Si vede quindi che la divisione si potrebbe continuare indefinitamente. Se ad esempio ci si ferma dopo quattro applicazioni della regola, si ha la seguente uguaglianza:
3 -x -2x2=(-1+2x2)(-3+x-4x2+2x3)+8x4 -4x5, che è del tipo A(x)= B(x)Q(x)+R(x).
Però, in questo caso, il quoziente Q(x) può essere di grado elevato quanto si vuole ed R(x) è un polinomio di grado non minore di quello di Q(x). In tal caso di uguaglianze del tipo A(x)= B(x)Q(x)+R(x) se
ne possono scrivere tante, a proprio piacimento, continuando più
o meno l'operazione. Tale questione prende il nome di divisione dei polinomi ordinati in ordine crescente. Quindi non occorre più la restrizione posta in precedenza, cioè che il grado di B(x) non sia superiore a quello di A(x); si dovrà invece supporre che, scritti A(x) e B(x) in ordine di potenze crescenti, il primo termine di A(x) abbia grado non inferiore al prrimo termine di B(x).
Divisibilità di un polinomio per un binomio di primo grado
3)-calcolare il valore che assume il polinomio A(x)=x4-3x2+5 per x=-1: A(-1)=1-3+5=3.
4)-calcolare il valore che assume il polinomio A(x)=x4-3x2+5 per x=3: A(3)=81-27+5=59.
Quando
si indica con A(x) un polinomio nella variabile x, ad esempio con A(7)
s'intende indicare il numero che rappresenta il valore che assume il
polinomio A(x) quando al posto della x si mette il numero 7. Se poi, in
generale, il numero s'indica con la lettera c, il simbolo A(c) indica
il valore che assume il polinomio quando al posto della lettera x si
mette il numero indicato con la lettera c. In conclusione:
Se
A(x) indica un polinomio nella variabile x e c un numero relativo, con
la scrittura A(c) s'intende rappresentare il valore assoluto del
polinomio A(x), quando al posto della x si mette il numero c.
Si
indica ora un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della
lettera x e si suppone che, rispetto a tale lettera, il polinomio sia
di grado n. Si vuole dividere il polinomio A(x) per un binomio di
primo grado del tipo x-c, dove c è un numero relativo qualunque,
dapprima si osserva che essendo il polinomio dividendo A(x) di grado n
ed il polinomio divisore x-c di primo grado, come è noto, il
polinomio quoziente Q(x), della divisione di A(x) per x-c, è un
polinomio di grado n-1. Il resto R della divisione, o è zero,
oppure, dovendo essere un polinomio di grado inferiore a quello della
divisione x-c, sarà di grado 0 rispetto alla lettera x,
cioè è un numero diverso da zero. Inoltre, il prodotto
del divisore (x-c) per il quoziente Q(x), aumentato del resto R, deve
dare il polinomio dividendo A(x), cioè si deve avere
l'uguaglianza:
A(x)= (x-c)Q(x)+R, valida per qualsiasi valore
attribuito alla lettera x. Se per qualsiasi valore attribuito alla
lettera x, il valore assunto dal polinomio A(x) coincide con il valore
assunto dal polinomio (x-c)Q(x)+R, allora, mettendo al posto della x il numero c, si ha:
(1) A(c)= (c-c)Q(x)+R, dove A(c) indica il valore assunto dal polinomio A(x) per x=c, e Q(c) il
valore assunto dal polinomio Q(x) per x=c. Essendo c-c=0, il prodotto
(c-c)Q(c) e nullo, perchè è zero un suo fattore, e
perciò la (1) si può scrivere sotto la forma (2) A(c)=R.
Tale risultato esprime che:
Il resto della divisione di un
polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x per il binomio
x-c è dato dal valore che assume il polinomio quando al posto
della lettera x si sostituisce il numero c, ossia l'opposto del termine
noto del divisore.
Questo importante risultato permette di
calcolare direttamente, cioè senza eseguire la divisione, il
resto della divisione di un polinomio A(x) per un binomio del tipo x-c.
Esempi:
1)-determinare il resto della divisione del polinomio A(x)=2x3-5x2+3x-2, per il binomio x-3.
In
tale caso, è c=3. Per determinare il resto della divisione
proposta, si deve calcolare il valore del polinomio dato quando alla
lettera x si sostituisce il numero 3:
A(3)=2(3)3-5(3)2+3(3)-2=54-45+9-2=16.
Quindi, il resto della divisione del polinomio dato per il binomio
x-3 è 16. Dal fatto che questo resto è diverso da zero,
si può dire anche che il polinomio dato non è divisibile
esattamente per x-3.
2)-determinare il resto della divisione del polinomio A(x)=2x3-7x2+11x-4, per il binomio x+1/2.
In tale caso, è c=-1/2. Per determinare il resto della divisione
proposta, si deve calcolare il valore del polinomio dato quando alla
lettera x si sostituisce il numero -1/2:
A(-1/2)=2(-1/2)3-7(-1/2)2-11(-1/2)-4=-(1/4)-(7/4)-(11/2)-4=-23/2. Quindi, il resto della divisione del polinomio dato per il binomio x+1/2 è -23/2. Dal
fatto che questo resto è diverso da zero, si può dire
anche che il polinomio dato non è divisibile esattamente per
x+1/2.
3)-determinare il resto della divisione del polinomio A(x)=x4-2ax3+5a2x3-a3x-18a4, per il binomio x-2a.
In
tale caso, è c=2a. Per determinare il resto della divisione proposta, si
deve calcolare il valore del polinomio dato quando alla lettera x si
sostituisce il numero 2a:
A(2a)=16a4-16a4+20a4-2a4-18a4=0.
Quindi, il resto della divisione del polinomio dato per il binomio x-2a
è 0. Dal fatto che questo resto è uguale a zero, si può dire anche
che il polinomio dato è divisibile esattamente per x-2a.
Dal risultato trovato in precedenza A(c)=R,
si deduce un notevole teorema. Infatti, supponendo dapprima che il
polinomio A(x) sia divisibile per x-c, si ha che il resto della
divisione di A(x) per x-c è zero, cioè R=0 e quindi
A(c)=0, cioè il polinomio A(x) si deve annullare per x=c.
Quindi: se un polinomio è divisibile per x-c, esso si annulla per x=c.
Viceversa, supposto che il polinomio A(x) valga zero per x=c, cioè A(c)=0, dall'uguaglianza A(c)=R,
si ricava R=0, cioè è zero il resto della divisione di
A(X) per x-c, e quindi A(x) è divisibile per x-c.
Quindi: se un polinomio si annulla per x=c, allora esso è divisibile per x-c.
TEOREMA DI RUFFINI - Un polinomio A(x) è divisibile esattamente per il binomio x-c, solo quando si annulla per x=c.
REGOLA DI RUFFINI
La
regola di Ruffini permette di calcolare il quoziente della divisione
senza eseguire materialmente la stessa divisione con il procedimento
noto. Per vedere come ciò sia possibile, è preferibile
dapprima ragionare su un esempio concreto eseguendo la seguente
divisione:
(3x4-5x3-8x2-7x-6):(x-2), si ha:
Quindi: Q(x)=3x3+x2-6x-19, R=-44. Si osservano ora il polinomio dividendo ed il polinomio quoziente trovato: 3x4-5x3-8x2-7x-6, 3x3+x2-6x-19, si riconosce che:
1)-il grado del quoziente è di una unità inferiore a quello del divisore. E ciò è già noto.
2)-il
coefficiente del primo termine del quoziente è uguale al
coefficiente del primo termine del dividendo; il secondo coefficiente
del quoziente si ottiene moltiplicando il termine noto, cambiato di
segno, del divisore, cioè 2, per il primo coefficiente del
quoziente, ed aggiungendo al prodotto il secondo coefficiente del
dividendo. Infatti, si ha: 2x3-5=1.
Il
terzo coefficiente del quoziente si ottiene moltiplicando sempre il
numero 2 per il secondo coefficiente del quoziente e aggiungendo al
prodotto il terzo coefficiente del dividendo. Infatti: 2x1-8=-6.
Il quarto coefficiente del quoziente si
ottiene moltiplicando il numero 2 per il terzo coefficiente
del quoziente e aggiungendo al prodotto il quarto coefficiente del
dividendo. Infatti: 2x(-6)-7=-19.
Infine,
il resto si ottiene moltiplicando il numero 2 per il quarto
coefficiente del quoziente ed aggiungendo al prodotto il quinto
coefficiente del dividendo. Infatti: 2x(-19)-6=-44.
Queste
osservazioni conducono, in pratica, a disporre il calcolo dei
coefficienti del quoziente ed il resto, secondo il seguente prospetto:
Come
si vede, nella prima riga si scrivono tutti i coefficienti del
dividendo, da quello di grado più alto a quello di grado
più basso, ordinatamente secondo gradi decrescenti di una
unità, della variabile; nella seconda riga, separato da un
tratto verticale, si scrive il termine noto del divisore, cambiato di
segno. Il primo termine della terza riga è il primo della prima,
gli altri si ottengono dai corrispondenti termini della prima riga
secondo la regola vista. Così facendo, tutti i
termini della terza riga sono coefficienti del quoziente, escluso
l'ultimo, che si separa dagli altri con un tratto verticale, che
è il resto. Nell'esempio proposto il quoziente è
dunque:
3x3+x2-6x-19,
ed il resto è -44. La regola trovata in tale caso particolare
è valida in generale; quindi la si può enunciare come
segue:
-quando si divide un polinomio A(x), ordinato secondo le
potenze decrescenti della x, per il binomio x-c, allora il
quoziente Q(x) ha il primo coefficiente uguale al primo coefficiente
del dividendo A(x). Ciascuno dei successivi coefficienti di Q(x), si
ottiene moltiplicando per c il coefficiente precedente del quoziente,
ed aggiungendo al prodotto il coefficiente di A(x) che occupa lo stesso
posto. Il resto R si ottiene moltiplicando per c l'ultimo
coefficiente di Q(x) e aggiungendo al prodotto l'ultimo coefficiente di
A(x).
Esempi:
1)-dividere il polinomio 3x4-2x3+x2-5x+1 per il binomio x-3.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
Pertanto, risulta Q(x)=3x3+7x2+22x+61, R=184.
Osservazione:
se il dividendo non è un polinomio completo, nella prima riga,
si mette lo zero al posto dei coefficienti dei termini mancanti.
2)-dividere il polinomio 2x5-7x2+8 per il binomio x-1/2.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
Pertanto, risulta Q(x)=2x4+x3+(1/2)x2-(27/4)x-27/8, R=101/16.
3)-dividere il polinomio x4-3x2+2x-1 per il binomio x+2.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
Pertanto, risulta Q(x)=x3-2x2+x, R=-1.
Divisibilità di binomi notevoli
Come applicazione del teorema di Ruffini, si possono dimostrare i seguenti teoremi:
TEOREMA
1) - La differenza di due potenze di egual esponente
positivo è sempre divisibile per la differenza delle basi.
Si vuole quindi dimostrare che la differenza xn-an, quale che sia l'intero positivo n, è sempre divisibile per x-a. A tale scopo, si osservi innanzi tutto che xn-an è, rispetto alla x un polinomio di grado n; perciò, posto A(x)=xn-an,
per dimostrare che A(x) è divisibile per x-a, applicando il
teorema di Ruffini, basta vedere che il polinomio A(x) assume il
valore 0 quando al posto della lettera x si mette il numero a. Si ha:
A(0)=an-an=0, e ciò dimostra il teorema. Con la regola di Ruffini si può poi determinare il quoziente della divisione xn-an per x-a.
Casi particolari:
1)-dividere x3-a3 per x-a.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
Pertanto, risulta Q(x)=x2+ax+a2, R=0 e quindi si può scrivere: x3-a3=(x-a)(x2+ax+a2). 2)-dividere x4-a4 per x-a.
Applicando la regola di Ruffini, si ha:
Pertanto, risulta Q(x)=x3+ax2+a2x+a3, R=0 e quindi si può scrivere: x4-a4=(x-a)(x3+ax2+a2x+a3).
In generale, si trova che il quoziente di xn-an per x-a, è: xn-1+axn-2+a2xn-3+....+an-2x+an-1,
cioè è un polinomio omogeneo completo di grado n-1,
ordinato secondo le potenze decrescenti della prima base e crescenti
della seconda, con tutti i coefficienti uguali a 1. Si ha così
l'uguaglianza: xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a2xn-3+....+an-2x+an-1).
TEOREMA
2) - La differenza di due potenze di egual esponente
positivo è divisibile per la somma delle basi, solo
quando l'esponente è pari.
Si vuole quindi dimostrare che la differenza xn-an è divisibile per x+a quando n è pari. Infatti, posto A(x)=xn-an,
per vedere se A(x) è divisibile per x+a, si deve, in base alla
regola di Ruffini, calcolare A(-a), cioè il valore che il
polinomio A(x) assume per x=-a. Se si trova che A(-a) vale zero, allora
si può affermare che A(x) è divisibile per x+a, in caso
contrario non lo è.
Si trova: A(-a)=(-a)n-an. Si distinguono due casi:
1°)-n pari. In tal caso, si ha: (-a)n=an, e quindi A(-a)=an-an=0, e perciò xn-an è divisibile per x+a.
2°)-n dispari. In tal caso, si ha: (-a)n=-an, e quindi A(-a)=-an-an=-2an, e perciò A(-a) è diverso da zero e ciò vuol direr che xn-an, in questo caso, non è divisibile per x+a. Con ciò è dimostrato il teorema.
TEOREMA 3) - La somma di due potenze di
egual esponente positivo è divisibile per la somma delle basi, solo
quando l'esponente è dispari.
Si vuole quindi dimostrare che la somma xn+an è divisibile per x+a, solo quando il numero n è dispari. Infatti, posto A(x)=xn+an, si ha A(-a)=(-a)n+an. Si distinguono due casi:
1°)-n dispari. In tal caso, essendo (-a)n=-an, si ha: A(-a)=0, e quindi, per il teorema di Ruffini, si conclude che xn+an è divisibile per x+a.
2°)-n pari. In tal caso, essendo (-a)n=an, si ha: A(-a)=an+an=2an, e quindi, essendo A(-a)≠0, xn+an, non è divisibile per x+a. Come caso particolare, si divide x3+a3 per x+a; si ha:
e quindi si può scrivere: x3+a3=(x+a)(x2-ax+a2).
TEOREMA 4) - La somma di due potenze di
egual esponente positivo non è mai divisibile per la differenza delle basi.
Si tratta di dimostrare che xn+an non è mai divisibile per x-a. Infatti, posto A(x)=xn+an, si ha: A(a)=an+an=2an, ed essendo A(a)≠0, ciò prova che xn+an non è divisibile per x-a.