MIKY & GENNY

POLINOMI ---> INDICE

DEFINIZIONI

1 - 
Definizione di polinomio
Si chiama polinomio un monomio o una somma algebrica di due o più monomi. I monomi di cui un polinomio è somma si dicono termini del polinomio
.
Quando si considera un polinomio, con i termini scritti sotto forma normale, esso si rappresenta scrivendo di seguito i suoi termini, non omettendo alcun segno di coefficiente, eccezion fatta per il coefficiente del primo monomio, se questo è positivo.
In tale scrittura sono sottintesi tutti i segni di addizione; ad esempio, nel polinomio i cui termini sono 7a2b, -5ac3, -9ab3, +2x2 si scrive: 7a2b-5ac3-9ab3+2x2, cioè omettendo il segno + di addizione e non scrivendo i termini del polinomio dentro le parentesi.
In un polinomio si possono ridurre i termini simili; ad esempio, riducendo i termini simili del polinomio
-3ab3+9a2b+12ab3-3c2-7a2b-5c2, si ottiene il nuovo polinomio 9ab3+a2b-8c2, che non contiene termini simili.

2 - 
Definizione di polinomio scritto sotto forma normale o ridotta
Un polinomio che non ha termini simili e che ha tutti termini scritti sotto forma normale, si dice polinomio scritto sotto forma normale o ridotta
.
Esempio: il polinomio
5a2b-5xy2-15ab3-c7, è scritto sotto forma normale perchè non ha termini simili e tutti i suoi termini sono monomi scritti in forma normale.

3 - 
Definizione di binomio, trinomio, quadrinomio, ecc.
Un polinomio,
scritto in forma normale e soppressi i termini con coefficiente nullo, si dice binomio, se contiene soltanto due termini, trinomio se ne contiene tre, quadrinomio se ne contiene quattro, ecc.
Quindi, prima di dire che
un polinomio è un binomio, o un trinomio, o un quadrinomio, ecc, bisogna appurare se esso è ridotto a forma normale e se sono stati soppressi i termini con coefficiente nullo. Ad esempio, considerato il polinomio 3ab2-7a2+3ab-2a2+ab-3ab27, si è portati a dire che è un polinomio di sei termini, invece se lo si scrive sotto forma normale, esso è il binomio -9a2+4ab.
Esempi di monomi: 
a+b; 5x2+9y2.
Esempi di trinomi: 
a2-5ab2+7b3; 5x2+xy+9y2.

4 - 
Definizione di polinomio nullo
Un polinomio si dice nullo, quando tutti i suoi termini sono monomi nulli
.

Esempio di polinomio nullo:
0a2b-0a3bc+0ab3. Evidentemente, un polinomio nullo assume valore zero per tutti i valori attribuiti alle lettere, è appunto per tale ragione che un polinomio nullo si indica col simbolo 0.
In un polinomio nullo e scritto sotto forma normale, conviene sempre sopprimere i termini con coiefficienti nulli, cioè i monomi nulli.


5 - 
Definizione di polinomi uguali
Due polinomi, ridotti a 
forma normale e non nulli, si dicono uguali quando i monomi del primo polinomio coincidono, a meno dell'ordine, con i monomi del secondo polinomio.
Ad esempio, sono uguali i polinomi
5a2-7ab-4b3+9ab2 e 9ab2-4b3+5a2-7ab. Siccome ogni monomio si può calcolare per qualsiasi valore attribuito alle lettere in esso contenute, così pure un polinomio si può calcolare per qualsiasi valore attruibuito alle lettere in esso contenute, purchè si mantenga la convenzione di non farvi comparire, in modo esplicito, lettere con esponente nullo. Infatti, se non si rispetta tale convenzione, ad esempio, il polinomio nella lettera x: 5x2-9x+7x0, non si potrebbe calcolare per x=0, perchè 00 è un simbolo privo di significato.
Premesso ciò, è evidente che due polinomi uguali, secondo la definizione data, assumono valori uguali per tutti i valori attribuiti alle lettere. Si può dimostrare anche che vale l'inverso di questo teorema, che si chiama Principio di identità dei polinomi:
-se due polinomi scritti sotto forma normale e contenenti le stesse lettere, assumono valori uguali per tutti i valori attribuiti alle lettere, allora i due polinomi sono uguali, cioè formati, salvo l'ordine, con gli stessi monomi. Si omette la dimostrazione.

6 - 
Definizione di grado di un polinomio rispetto ad una sua lettera
Si chiama grado di un polinomio, non nullo e scritto sotto forma normale rispetto ad una sua lettera, il massimo dei gradi dei suoi termini rispetto a quella lettera
.

Ad esempio, il polinomio
-7a2+5ab3-9a5bc3+3ab7c, è di quinto grado rispetto alla lettera a, di settimo grado rispetto alla lettera b e di terzo grado rispetto alla lettera c.

7 - Definizione di grado di un polinomio
Si chiama
grado complessivo, o semplicemente grado, di un polinomio ridotto a forma normale e non nullo, il massimo dei gradi dei suoi termini.
Perciò, quando si vuole trovare il grado di un polinomio, scritto sotto forma normale e non nullo, si devono trovare separatamente i gradi di ogni suo termine. Il più grande di questi gradi è il grado del polinomio.
Ad esempio, considerato il polinomio
9a2b+15ab-3a2b3, il primo termine è di terzo grado, il secondo termine di secondo grado e il terzo termine di quinto grado.
Per trovare il grado di un polinomio non scritto sotto forma normale, prima si deve scrivere il polinomio sotto forma normale, e poi trovare il grado di quest'ultimo, applicando la definizione.

Esempi di ricerca del grado dei seguenti polinomi:
1)
2x5-4xy3+7x5-2x2y+9xy3-9x5,-12x.

Riducendo il polinomio sotto forma normale, si ha:
5xy3-2x2y-12x
, e questo polinomio, e quindi quello dato, è di quarto grado.
2)
a7b2-2b15+3a-2a7b2+5b15-a7b2-5-3b15.
Riducendo il polinomio sotto forma normale, si ha: 3a-5, e questo polinomio, e quindi quello dato, è di primo grado.
3)
2a2-7ab-a2+5b2+7+9ab-5b2-a2+15-2ab.

Riducendo il polinomio sotto forma normale, si ha: 
22,
e questo polinomio, e quindi quello dato, è di grado zero.
Il grado del polinomio nullo può considerarsi invece sia come uguale a zero, che ad uno, che a due, ecc., oppure come non definito, e così pure il suo grado rispetto ad una lettera.

8 - 
Definizione di termine noto di un polinomio
Si chiama termine noto di un polinomio, scritto sotto forma normale, il termine che, se esiste, è di grado zero
.
Ad esempio, il termine noto del polinomio
3a2b-5ab+12b2-9
, è -9.
Se un tale termine è nullo, si suol dire che il polinomio è privo di termine noto.

Ad esempio, è privo di termine noto del polinomio
-5x2+7xy2-12y3
.

9 - 
Definizione di polinomio omogeneo
Un
polinomio, scritto sotto forma normale, si dice omogeneo se tutti i suoi termini sono dello stesso grado.
Ad esempio, il polinomio
5a3b-7ab2+2a2b-9b3
, è omogeneo di terzo grado, mentre il polinomio x5yz-3x2yz4+5x7, è omogeneo di settimo grado.

Polinomi ordinati
Un p
olinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti di una lettera in esso contenuta, quando i suoi termini sono ordinati in modo che gli esponenti di quella lettera vadano decrescendo dal suo massimo al suo minimo.
Ad esempio, il polinomio
5a3b-7a2b3+2ab2b+b5
, è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a; se si vuole ordinare lo stesso polinomio secondo le potenze decrescenti della lettera b, si deve scrivere: b5-7a2b3+2ab2+5a3b. Se nel polinomio che si vuole ordinare vi sono più termini contenenti la stessa potenza di quella lettera, bisogna raccogliere a fattore comune quella potenza.
Esempi:
1)-Ordinare, secondo le potenze decrescenti della lettera a, il polinomio
5a3-7ab2+9a3b-2a2b3+b5+9a2b
.
Per la proprietà commutativa dell'addizione, si può scrivere
5a3+9a3b-2a2b3+9a2b-7ab2+b5
, e per l'inversa della proprietà distributiva della moltiplicazione, quest'ultimo polinomio si può mettere sotto la forma (5+9b)a3+(-2b3+9b)a2-7ab2+b5, e in tal modo risulta ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a.
2)-Ordinare, secondo le potenze decrescenti della lettera x, il polinomio
x2+7x5y
-7x+3x2y-9x5y3+6x2y3+9.
Innanzitutto si può scrivere:
7x5y-9x5y3+x2+3x2y+6x2y3-7x+9
e quindi (7y+9y3)x5+(1+3y+6y3)x2-7x+9, e in tal modo risulta ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x.
Naturalmente un polinomio si può anche ordinare secondo le potenze crescenti di una sua lettera.

Polinomi completi e incompleti
Un polinomio di grado assegnato rispetto ad una lettera si dice completo quando, oltre al termine di grado più alto, contiene i termini di tutti i gradi inferiori fino a quello di grado zero, rispetto a questa lettera; in caso contrario si dice incompleto
.
Ad esempio, il seguente polinomio di terzo grado è completo rispetto alla lettera x:
7ax3y-4ab3x2-12b2x+a3-b
, mentre il seguente polinomio di quinto grado è incompleto rispetto alla lettera x: 2x5-a2x3+4bx2+b3, perchè in esso mancano i termini contenenti x4 e x.

Nota bene
Finora si è sempre supposto che le lettere che compaiono nei singoli termini del polinomio siano da considerarsi tutte variabili, ma non sempre sarà così. Come è stato rilevato per i monomi, in molte questioni si dovranno considerare polinomi dove soltanto alcune lettere, fra quelle che compaiono, devono considerarsi variabili.
Ad esempio, considerato il polinomio nella variabile x: ax+3
x2+b+cx2-a2x2-bx-8
, le lettere a, b, c, devono considerarsi come costanti. Così il polinomio scritto nella variabile x, è di secondo grado e non, come potrebbe erroneamente dirsi, di quarto grado, perchè a, b, c sono numeri. Ordinando questo polinomio secondo le potenze decrescenti della lettera x, si ottiene:
(1) (3+c-
a2)x2+(a-b)x+b-8.
Il coefficiente della x2 è il numero 3+c-a2, quello della x è il numero a-b, e il termine noto, cioè quello indipendente dalla x, è b-8. Da questo punto di vista, il polinomio (1) si deve considerare come avente tre termini, ossia un trinomio in x.
Inoltre, quando ad esempio in un polinomio in una variabile i suoi coefficienti sono espressi a mezzo di lettere, si deve distinguere il grado effettivo del polinomio da quello apparente, che pùo essere più elevato di esso, e ciò può derivare dalla presenza di termini con coefficiente nullo. Così il grado apparente del polinomio (1) è due e, se risulta
3+c-a20
, anche il suo grado effettivo è due. Se invece risulta 3+c-a2=0, e a-b0, allora il suo grado effettivo non è più due, bensì uno. Nella ipotesi infine che 3+c-a2=0, a-b=0, e b-80, esso diventa di grado zero, ossia una costante non nulla. Sapere poi quali lettere sono costanti e quali variabili in un polinomio, è essenziale quando si vuole decidere se due polinomi sono o no uguali fra loro.
Ad esempio, se nel polinomio (2)
5b3+3a2b+a3
, sono variabili le due lettere a e b, esso è uguale, in base alla definizione data in precedenza, al polinomio (3) a3+3ba2+5b3, perchè i due polinomi, salvo l'ordine, contengono gli stessi termini.
Se invece nel polinomio (2) è variabile soltanto la lettera b e nel polinomio (3) solo la lettera a, allora i due polinomi non sono uguali.
Per chiarire il concetto, si indica la variabile con la lettera x, cioè si pone b=x nel polinomio (2) e a=x nel polinomio (3), allora i polinomi (2) e (3) si possono scrivere sotto la seguente forma:
5x3+3a2x+a3, x3+3bx2x+5b3, e si vede chiaramente che non sono uguali fra loro, perchè sono diversi i coefficienti delle stesse potenze della x.

Addizione dei polinomi
Si rammenta che il valore numerico di un polinomio, per valori speciali attribuiti alle lettere in esso contenute, si ottiene trovando il valore numerico dei monomi che lo compongono e poi addizionando algebricamente i valori così trovati.
Esempio: calcolare il valore del polinomio 2
a2-3ab+5ac-bc-4b2
, per a=-1, b=3, c=-2; si ha: 2(-1)2-3(-1)(3)+5(-1)(-2)-(3)(-2)-4(3)2=2+9+10+6-36=-9.

Definizione di somma di due polinomi

Si chiama somma di due polinomi dati, il polinomio che, per qualsiasi valore atttribuito alle lettere in esso contenute, assume sempre un valore uguale alla somma dei corrispondenti valori assunti dai due polinomi dati
.
Da queste definizioni si comprende che le regole sulle operazioni fra polinomi sono immediata conseguenza delle regole e dei teoremi relativi alle stesse operazioni sui numeri; così, per la somma di due o polinomi si ha la seguente regola:
-la somma di due o più polinomi è il polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi addendi.
Per sommare due o più polinomi, si opera come segue: si sopprimono le parentesi insieme al segno + dinanzi ad ogni parentesi e si scrive un unico polinomio formato con i termini dei polinomi dati; poi nel polinomio complessivo così ottenuto, si riducono i termini simili, se ve ne sono.
Esempi di calcolo della somma di due polinomi e di riduzione dei termini simili:
1)
(3a3-2a2b-5b3)+(5ab2-2a3+7a2b)+(-2a3+9b3-12ab2-a2b).
Togliendo le parentesi, assieme al segno + dinanzi ad ogni parentesi, si ottiene il seguente polinomio, somma dei tre polinomi dati:
3a3-2a2b-5b3+5ab2-2a3+7a2b-2a3+9b3-12ab2-a2b. Riducendo i termini simili si ottiene: -a3+4a2b+43-7ab2.
2) (5
x2-2xy+7x2)+(-3x2+2xy-y2)+(-2xy-9y2).

Togliendo le parentesi, assieme al segno + dinanzi ad ogni parentesi, si ottiene il seguente polinomio, somma dei tre polinomi dati: 
5x2-2xy+7x2-3x2+2xy-y2-2xy-9y2. Riducendo i termini simili si ottiene: 9x2-2xy+43-10y2.

Sottrazione di polinomi

Per la differenza di due polinomi si ha la seguente regola:
-la differenza di due polinomi è il polinomio ottenuto addizionando al minuendo il sottraendo.
Bisogna ricordare che l'opposto di una somma si ottiene cambiando di segno a tutti i suoi addendi, allora, per calcolare la differenza di due polinomi, si deve operare così: si scrivono i termini del minuendo con i loro segni, seguiti da quelli del sottraendo col segno cambiato.
Esempio 1: calcolare la differenza
(3x3+9x2-2x-5)-(-2x3+14x2+9x-7).
Togliendo le parentesi, e cambiando i segni ai termini del polinomio sottraendo, secondo la regola data, si ottiene:
3x3+9x2-2x-5+2x3-14x2-9x+7, da cui, riducendo i termini simili, si ha: 5x3-5x2-11x+2.
Esempio 2: calcolare la differenza
(3a3-a2b+3ab2-2b3)-(-a3+5a2b+ab2+2b3).
Togliendo le parentesi, e cambiando i segni ai termini del polinomio sottraendo, secondo la regola data, si ottiene:
 3a3-a2b+3ab2-2b3+a3-5a2b-ab2-2b3 da cui, riducendo i termini simili, si ha: 4a3-6a2b+2ab2-4b3.
Esempio 3: eseguire le operazioni indicate e ridurre poi i termini simili nell'espressione seguente: (2
a2-5ab)-(-3a2+ab-2b2)+(-9b2-5ab-b2)-(6a2-7ab+9b2).

Togliendo le parentesi e riducendo i termini simili, si ha
: 2a2-5ab+3a2-ab+2b2+-9b2-5ab-b2-6a2+7ab-9b2=-a2-4ab-17b2.
Esempio 4: eseguire le operazioni indicate e ridurre poi i termini simili nell'espressione seguente: 
3x3-5xy+y2-[y2-2xy-(2x3-4xy-8y2)+(-2xy+y2)]-[2x3-(4xy-2y2)].
Togliendo le parentesi, procedendo dall'interno verso l'esterno, si ha:
3x3-5xy+y2-y2+2xy+2x3-4xy-8y2+2xy-y2-2x3+4xy-2y2=3x3-xy-11y2.

Prodotto di un polinomio per un monomio
Il prodotto di un polinomio per un monomio si ottiene applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione; segue la seguente regola:
-i
l prodotto di un polinomio per un monomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio dato per il monomio.
Esempi:
1) (5
a3-a2b-2ab2-2b3)(-2a2b)=-10a5b+a4b2+4a3b3+4a2b4.

2) 2
a3
(ab-5a2b2+2ab2-5a3)-3a3(2ab2-7a3)=2a4b-10a5b2+4a4b2-10a6-6a4b2+21a6=
=
2a4b-10a5b2-2a4b2+11a6.

Nota bene

Si ricorda che quando si moltiplicano potenze aventi la stessa base, gli esponenti si sommano; si vede facilmente che il polinomio prodotto di un polinomio per un monomio ha un
grado uguale alla somma dei gradi del polinomio dato e del monomio, purchè il polinomio e il monomio non siano nulli. Nell'esempio 1), si vede che il polinomio ed il monomio sono entrambi di terzo grado, ed il polinomio prodotto è di sesto grado.

Prodotto di polinomi
Anche il prodotto di polinomi si ottiene applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione. Ad esempio, si suppone di dover moltiplicare i fra loro i due polinomi a+b-c, d+f, cioè di dover calcolare il seguente prodotto (1) (
a+b-c)(d+f)
. Considerando, per un momento, la prima somma come eseguita, cioè pensando a+b-c come un unico numero, allora si deve moltiplicare il numero (a+b-c) per la somma (d+f). In base alla proprietà distributiva, si ha: (a+b-c)(d+f)=(a+b-c)d+(a+b-c)f. Applicando ora a ciascuno di questi due ultimi prodotti nuovamente la proprietà distributiva, si ha: (a+b-c)(d+f)=ad+bd-cd+af+bf+cf.
Si vede così che il prodotto dei due polinomi considerati è un polinomio i cui termini sono stati ottenuti moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo.
Tale ragionamento vale per  qualsiasi numero dei termini dei due polinomi, pertanto si può enunciare la seguente regola:
-il prodotto di due polinomi è un polinomio avente per termini tutti i prodotti che si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo.
Da quanto è stato detto, è evidente che il grado del polinomio prodotto è uguale alla somma dei gradi dei polinomi fattori, purchè questi siano diversi da zero.

Negli esempi che seguono si moltiplicherà, partendo da sinistra, il primo termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo, poi il secondo termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo, e così via.
Evidentemente, per la proprietà commutativa della moltiplicazione, si perviene allo stesso risultato, partendo da destra, cioè moltiplicando il primo termine del secondo polinomio per ciascun termine del primo, e così via.
Esempi:
1)-calcolare il prodotto
(3a2b-2a3+2ab2)(-2ab2+5a2b).
Applicando il procedimento suddetto, si ottiene: -6a3b3+15a4b2+4a4b2-10a5b-4a2b4+10a3b3. Riducendo i termini simili, si ha: 4a3b3+19a4b2-10a5b-4a2b4.
2)-semplificare l'espressione seguente, eseguendo le operazioni in essa indicate:
(2a-
a2-3)(a+3a2+1)-(2-a+3a2)(1-2a+a2)-2a(-a+2a2-1
).
Sviluppando i prodotti indicati, togliendo le parentesi e riducendo i termini simili, si ottiene:
(2a2+6a3+2a-a3-3a4-a2-3a-9a2-3)-(2-4a+2a2-a+2a2-a3+3a2-6a3+3a4)+2a2-4a3+2a=
=
2
a2+6a3+2a-a3-3a4-a2-3a-9a2-3-2+4a-2a2+a-2a2+a3-3a2+6a3-3a4+2a2-4a3+2a=
=-13
a2+8a3+6a-6a4-5.

Nota bene
Per calcolare il prodotto di tre o più polinomi si opera come nel prodotto di tre o più numeri, e perciò: il prodotto di tre o più polinomi si ottiene moltiplicando il primo per il secondo, il risultato ottenuto per il terzo, e così di seguito finchè si esauriscono tutti i fattori
.
E' poi evidente che: il grado del polinomio prodotto di più fattori non nulli, è uguale alla somma dei gradi dei singoli fattori.
Esempi:
1)-calcolare il prodotto (2a+3b)(-a+2b)(5a-2b).
Eseguendo prima il prodotto dei primi due fattori, moltiplicando il risultato ottenuto per il terzo fattore ed infine riducendo i termini simili del polinomio così ottenuto, si ha:
(2a+3b)(-a+2b)(5a-2b)=(-2a2+4ab-3ab+6b2)(5a-2b)=
=-10
a3+4a2b+20a2b-8ab2-15a2b+6ab2+30ab2-12b3
=-10a3+9a2b+28ab2-12b3.
2)-semplificare l'espressione
(2-a)(3+b)(-2ab-a+3b)-(2a-1)(2b+3)(ab-a+2b).
Eseguendo i prodotti e riducendo i termini simili, si ha: (2-a)(3+b)(-2ab-a+3b)-(2a-1)(2b+3)(ab-a+2b)=
=(6+2b-3a-ab)(-2ab-a+3b)(4ab+6a-2b-3)(
ab-a+2b)=
=-12ab-6a+18b-4a
b2
-2ab+6b2+6a2b+3a2-9ab+2a2b2+a2b-3ab2-4a2b2+4a2b-8ab2-6a2b+
+6
a2-
12ab+2ab2-2ab+4b2+3ab-3a+6b=-34ab-9a+24b-13ab2+10b2+5a2b+9a2-2a2b2.

Prodotti notevoli

Alcuni prodotti di polinomi, che si presentano spesso nelle applicazioni, si calcolano rapidamente applicando regole fisse dette "Regole dei prodotti notevoli". Queste regole, devono impararsi a memoria.
1)-Quadrato di un binomio
Si vuole calcolare il quadrato del binomio a+b. A tale scopo, si ricorda che calcolare il quadrato di a+b, significa moltiplicare a+b per se stesso, cioè: (
a+b)2=(a+b(
a+b). Calcolando il prodotto indicato nel secondo membro dell'uguaglianza scritta e riducendo i termini simili, si ottiene:
(a+b)2=(a+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
. Quindi, (a+b)2=a2+2ab+b2.
Questa uguaglianza si può enunciare nel modo seguente:
-il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, più il
quadrato del secondo
monomio.
Con ragionamento analogo, si trova che:
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
. Quindi;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
Questa uguaglianza si può enunciare nel modo seguente:
-il quadrato della differenza di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio, meno il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, più il
quadrato del secondo
monomio.
Esempi:
1)-sviluppare il quadrato (5x+2y)2.
Osservato che il quadrato del primo monomio è 25
x2
, il doppio prodotto del primo monomio per il secondo è 2(5x)(2y)=20xy e il quadrato del secondo monomio è 4y2, per la prima delle regole enunciate, si ha: (5x+2y)2=25x2+20xy+4y2.
2)-sviluppare il quadrato (
7a3b+3a2b5
)2.
Si tratta di calcolare il quadrato della somma del monomio
7a3
b con il monomio 3a2b5. In base alla prima delle due regole enunciate, si può scrivere: (7a3b+3a2b5)2=(7a3b)2+2(7a3b)(3a2b5)+(3a2b5)2. Ricordando i teoremi sulle potenze, si ha:
(7a3b+3a2b5)2=49a6b2+42a5b6+9a4b10
.
3)-sviluppare il quadrato (
3a2-5ab3
)2.
Si tratta di calcolare il quadrato della differenza fra il monomio
3a2
ed il monomio -5ab3.
In base alla seconda regola enunciata, si ha:
(3a2-5ab3)2=(3a2)2-2(3a2)(5ab3)+(5ab3)2=9a4-30a3b3+25a2b6
.
4)-sviluppare il quadrato
(-2x3+y)2
. Si ha:
(-2x3+y)2=(y-2x3)2=y2-2(y)(2x3)+(2x3)2=y2-4x3y+4x6
.
5)-sviluppare il quadrato
(-3x2y-y5)2
. Si ha:
(-3x2y-y5)2=(3x2y+y5)2=(3x2y)2+2(3x2y)(y5)+(y5)2=9x4y2+6x2y6+4y10
.

2)-Quadrato di un polinomio di tre o più termini

Siano a, b, -c tre monomi, si vuole calcolare il quadrato 
(a+b-c)2
. Per definizione di potenza, si ha: (a+b-c)2=(a+b-c)(a+b-c)2=a2+ab-ac+ab+b2-bc-ac-bc+c2, e riducendo i termini simili, si ha:
(a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc.
Una forma analoga si trova per il quadrato di un polinomio di più di tre termini. Si ha così la seguente regola generale:
-il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto, con il relativo segno, di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono
.
Esempi:
1)-
sviluppare il quadrato (3a2-2ab+b3)2.
In base alla regola enunciata, si può scrivere:
(3a2-2ab+b3)2=(3a2)2+(-2ab)2+(b3)2+2(3a2)(-2ab)+2(3a2)(b3)+2(-2ab)(b3)=9a4+4a2b2+b6-
-12
a3b
+6a2b3-ab4.
2)-sviluppare il quadrato (2x3y-x2y2+3xy3-y4)2. Si ha: (2x3y-x2y2+3xy3-y4)2=4x6y2+x4y4+9x2y6+y8-4x5y3+12x4y4-4x3y5-6x3y5+2x2y6-6xy7=
=
4x6y2+13x4y4+11x2y6+y8-4x5y3-10x3y5-6xy7.
3)-
sviluppare la seguente espressione: (x2-xy+y2)2-(x2-y2)2-(3x2-2xy-y2)2.
Sviluppando i quadrati indicati e togliendo poi le parentesi, si ha:
(x2-xy+y2)2-(x2-y2)2-(3x2-2xy-y2)2
=x4+x2y2+y4-2x3y-2xy3-x4+4x2y2-4y4-9x4-4x2y2-y4+12x3y+
+6
x2y2-4xy3
=-9x4+9x2y2-4y4+10x3y-6xy3
3)-Cubo di un binomio
Si vuole calcolare il cubo del binomio a+b. A tale scopo, si ricorda che calcolare il cubo di a+b, per definizione di potenza, (
a+b)3=(a+b)2(
a+b). Essendo (a+b)2=a2+2ab+b2, si ha: (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b). Calcolando il prodotto indicato, si ha: (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3, e riducendo i termini simili, in definitiva si ottiene:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
Procedendo in modo analogo, si trova:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
Si ha quindi la seguente regola, che comprende entrambe le formule trovate:
-il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del terzo termine.

Nota bene

I segni dei vari termini ottenuti variano a seconda dei segni dei monomi a e b.
Esempi:
1)-C
alcolare il cubo (2a2+3ab)3. Si ha: (2a2+3ab)3=(2a2)3+3(2a2)2(3ab)+3(2a2)(3ab)2+(3ab)3=8a6+36a5b+54a4b2+27a3b3.
2)-C
alcolare il cubo (2a2b-ab2)3. Si ha:
(2a2b-ab3)3=(2a2b)3+3(2a2b)2(-ab3)+3(2a2b)(-ab3)2(-ab2)3=8a6b3-12a5b5+6a4b7-a3b9.
3)-Semplificare la seguente espressione
(a2-2b2)3-(3a2+b2)3-5a2b2(2a2-b2)-(a3-2b3)2.
Sviluppando prima le potenze e togliendo le parentesi si ha:
(a2-2b2)3-(3a2+b2)3-5a2b2(2a2-b2)-(a3-2b3)2=a6-6a4b2+12a2b4-8b6-27a6-27a4b2-9a2b4-b6+  -10a4b2+5a2b4-a6+4a3b3-4b6=-27a6-43a4b2+8a2b4-13b6+4a3b3.

Prodotto della somma di due termini per la loro differenza

Si considera la somma a+b e si moltiplica per la differenza a-b, ottenendo:
(a+b)(a-b)=
a2-ab+ab-b2=a2-b2, cioè:
a2-b2=(a+b)(a-b).
Si può quindi enunciare la seguente regola:
-il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo
.
Esempi:

1)-C
alcolare il prodotto (3a2+2b2)(3a2-2b2). Si ha: (3a2+2b2)(3a2-2b2)=(3a2)2-(2b2)2=9a4-4b4.
2)-C
alcolare il prodotto (3x2+y2+5z2)(3x2+y2-5z2).
Considerando come primo termine
3x2+y2, si ha: (3x2+y2+5z2)(3x2+y2-5z2)=(3x2+y2)2-(5z)2=9x4+6x2y2+y4-25z4.
3)-C
alcolare il prodotto (a2+3b3+2ab+c2)(a2+3b3-2ab-c2).
Considerando come primo termine
(a2+3b3) e come secondo termine (2ab+c2), si ha: (a2+3b3+2ab+c2)(a2+3b3-2ab-c2)=(a2+3b3)2-(2ab+c2)2=a4+6a2b3+9b6-4a2b2-4abc2-c4.

Divisione di un polinomio per un monomio
Un polinomio si dice divisibile per un monomio non nullo, quando esiste un altro polinomio che, moltiplicato per il monomio, dia per prodotto il polinomio dato
.
E' noto che per dividere una somma algebrica per un numero, si devono dividere tutti i termini della somma per quel numero e poi addizionare i quozienti parziali così ottenuti. Da ciò segue che un polinomio è divisibile per un monomio solo quando ogni termine del polinomio è divisibile per quel monomio. Inoltre, si può dire che:
-
quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è uguale al polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio dato per il monomio.
Esempio:
(30a3-15a2b+45ab3-5a):5a=6a2-3ab+9b3-1.

Nota bene
: quando un polinomio non è divisibile per un monomio, nel senso suddetto, la divisione si indica con una frazione, che ha per numeratore il polinomio dividendo e per denominatore il monomio divisore. Ad esempio, il quoziente fra il polinomio 3a
2x-5b2y-7a ed il monomio 3ay3z, viene indicato come segue:



Divisione di due polinomi in una sola variabile

Per inquadrare bene il problema, si comincia con il rammentare quanto segue:
assegnati due numeri a e b, tali che a<b e b≠0, il numero a è divisibile esattamente per b, quando esiste un numero q che moltiplicato per b dia per prodotto a, cioè quando risulta a=bq.
In tal caso, il numero q si chiama quoziente esatto della divisione di a per b. Se invece il numero intero a non è divisibile per il numero b, allora, in aritmetica, si è visto che esistono due e soltanto due numeri interi q ed r, con r numero minore di b, tali che, moltiplicando b per q e sommando al prodotto il numero r, si ottiene per risultato a, cioè: a=bq+r. Il numero q si chiama quoziente incompleto, o intero, della divisione di a per b, e il numero r resto della divisione.
Si vuole vedere ora se un problema analogo si può risolvere anche per i polinomi ad una sola variabile. A tale scopo si considerano due polinomi contenenti una sola lettera x, cioè si suppone che i coefficienti della x siano dati numericamernte, ed ordinati secondo le potenze decrescenti di tale lettera. Tali polinomi si indicano brevemente con le lettere A e B; per  mettere in evidenza che dipendono dalla lettera x, si indicano con A(x) e B(x) e si suppone che B(x) non sia un polinomio nullo. Ad esempio con A(x) si indica un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x e a coefficienti numerici: A(x)= 5
x4-2x3+7x2-9x
+11. Si indica con n il grado del polinomio A(x) e con m il grado del polinomio B(x) e, come nel caso dei numeri interi, ove è stato omesso che il dividendo fosse non minore del divisore, si suppone che n non sia minore di m. Ciò premesso, si possono presentare due casi:
1° caso: si suppone che esista un polinomio, indicato con Q(x), che moltiplicato per B(x) dia per risultato A(x), cioè A(x)=B(x)Q(x).
In tale caso, si dice che il polinomio A(x) è divisibile per il polinomio B(x), ed il polinomio Q(x) si chiama quoziente esatto della divisione di A(x) per B(x)
.
Siccome il prodotto di due polinomi non nulli è un polinomio il cui grado è uguale alla somma dei gradi dei polinomi fattori, allora, dato che il grado di A(x) è n ed il grado di B(x) è m, si può dire che il polinomio Q(x) è di grado n-m, perchè appunto 
è m+(n-m)=n, perciò:
Quando A(x) è divisibile esattamente per B(x), il quoziente Q(x) è un 
polinomio il cui grado è uguale alla differenza fra il grado di A(x) e quello di B(x).
In seguito si vedrà come si determina effettivamente Q(x).
2° caso
: si suppone che il polinomio A(x) non sia divisibile per B(x), e ci si chiede se è possibile, come per i numeri interi, trovare altri due numeri polinomi, indicati con Q(x) e R(x), in modo che risulti: A(x)=B(x)Q(x)+R(x), con R(x) polinomio di grado inferiore al grado di B(x).
A tale domanda si risponde affermativamente, perchè si dimostra il seguente teorema:
-
se A(x)B(x) sono due polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti della x, e il grado di A(x) rispetto ad x non è minore del grado di B(x), e B(x) non è nullo, allora si può determinare uno ed un solo polinomio Q(x) di grado uguale alla differenza dei gradi di A(x)B(x), ed uno ed un solo polinomio R(x) di grado minore di quello di B(x), in modo che risulti: A(x)=B(x)Q(x)+R(x).
Alla domanda del secondo caso si
risponde affermativamente anche quando il grado di A(x) è inferiore a quello di B(x). Infatti, in tale caso basta prendere Q(x)=0, cioè uguale al polinomio nullo, e R(x)=A(x).
Premesso ciò, il polinomio Q(x), come nel caso dei numeri interi, si chiama quoziente incompleto, o intero, della divisione di
A(x) e B(x), ed R(x) si chiama resto della divisione. Di tale teorema si omette la dimostrazione.

Determinazione
del polinomio quoziente Q(x) e del resto R(x) della divisione di A(x) per B(x).
Dati due polinomi
A(x) e B(x), ordinati secondo le potenze decrescenti della x, si vuole determinare il polinomio quoziente Q(x) ed il resto R(x) della divisione di A(x) per B(x), applicando una regola pratica.
Eseguire la seguente divisione:
(5x4-2x3-3x2+171x+4):(x2+3x-1).
Procedimento: si divide il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore, e si ha: 5x4:x2=5x2; questo è il primo termine del quoziente, e si scrive:



Si moltiplica il quoziente così trovato per ciascun termine del divisore ed i prodotti ottenuti si sottraggono dal dividendo, e ciò praticamente si ottiene scrivendoli con il segno cambiato, sotto i termini simili del dividendo:



Eseguendo la somma del dividendo e di tali prodotti, si ha:



Si ottiene così il primo resto parziale
-17x3+
2x2+171x+4.
Si prosegue dividendo il termine di grado più alto di tale resto per il primo termine del divisore, e si ha:
-17x3:x2=
-17x; questo è il secondo termine del quoziente, e si scrive:



Si moltiplica ora per
-17x ciascun termine del divisore e si scrivono i prodotti parziali, ciascuno cambiato di segno, sotto i corrispondenti termini  del primo resto parziale e quindi, procedendo come prima, si ha:



Si ottiene così il secondo resto parziale
53x2 +154x +4 e, continuando il procedimento, si ha: 53x2:x2=53, e 53 è il terzo termine del quoziente. Procedendo come prima, si ha:


Siccome il terzo resto parziale
-5x+57
, è un polinomio di grado inferiore al grado del divisore, allora l'operazione si arresta, perciò il quoziente è: Q(x)=5x2-17x+53, e il resto R(x)= -5x+57.
Per verificare se l'operazione è esatta, si deve vedere che il prodotto del quoziente per il divisore, aumentato poi del resto, dà il dividendo. Infatti, in tal caso, si ha:
(
x2+3x-1
)(5x2-17x+53)+(-5x+57)=5x4-17x3+53x2+15x3-51x2+159x-5x2+17x-53-5x+57=
=5
x4-2x3-3x2+171x+4
. Come si può notare, si è ottenuto il polinomio dividendo.
Eseguire la seguente divisione:
(6x5+x4-6x3+2x2-5x-2):(3x2-x+2).
Applicando il procedimento dell'esempio precedente, si ha:


Avendo ottenuto resto nullo, si può dire che il primo polinomio è divisibile esattamente per il secondo e che il loro quoziente esatto è: Q(x)=
2x3+x2-3x-1. Risultando inoltre: (3x2-x+2)(2x3+x2-3x-1)=6x5+3x4-9x3-3x2+x+4x3+2x2-6x-2=6x5+x4-6x3+2x2-5x-2, si può dire che l'operazione è stata eseguita in modo esatto.
Il procedimento di successive divisioni, illustrato nei due esempi svolti, è evidentemente applicabile ad ogni coppia di A(x), B(x) di polinomi, in una stessa variabile x, ordinati secondo potenze decrescenti della x e tali che il grado di A(x) non sia minore di quello di B(x) e B(x)
≠0.
E' anche evidente che, in ogni caso, questo procedimento deve ad un certo punto terminare. Basta infatti osservare che i gradi dei successivi resti parziali che si ottengono, vanno sempre diminuendo e perciò ad un certa punto si troverà o un resto nullo, oppure un resto di grado inferiore a quello del divisore B(x). Resta quindi giustificata la seguente regola per la divisione dei polinomi:
-dati due polinomi A(x) e B(x) nella variabile x,
e che rispetto ad x il primo sia di grado non minore del secondo, e B(x)
≠0, si divide A(x) per B(x), con le seguenti operazioni:
1)-si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti della lettera x;
2)-si divide il primo termine del polinomio dividendo per
il primo termine del polinomio divisore; si ottiene in tal modo il primo termine del quoziente dei due polinomi;
3)-si moltiplica il primo termine del quoziente per il polinomio divisore e si sottrae dal dividendo del polinomio ottenuto, cioè lo si aggiunge ad esso cambiando di segno tutti i suoi termini, si ottiene così il primo resto parziale;
4)-si divide il termine di grado più alto del primo resto per il primo termine del polinomio divisore e si ha in tal modo il secondo termine del quoziente;
5)-si moltiplica questo
secondo termine del quoziente per il polinomio divisore e si continua l'operazione come si è fatto per il primo termine del quoziente, finchè non si ottenga un resto parziale nullo o un polinomio di grado inferiore a quello del divisore.
Altri esempi:
1)-eseguire la divisione
(
3x5-5x4+9x3-2x2+1):(3x2-2x+1).
Si osserva che il polinomio dividendo non è completo, perchè manca il termine contenente la x di potenza uno. Pertanto in corrispondenza di tale termine si lascia uno spazio libero.


Avendo ottenuto resto nullo, si conclude che il primo polinomio e divisibile esattamente per il secondo e che il loro quoziente esatto è Q(x)=
x3-x2+2x+1.
Moltiplicando il divisore per il quoziente, si ottiene il dividendo:
(
3x2-2x+1
)(x3-x2+2x+1)=3x5-3x4+6x3+3x2-2x4+2x3-4x2-2x+x3-x2+2x+1=3x5-5x4+9x3-2x2+1.
L'operazione è quindi esatta.

2)-eseguire la divisione
(
4x3-5x2+3x-2):(2x-3). Si ha:



Quindi il quoziente incompleto e il resto sono:



Negli esempi suddetti, relativamente alla divisione dei polinomi, si è supposto che i coefficienti delle varie potenze della lettera x fossero assegnati numericamente. Tuttavia la regola dell'operazione si estende anche nel caso in cui i coefficienti sono letterali; basta considerarli come costanti.
Esempi:

1)-eseguire la seguente divisione:
(3x4+5ax3-a2x2-6a3x+2a4):(3x2-ax-2a2). Si ha:



Quindi: Q(x)=
x2+2ax+a2
; R(x)=-a3x+4a4.
2)-eseguire la seguente divisione: (ax3+2a2x2+bx+ab2):(bx+ab). Si ha:



Nota bene
In precedenza si è determinato il quoziente e il resto della divisione fra due polinomi in una variabile e ordinati secondo le potenze decrescenti di questa variabile; quando si dovranno dividere due polinomi contenenti più lettere, si deve conoscere con precisione quale di queste lettere è quella che si deve considerare come variabile, e ciò perchè quoziente e resto variano, in generale, con il variare della lettera che si assume come variabile.
Esempi:
1)-se nei due polinomi
a3+3a2b+5b3
, a+3b, si considera variabile la lettera a, il quoziente e il resto della loro divisione, che si calcolano facilmente, sono: Q=a2, R=5b3.
2)-
se nei due polinomi 5b3+3a2b+5a3, 3b+a, si considera come variabile la lettera b, il quoziente e il resto della loro divisione, che si calcolano facilmente, sono:



Confrontando i risultati ottenuti, si nota che sono completamente diversi, perchè tali sono i due polinomi.

Divisione dei polinomi ordinati secondo le potenze crescenti della variabile

Finora si sono considerati il polinomio dividendo A(x) ed il polinomio divisore B(x) ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera x e, nel caso che A(x) non fosse divisibile per B(x), si è visto che esistono due e due soli polinomi Q(x) e R(x), il primo di grado non superiore al grado di A(x) e il secondo di grado inferiore a quello di B(x) in modo che si abbia:
A(x)=B(x)Q(x)+R(x). Si vuole vedere ora cosa accade se i polinomi A(x) e B(x) sono ordinati secondo le potenze crescenti della x, Si vede, con un esempio, che se A(x) è divisibile esattamente per B(x), si trova sempre lo stesso quoziente sia che A(x) e B(x) siano ordinati secondo le potenze decrescenti della x, che secondo le potenze crescenti.
1° caso: A(x)=x4+2x3-21x2+26x-7 e B(x)=x2+5x-7 ordinati secondo le potenze decrescenti della x. Infatti, applicando la regola della divisione, si ha:


2° caso:
A(x)=-7+26x-21x2+2x3+x4 e B(x)=-7+5x+x2 ordinati secondo le potenze crescenti della x. Infatti, applicando la regola della divisione, si ha:



In entrambi i casi i quozienti sono uguali.
Se A(x)=3-x-2x2 non è divisibile per B(x)=-1+2x2, essendo i polinomi ordinati secondo potenze crescenti della variabile, si ha:



Si vede quindi che la divisione si potrebbe continuare indefinitamente. Se
ad esempio ci si ferma dopo quattro applicazioni della regola, si ha la seguente uguaglianza:
3 -x -2x2=(-1+2x2)(-3+x-4x2+2x3)+8x4 -4x5, che è del tipo A(x)= B(x)Q(x)+R(x).
Però, in questo caso, il quoziente Q(x) può essere di grado elevato quanto si vuole ed R(x) è un polinomio di grado non minore di quello di Q(x). In tal caso di uguaglianze del tipo
A(x)= B(x)Q(x)+R(x) se ne possono scrivere tante, a proprio piacimento, continuando più o meno l'operazione. Tale questione prende il nome di divisione dei polinomi ordinati in ordine crescente. Quindi non occorre più la restrizione posta in precedenza, cioè che il grado di B(x) non sia superiore a quello di A(x); si dovrà invece supporre che, scritti A(x) e B(x) in ordine di potenze crescenti, il primo termine di A(x) abbia grado non inferiore al prrimo termine di B(x).

Divisibilità di un polinomio per un binomio di primo grado
Si considera il polinomio A(x)=2x3-5x2+3x -7, ordinato rispetto alla variabile x. Si calcola il valore di tale polinomio per x=2, ottenendo, 16-20+6=-5. Tale valore viene indicato con la scrittura A(2), cioè si pone A(2)=-5. Quindi, con il simbolo A(2) si conviene rappresentare il valore che assume il polinomio, indicato in precedenza con A(x), quando al posto della lettera x si mette il numero due.
Esempi:
1)-calcolare il valore che assume il polinomio
A(x)=2x3-5x2+3x -7 per x=-5:
A(-5)=2
(-5)3-5(-5)2+3(-5) -7=-250-125-15-7=-397. Quindi, il simbolo A(-5) indica il numero -397.
2)-calcolare il valore che assume il polinomio
A(x)=x4-3x2+5 per x=1/2:



3)-calcolare il valore che assume il polinomio
A(x)=x4-3x2+5 per x=-1: A(-1)=1-3+5=3.
4)-calcolare il valore che assume il polinomio A(x)=x4-3x2+5 per x=3: A(3)=81-27+5=59.

Quando si indica con A(x) un polinomio nella variabile x, ad esempio con A(7) s'intende indicare il numero che rappresenta il valore che assume il polinomio A(x) quando al posto della x si mette il numero 7. Se poi, in generale, il numero s'indica con la lettera c, il simbolo A(c) indica il valore che assume il polinomio quando al posto della lettera x si mette il numero indicato con la lettera c. In conclusione:
Se A(x) indica un polinomio nella variabile x e c un numero relativo, con la scrittura A(c) s'intende rappresentare il valore assoluto del polinomio A(x), quando al posto della x si mette il numero c.

Si indica ora un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x e si suppone che, rispetto a tale lettera, il polinomio sia di grado n. Si vuole dividere il polinomio A(x) per un binomio di primo grado del tipo x-c, dove c è un numero relativo qualunque, dapprima si osserva che essendo il polinomio dividendo A(x) di grado n ed il polinomio divisore x-c di primo grado, come è noto, il polinomio quoziente Q(x), della divisione di A(x) per x-c, è un polinomio di grado n-1. Il resto R della divisione, o è zero, oppure, dovendo essere un polinomio di grado inferiore a quello della divisione x-c, sarà di grado 0 rispetto alla lettera x, cioè è un numero diverso da zero. Inoltre, il prodotto del divisore (x-c) per il quoziente Q(x), aumentato del resto R, deve dare il polinomio dividendo A(x), cioè si deve avere l'uguaglianza:
A(x)= (x-c)Q(x)+R, valida per qualsiasi valore attribuito alla lettera x. Se per qualsiasi valore attribuito alla lettera x, il valore assunto dal polinomio A(x) coincide con il valore assunto dal polinomio (x-c)
Q(x)+R, allora, mettendo al posto della x il numero c, si ha:
(1)
A(c)= (c-c)Q(x)+R, dove A(c) indica il valore assunto dal polinomio A(x) per x=c, e Q(c) il valore assunto dal polinomio Q(x) per x=c. Essendo c-c=0, il prodotto (c-c)Q(c) e nullo, perchè è zero un suo fattore, e perciò la (1) si può scrivere sotto la forma (2) A(c)=R. Tale risultato esprime che:
Il resto della divisione di un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x per il binomio x-c è dato dal valore che assume il polinomio quando al posto della lettera x si sostituisce il numero c, ossia l'opposto del termine noto del divisore.

Questo importante risultato permette di calcolare direttamente, cioè senza eseguire la divisione, il resto della divisione di un polinomio A(x) per un binomio del tipo x-c.
Esempi:
1)-determinare il resto della divisione del polinomio A(x)=
2x3-5x2+3x-2, per il binomio x-3.
In tale caso, è c=3. Per determinare il resto della divisione proposta, si deve calcolare il valore del polinomio dato quando alla lettera x si sostituisce il numero 3:
A(3)=2(3)3-5
(3)2+3(3)-2=54-45+9-2=16. Quindi, il resto della divisione del polinomio dato per il binomio x-3 è 16. Dal fatto che questo resto è diverso da zero, si può dire anche che il polinomio dato non è divisibile esattamente per x-3.
2)-determinare il resto della divisione del polinomio A(x)=2x3-7x2+11x-4, per il binomio x+1/2.
In tale caso, è c=-1/2.
Per determinare il resto della divisione proposta, si deve calcolare il valore del polinomio dato quando alla lettera x si sostituisce il numero -1/2:
A(-1/2)=2(-1/2)3-7(-1/2)2-11(-1/2)-4=-(1/4)-(7/4)-(11/2)-4=-23/2.
Quindi, il resto della divisione del polinomio dato per il binomio x+1/2 è -23/2. Dal fatto che questo resto è diverso da zero, si può dire anche che il polinomio dato non è divisibile esattamente per x+1/2.
3)-determinare il resto della divisione del polinomio A(x)=x4-2ax3+5a2x3-a3x-18a4, per il binomio x-2a.
In tale caso, è c=2a. Per determinare il resto della divisione proposta, si deve calcolare il valore del polinomio dato quando alla lettera x si sostituisce il numero 2a:
A(2a)=
16a4-16a4+20a4-2a4-18a4=0. Quindi, il resto della divisione del polinomio dato per il binomio x-2a è 0. Dal fatto che questo resto è uguale a zero, si può dire anche che il polinomio dato è divisibile esattamente per x-2a.

Dal risultato trovato in precedenza
A(c)=R, si deduce un notevole teorema. Infatti, supponendo dapprima che il polinomio A(x) sia divisibile per x-c, si ha che il resto della divisione di A(x) per x-c è zero, cioè R=0 e quindi A(c)=0, cioè il polinomio A(x) si deve annullare per x=c.
Quindi: se un polinomio è divisibile per x-c, esso si annulla per x=c.
Viceversa, supposto che il polinomio A(x) valga zero per x=c, cioè A(c)=0, dall'uguaglianza
A(c)=R, si ricava R=0, cioè è zero il resto della divisione di A(X) per x-c, e quindi A(x) è divisibile per x-c.
Quindi: 
se un polinomio si annulla per x=c, allora esso è divisibile per x-c.

TEOREMA DI RUFFINI - Un polinomio A(x) è divisibile esattamente per il binomio x-c, solo quando si annulla per x=c.
REGOLA DI RUFFINI
La regola di Ruffini permette di calcolare il quoziente della divisione senza eseguire materialmente la stessa divisione con il procedimento noto. Per vedere come ciò sia possibile, è preferibile dapprima ragionare su un esempio concreto eseguendo la seguente divisione:
(3x4-5x3-8x2-7x-6):(x-2), si ha:



Quindi: Q(x)=
3x3+x2-6x-19, R=-44. Si osservano ora il polinomio dividendo ed il polinomio quoziente trovato: 3x4-5x3-8x2-7x-6, 3x3+x2-6x-19, si riconosce che:
1)-il grado del quoziente è di una unità inferiore a quello del divisore. E ciò è già noto.
2)-il coefficiente del primo termine del quoziente è uguale al coefficiente del primo termine del dividendo; il secondo coefficiente del quoziente si ottiene moltiplicando il termine noto, cambiato di segno, del divisore, cioè 2, per il primo coefficiente del quoziente, ed aggiungendo al prodotto il secondo coefficiente del dividendo
. Infatti, si ha: 2x3-5=1.
Il terzo coefficiente del quoziente si ottiene moltiplicando sempre il numero 2 per il secondo coefficiente del quoziente e aggiungendo al prodotto il terzo coefficiente del dividendo
. Infatti: 2x1-8=-6.

Il quarto coefficiente del quoziente si ottiene moltiplicando il numero 2 per il terzo coefficiente del quoziente e aggiungendo al prodotto il quarto coefficiente del dividendo
. Infatti: 2x(-6)-7=-19.
Infine, il resto si ottiene moltiplicando il numero 2 per il quarto coefficiente del quoziente ed aggiungendo al prodotto il quinto coefficiente del dividendo. Infatti: 2x(-19)-6=-44.
Queste osservazioni conducono, in pratica, a disporre il calcolo dei coefficienti del quoziente ed il resto, secondo il seguente prospetto:


Come si vede, nella prima riga si scrivono tutti i coefficienti del dividendo, da quello di grado più alto a quello di grado più basso, ordinatamente secondo gradi decrescenti di una unità, della variabile; nella seconda riga, separato da un tratto verticale, si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno. Il primo termine della terza riga è il primo della prima, gli altri si ottengono dai corrispondenti termini della prima riga secondo la regola vista. Così facendo, tutti i termini della terza riga sono coefficienti del quoziente, escluso l'ultimo, che si separa dagli altri con un tratto verticale, che è il resto. Nell'esempio proposto il quoziente è dunque: 
3x3+x2-6x-19, ed il resto è -44. La regola trovata in tale caso particolare è valida in generale; quindi la si può enunciare come segue:
-quando si divide un polinomio A(x), ordinato secondo le potenze decrescenti della x, per il binomio x-c, allora il quoziente Q(x) ha il primo coefficiente uguale al primo coefficiente del dividendo A(x). Ciascuno dei successivi coefficienti di Q(x), si ottiene moltiplicando per c il coefficiente precedente del quoziente, ed aggiungendo al prodotto il coefficiente di A(x) che occupa lo stesso posto. Il resto R si ottiene moltiplicando per c l'ultimo coefficiente di Q(x) e aggiungendo al prodotto l'ultimo coefficiente di A(x).
Esempi:
1)-dividere il polinomio
3x4-2x3+x2-5x+1 per il binomio x-3.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:


Pertanto, risulta Q(x)=
3x3+7x2+22x+61, R=184.

Osservazione: se il dividendo non è un polinomio completo, nella prima riga, si mette lo zero al posto dei coefficienti dei termini mancanti.

2)-dividere il polinomio
2x5-7x2+8 per il binomio x-1/2.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
 

Pertanto, risulta Q(x)=
2x4+x3+(1/2)x2-(27/4)x-27/8, R=101/16.

3)-dividere il polinomio 
x4-3x2+2x-1 per il binomio x+2.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
 

Pertanto, risulta Q(x)=
x3-2x2+x, R=-1.

Divisibilità di binomi notevoli

Come applicazione del teorema di Ruffini, si possono dimostrare i seguenti teoremi:

TEOREMA 1) - La differenza di due potenze di egual esponente positivo è sempre divisibile per la differenza delle basi.
Si vuole quindi dimostrare che la differenza xn-an, quale che sia l'intero positivo n, è sempre divisibile per x-a. A tale scopo, si osservi innanzi tutto che
xn-an è, rispetto alla x un polinomio di grado n; perciò, posto A(x)=xn-an, per dimostrare che A(x) è divisibile per x-a, applicando il teorema di Ruffini, basta vedere che il polinomio A(x) assume il valore 0 quando al posto della lettera x si mette il numero a. Si ha: A(0)=an-an=0, e ciò dimostra il teorema. Con la regola di Ruffini si può poi determinare il quoziente della divisione xn-an per x-a.
Casi particolari:
1)-dividere
x3-a3 per x-a.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
 


Pertanto, risulta Q(x)=
x2+ax+a2, R=0 e quindi si può scrivere: x3-a3=(x-a)(x2+ax+a2).
2)-dividere x4-a4 per x-a.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
 


Pertanto, risulta Q(x)=
x3+ax2+a2x+a3, R=0 e quindi si può scrivere: x4-a4=(x-a)(x3+ax2+a2x+a3).

In generale, si trova che il quoziente di
xn-an per x-a, è: xn-1+axn-2+a2xn-3+....+an-2x+an-1, cioè è un polinomio omogeneo completo di grado n-1, ordinato secondo le potenze decrescenti della prima base e crescenti della seconda, con tutti i coefficienti uguali a 1. Si ha così l'uguaglianza: xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a2xn-3+....+an-2x+an-1).

TEOREMA 2) - La differenza di due potenze di egual esponente positivo è divisibile per la somma delle basi, solo quando l'esponente è pari
.
Si vuole quindi dimostrare che la differenza xn-an è divisibile per x+a quando n è pari. Infatti, posto A(x)=xn-an, per vedere se A(x) è divisibile per x+a, si deve, in base alla regola di Ruffini, calcolare A(-a), cioè il valore che il polinomio A(x) assume per x=-a. Se si trova che A(-a) vale zero, allora si può affermare che A(x) è divisibile per x+a, in caso contrario non lo è.
Si trova: A(-a)=(-a)n-
an. Si distinguono due casi:
1°)-n pari. In tal caso, si ha:
(-a)n=an, e quindi A(-a)=an-an=0, e perciò xn-an è divisibile per x+a.
2°)-n dispari
.
In tal caso, si ha: (-a)n=-an, e quindi A(-a)=-an-an=-2an, e perciò A(-a) è diverso da zero e ciò vuol direr che xn-an, in questo caso, non è divisibile per x+a. Con ciò è dimostrato il teorema.

TEOREMA 3) - La somma di due potenze di egual esponente positivo è divisibile per la somma delle basi, solo quando l'esponente è dispari
.

Si vuole quindi dimostrare che la somma xn+an è divisibile per x+a, solo quando il numero n è dispari.
Infatti, posto A(x)=xn+an, si ha  A(-a)=(-a)n+an. Si distinguono due casi:
1°)-n dispari. In tal caso, essendo
(-a)n=-an, si ha: A(-a)=0, e quindi, per il teorema di Ruffini, si conclude che xn+an è divisibile per x+a.
2°)-n pari
.
In tal caso, essendo (-a)n=an, si ha:  A(-a)=an+an=2an, e quindi, essendo A(-a)≠0,  xn+an, non è divisibile per x+a. Come caso particolare, si divide x3+a3 per x+a; si ha:



e quindi si può scrivere: 
x3+a3=(x+a)(x2-ax+a2).

TEOREMA 4) - La somma di due potenze di egual esponente positivo non è mai divisibile per la differenza delle basi
.
Si tratta di dimostrare
che xn+an non è mai divisibile per x-a. Infatti, posto A(x)=xn+an, si ha: A(a)=an+an=2an, ed essendo A(a)≠0, ciò prova che xn+an non è divisibile per x-a.