineo in senso contrario. Il primo, dopo aver percorso 12 km, torna indietro di km 17,25, mentre l'altro,
dopo aver percorso 30 km, torna indietro di km 70,5. A quale distanza si trova infine il primo automobile dal secondo?


Infatti, si indica con A il punto di partenza dei due automobili, con i numeri positivi i km percorsi da sinistra
verso destra, riportati su una retta ideale e con i numeri negativi i km percorsi da destra verso sinistra, riportati sulla stessa retta. Supponendo che il primo automobile inizia il movimento a partire da A, verso destra, esso arriva, dopo aver percorso 12 km, nella posizione B, indicata in figura. A partire da B, e muovendosi verso sinistra, percorre -17,25 km, arrivando nella posizione indicata con C. Per trovare a che distanza da A si trova alla fine del suo cammino, basta addizionare +12 con -17,25, e si ha: (+12)+(-17,25)=(-5,25) km.
Allo stesso modo si ragiona per il secondo automobile, tenendo presente che inizialmente, a partire da A, deve muoversi verso sinistra di -30 km, arrivando alla posizione indicata in figura con la lettera D, e poi, a partire da D muovendosi verso destra di + 70,5, arrivando nella posizione indicata con la lettera E. Si trova che alla fine dista da A di km. (-30)+(+70,5)=(+40,5). Per trovare ora la distanza da C a E, da (+40,5)
si sottrae (-5,25), e si ottiene: (+40,5)-(-5,25)=(40,5)+(5,25)=(+45,75) km.

Addizione algebrica

E' noto che la sottrazione di due numeri relativi viene ricondotta ad una addizione: sottrarre da (+5) il numero (-3), equivale a sommare a (+5) il numero (+3); sottrarre da (-1/2) il numero (+3/5), equivale a sommare a (-1/2) il numero (-3/5), ecc. Si vede quindi che l'addizione e la sottrazione di due numeri relativi, costituiscono, in sostanza, una sola operazione, che prende il nome di addizione algebrica.
Da qui e dal fatto che l'addizione fra due numeri relativi è sempre possibile, segue che:
-la differenza fra due numeri relativi è sempre possibile.
In altri termini, si può dire che, mentre nel caso dei numeri assoluti si presentavano delle sottrazioni impossibili, per i numeri relativi la sottrazione è sempre possibile.
Un'altra conseguenza del fatto che la sottrazione di due numeri relativi è equivalente alla somma, è la seguente: si suppone di dover eseguire una dopo l'altra, e ciascuna sul risultato della precedente, un certo numero di addizioni e sottrazioni, ad esempio:
-aggiungere al numero (+5) il numero (-7),

-sottrarre al risultato (-9),

-sommare al risultato (+2/5),

-sottrarre al risultato (-3/7),

-sottrarre al risultato (+9).
In altri termini, si suppone di voler calcolare il valore della seguente espressione:
(+5)+(-7)-(-9)+(+2/5)-(-3/7)-(+9).
Siccome ogni sottrazione fra numeri relativi si riduce ad una addizione, sostituendo ad ogni numero relativo, che compare nel sottaendo, il suo opposto addendo, l'espressione precedente diventa: (+5)+(-7)+(+9)+(+2/5)+(-9), cioè sotto forma di addizione. Si ha quindi la seguente regola:
-dovendo addizionare e sottrarre più numeri relativi si può fare un'unica somma: dei numeri da addizionare e dei numeri opposti da sottarre
.

Esempio
. Calcolare il valore della seguente  espressione: (-5)-(-7)+(-3/2)-(+8)-(-1/2)+(+1)=(-2+)+(+4)+(-3/2)+(-8)+(+1/2)+(+1)=(-6).

Semplificazione della notazione della somma e della differenza
Si consideri la seguente somma algebrica:
(-5)-(+9)+(+4)-(-2)-(+7). Una tale somma algebrica si può scrivere come una somma vera e propria: basta sostituire ad ogni numero relativo che compare come sottraendo, il suo opposto come addendo. Pertanto la somma algebrica suddetta si può scrivere così: (-5)+(-9)+(+4)+(+2)+(-7). Finora nell'indicazione dell'addizione si sono tenuti distinti i segni + dell'addizione dai segnI positivi e negativi dei singoli addendi; ed è stato appunto per questa distinzione che si sono racchiusi i numeri dentro le parentesi. Ora, allo scopo di semplificare la scrittura, si conviene di considerare sottintesi i segni + di addizione, scrivendo gli addendi uno di seguito all'altro, ciascuno con il proprio segno e senza parentesi. In altri termini, per semplificare la notazione della somma, si è fatta la seguente convenzione:
-dovendo addizionare più numeri relativi, si scrivono questi numeri successivamente, senza parentesi, l'uno accanto all'altro, tralasciando il segno + dell'addizione
Esempio: in luogo di (+1/2)+(-5/3)+(+7)+(-4), si pùò scrivere +1/2-5/3+7-4.
Poichè, come è noto, una somma algebrica si può scrivere come una somma vera e propria, si può allora semplificare anche la notazione delle addizioni algebriche. Quindi, invece di scrivere (-4)-(-2/3)+(+9)-(+12)-(-1/2)+(+5), che equivale 
(-4)+(+2/3)+(+9)+(-12)+(+1/2)+(+5), si può scrivere: -4+2/3+9-12-1/2+5. La convenzione fatta, cioè di sopprimere il segno + di addizione edi scrivere i numeri relativi senza le parentesi, non può dar luogo a difficoltà di interpretazione delle notazioni. Basta che si tenga ben presente che, quando si scrivono numeri relativi uno accanto all'altro, ciò significa che i numeri si devono addizionare. Scrivendo -9+5-17+4-7, s'imtende che al numero -9 si deve sommare +5, al risultato si deve sommare -17, al risultato si deve sommare +4 e al risultato ottenuto si deve sommare -7.
Esempi:



Nota bene
: negli esempi visti, i segni + e - sono stati considerati segni distintivi dei numeri e le operazioni da eseguire erano solo addizioni. Ma anche se si considerano i segni + e - come segni rispettivamente di addizione e sottrazione ed i numeri che li seguono come positivi, e poi si eseguono le rispettive operazioni, si vede che si perviene allo stesso risultato.
Così si vede che nessun inconveniente deriva dall'aver usato i segni + e - come segni distintivi di  numero e come segni di operazione.

Regola per togliere le parentesi
Si possono presentare delle somme indicate in cui uno o più termini siano essi stessi delle somme indicate, e perciò vengono racchiuse dentro le parentesi. Si vuole vedere come si può arrivare al risultato mediante un'unica somma senza termini dentro le parentesi.
Esempio: calcolare la somma -5+(+4-3+9)+(-7+2-15).
Calcolando la somma dentro le parentesi, si ha: -5+(+10)+(-20)=-5+10-20=-15.
Allo stesso risultato, per la proprietà dissociativa dell'addizione, si perviene togliendo le parentesi assieme al segno + che le precede e scrivendo gli addendi in essa contenuti col proprio segno. Infatti, si ha: -5+(+4-3+9)+(-7+2-15)=-5+4-3+9-7+2-15=-15. Si ha perciò la seguente regola:
-se uno o più termini di un'addizione sono somme indicate, e quindi in parentesi, e se queste parentesi sono precedute dal segno+, allora ogni parentesi può essere soppressa assieme al segno + che la precede e gli addendi, che erano nella parentesi, devono essere scritti ciascuno col proprio segno.

Si vuole calcolare la seguente differenza: +9-(-5-14+2-1-17). Calcolando la somma dentro le parentesi, si ha: +9-(-35)=+9+35=+44. Lo stesso risultato si ottiene togliendo le parentesi assieme al segno - che la precede e scrivendo gli addendi in essa contenuti ciascuno cambiato di segno. Infatti, si ha: +9-(-5-14+2-1-17)=+9+5+14-2+1+17=+44.

Si vuole calcolare il valore della seguente espressione: -2-(+3-1+9)-(-7+2-5)-(-5+4-12). Calcolando prima le somme in parentesi, si ottiene: -2-(+11)-(-10)-(-13)=-2-11+10+13=+10.
Togliendo prima le parentesi ed il segno - che le precede, e scrivendo gli addendi contenuti in
ciascuna parentesi ognuno con il segno cambiato, si ha: -2-3+1-9+7-2+5+5-4+12=+10, e si ottiene lo stesso risultato.

Si ha quindi la seguente regola:
-se uno o più termini di un'addizione algebrica sono somme indicate, e quindi ciascuna in parentesi, e queste parentesi sono precedute dal segno meno, allora ogni parentesi può essere soppressa assieme al segno meno che la precede, e gli addendi contenuti dentro ogni parentesi, devono essere scritti ciascuno con il segno cambiato.

Esempi:
1)-Liberare dalle parentesi la seguente somma algebrica e poi calcolarla:
-9+(+2-3-7)-(-5-2+11)-(+4-1-12)+(-9+5-17).
Togliendo le parentesi indicate, servendosi delle regole enunciate, si ha:
-9+2-3-7+5+2-11-4+1+12-9+5-17=-33.
2)-Liberare dalle parentesi la seguente somma algebrica e poi calcolarla:



E' bene esercitarsi a togliere le parentesi nei casi più complessi, cioè anche quando una somma in parentesi ha per termini altre somme in parentesi. E' bene ricordare che, quando il primo termine di una somma dentro una parentesi è positivo, si conviene di sopprimere il segno + e di scrivere il numero senza il segno.
Esempi
1)-Togliere le parentesi nell'espressione -4-[-5+(-8+7-1)-(5-8+1)-12], e calcolare la somma.
Togliendo successivamente le parentesi, a partire dalle più interne, si ha:

- 4-[-5+(-8+7-1)-(5-8+1)-12]=
-4-[-5-8+7-1-5+8-1-12]=-4+5+8-7+1+5-8+1+12=+13.
2)-Liberare dalle parentesi la seguente somma e calcolarla:



3)-Liberare dalle parentesi la seguente somma e calcolarla:



Scrivendo i numeri decimali sotto forma di frazione, si ha:


Moltiplicazione di due numeri relativi
Si vuole ora definire il prodotto di due numeri relativi; e ciò sarà fatto in modo che per questa nuova specie di moltiplicazione valgano le stesse proprietà note della moltiplicazione dei numeri assoluti, cioè le proprietà commutativa, distributiva e la legge di annullamento del prodotto. Allo scopo, si comincia col rammentare le proprietà suddette nel caso dei numeri assoluti. Per questi numeri, dopo aver definito il prodotto, si è constatato che il suo valore non cambia, se si scambia l'ordine dei fattori. Così il prodotto 5x9 è uguale al prodotto 9x5; il prodotto 2/3x4x5/7 è uguale al prodotto 4x5/7x2/3, ecc. Questa proprietà della moltipicazione si chiama proprietà commutativa. Così per moltiplicare una somma per per un numero, invece di calcolare prima la somma e poi moltiplicare il risultato per il numero, si può moltiplicare ogni addendo della somma per quel numero e poi addizionare i prodotti parziali ottenuti.
Esempio: (5+4+9)x3=5x3+4x3+9x3.
Infatti,
(5+4+9)x3=54; (5+4+9)x3=5x3+4x3+9x3=16+12+27=54.
Questa proprietà della moltiplicazione si chiama proprietà distributiva.
Così il prodotto di due numeri è uguale a zero, soltanto quando uno dei fattori è uguale a zero. Questa proprietà prende il nome di
legge di annullamento del prodotto.
Si vuole ora definire il prodotto di due numeri relativi in modo che per questa operazione valgano ancora le
proprietà commutativa, distributiva e la legge di annullamento del prodotto. Si vede subito che, se si vuole definire il prodotto di due numeri relativi in modo che per esso valga la legge dell'annullamento del prodotto, si è obbligati a porre la segluente definizione:
-il prodotto di un qualsiasi numero relativo per zero è uguale a zero.
Esempi: (+9)x0=; 0x(-2/3)=0.
Si vede ora come si può definire il prodotto di due numeri relativi entrambi non nulli. A tale scopo, si osserva che se ci si limita a considerare grandezze misurate da numeri positivi, ad esempio solo crediti o solo temperature sopra lo zero o solo gli anni dopo Cristo, ecc., vengono meno le ragioni che hanno permesso di introdurre i numeri relativi e si torna all'aritmetica, identificando i numeri positivi con gli ordinari numeri assoluti. In base a questa osservazione si è condotti a dare la seguente definizione:
-chiamasi prodotto di due numeri positivi il numero positivo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due numeri considerati.
Esempi: (+9)x(+2)=+18; (+15)x(+1)=+15; (+2/5)x(
+3/7)=+6/35; (-7)x(+5)=-35.
Si vuole ora definire il prodotto di un numero negativo per un numero positivo, ad esempio, (-7) per (+ 5). Per fare ciò, tenendo presente che il prodotto dello zero per per un numero relativo è uguale a zero, ed essendo (-7)+(+7)=0, il prodotto del numer[(-7)+(+7)] per il numero (+5) vale zero cioè: [(-7)+(+7)]x(+5)=0 (1).
Se si vuole che la moltiplicazione di due numeri positivi goda della proprietà distributiva rispetto all'addizione, si deve porre: [(-7)+(+7)]x(+5)=(-7)x(+5)+(+7)x(+5). Da qui, e tenendo presente (1), deve risultare (-7)x(+5)+(+7)x(+5)=0 (2).
In base alla definizione di prodotto di due numeri positivi, essendo (+7)x(+5)=+35, la (2) si può scrivere: (-7)x(+5)+(+35)=0. Ma poichè questa somma sia uguale a zero, i due segni della somma devono essere numeri opposti, e quindi deve risultare (-7)x(+5)=-35, e per definizione si deve porre (-7)x(+5)=-35.
Se si vuole poi che, come per i numeri assoluti, il prodotto goda della proprietà commutativa, si deve porre (+5)x(-7)=(-7)x(+5), cioè si deve porre anche (+5)x(-7)=-35.
Chiamasi prodotto di due numeri di segno contrario quel numero negativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due fattori.
In base alla definizione data, risulta: (-7)x(+2/5)=(-14/5; (+9)x(-2)=-18; (-4/5)x(+1)-4/5.
Resta da definire il prodotto di due numeri negativi, per esempio, (-8)x(-5).
A tale scopo, si parte dal fatto che è: [(-7)+(+7)]x(-5)=0 (3), perchè è noto che il prodotto dello zero per un numero relativo è uguale a zero.
Se si vuole che la moltiplicazione goda della proprietà distributiva, si deve porre: [(-7)+(+7)]x(-5)=(-7)x(+5)+(+7)x(-5), ossia, per la (3), (-7)x(-5)+(+7)x(-5)=0 (4). Essendo, come è noto, (+7)x(-5)=-35, la (4) si può scrivere (-7)x(-5)+(-35)=0. Affinchè questa somma sia uguale a zero, i due termini della somma devono essere opposti, e quindi deve risultare (-7)x(-5)=+35. Si è quindi portati a dare la seguente definizione:o 

-chiamasi prodotto di due numeri negativi il numero positivo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due numeri considerati.

Da quanto visto, il prodotto di due numeri relativi viene definito nel modo seguente:
-chiamasi prodotto di due numeri relativi, diversi da zero, quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due fattori ed è positivo o negativo, secondo che i due fattori hanno segni uguali o segni contrari. Il prodotto di un qualsiasi numero relativo per zero è uguale a zero.

Regola dei segni
La regola dei segni si può enunciare nel modo seguente:
+ per +, oppure - per - è uguale a +;
+ per -, oppure - per + è uguale a -
.

Come per i numeri assoluti, si chiama addizione l'operazione che si effettua per ottenere il prodotto di due numeri relativi. Anche
il prodotto di due numeri relativi si indica mettendo fra i due numeri, chiudi in parentesi, il solito segno x, oppure con un punto, oppure nessun segno. Così il prodotto di (+5) per (-7) si indica con (+5)x(-7), oppure (+5).(-7), (+5)(-7), ed anche nella moltiplicazione quando un fattore è positivo, si suole scrivere il numero senza il segno + che lo precede.
Esempi:







Nota bene
: non bisogna cercare giustificazioni intuitive del perchè della regola dei segni data per il prodotto; in particolare non si devono cercare
giustificazioni intuitive del perchè - per - è uguale a più. La ragione della regola data, va ricercata esclusivamente nel fatto che si è voluto definire la moltiplicazione di due numeri relativi in modo che essa conservasse la proprietà commutativa, distributiva e la legge di annullamento, valevoli per il prodotto di due numeri assoluti. Per esempio se si ritenesse conveniente che "- per - è uguale a -", lasciando ferme le altre regole, si vedrebbe subito che non sarebbe valida la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Infatti, dal calcolo del seguente prodotto: [(+7)+(-5)]x(-3), si ha: [(+7)+(-5)]x(-3)=(+2)x(-3)=-6 (1), mentre applicando la proprietà distributiva e supponendo che "- per - è uguale a -", si ottiene: (+7)x(-3)+(-5)x(-3)=-21-15=-36, e si vede che i due risultati sono diversi. Se si applica regola dei segni, si ottiene: (+7)x(-3)+(-5)x(-3)=-21+15=-6 (2). In quest'ultimo caso i due risultati (1) e (2) sono uguali. Ora, il fatto di aver definito il prodotto in modo che la moltiplicazione goda delle proprietà dette, costituisce un grande vantaggio per il seguito. In questo, va ricercata la ragione della regola dei segni data per il prodotto di due numeri relativi.

Prodotto di più numeri relativ
i
Il prodotto di più numeri relativi dati in un certo ordine, è quel numero che si ottiene moltiplicando il primo fattore per il secondo, poi il prodotto ottenuto per il terzo fattore e così via, finchè i numeri che si devono moltiplicare siano esauriti.
Esempi:
(-3)x(+5)x(-7)x(+2)=(-15)x(-7)x(+2)=(+105)x(+2)=(+210); (+2)(-3/5)(-7/4)=(-6/5)(-7/4)=+21/10.
In pratica si preferisce scrivere eseguire i prodotti parziali mentalmente e scrivere subito il risultato finale: (+2)x(-1)x(-7)x(+3)x(-5)=-210; (-2/3)(1/5)(-5/4)(2)=+1/3.
Dalla definizione di prodotto, segue la seguente regola:

-
Il prodotto di più numeri relativi ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno il +, se non vi è nessun fattore negativo, oppure il + o il meno, a seconda che è pari o dispari il numero dei fattori negativi.

Proprietà della moltiplicazione

Dalle proprietà date segue facilmente che la moltiplicazione di due numeri relativi gode delle stesse proprietà della moltiplicazione dei numeri assoluti.

Proprietà commutativa
Un prodotto di più numeri relativi con cambia, se si cambia comunque l'ordine dei fattori
.
Esempi:

1)-
essendo (-7)(+9)=-63, (+9)(-7)=-63, si ha (-7)(+9)=(+9)(-7);
2)-essendo:



Proprietà associativa
Il prodotto di tre o più fattori non cambia, se a due o più fattori si sostituisce il loro prodotto effettuato
.
Esempio
S
i ha: (+7)(-5)(+4)(-9)=(+7)(-20)(-9,) perchè al posto dei fattori (-5)(+4) si può sostituire il loro prodotto (-20).

Proprietà
dissociativa
Il prodotto di più numeri relativi con cambia, se un fattore si sostituisce con due o più fattori il cui prodotto sia uguale a quel fattore
.

S
i ha: (+7)(-30)(-2)=(+7)(+6)(-5)(-2,) perchè al posto del fattore (-30) si può sostituire il prodotto (+6)(-5).

Proprietà
distributiva
Il prodotto di una somma algebrica indicata per un numero relativo è uguale alla somma algebrica dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente i termini della somma considerata per quel numero.

Esempi

1)-
Calcolare il seguente prodotto applicando la proprietà distributiva:



S
i ha:



1)-
Calcolare il seguente prodotto nei due modi possibili:



Calcolando la somma in parentesi ed eseguendo la moltiplicazione, si ha:


Applicando la proprietà distributiva, si ha:


Legge di annullamento del prodotto
Affinchè un prodotto di due numeri relativi sia nullo, è necessario e sufficiente che uno dei fattori sia uguale a zero .

Divisione di due numeri relativi
Il quoziente di due numeri relativi si definisce allo stesso modo del quoziente di due numeri assoluti.
Si chiama quoziente di due numeri relativi, presi in certo ordine, di cui il secondo sia diverso da zero, quel numero che, moltiplicato per il secondo, dà per prodotto il primo.
Il primo numero si chiama dividendo, il secondo divisore; l'operazione mediante la quale, dati due numeri relativi, si trova il loro quoziente, si chiama divisione. Dalla definizione si vede facilmente che il quoziente di due numeri relativi è un numero il cui valore assoluto è uguale al quoziente fra il valore assoluto del dividendo e del divisore. Ricordando la regola dei segni della moltiplicazione, si deduce che il quoziente di due numeri è positivo o negativo a seconda che i due numeri sono concordi o discordi.
Esempi:



Regola -
Il quoziente di due numeri relativi è quel numero che ha come valore assoluto il quoziente del valore assoluto del dividendo per quello del divisore, ed è positivo o negativo, a seconda che dividendo e divisore hanno segni uguali o contrari.
Esempi:


Bisogna tener presente che, anche per i numeri relativi, come per quelli assoluti, la divisione per zero è una operazione priva di significato e quindi la divisione per zero va sempre esclusa. Concludendo, si può dire che  con i numeri relativi le operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione sono operazioni sempre possibili, purchè per la divisione si escluda il caso che il divisore sia uguale a zero.