MIKY & GENNY

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI ---> INDICE

In algebra, la scomposizione di un polinomio in un prodotto di due o più polinomi è un'operazione di massima importanza. Si premettono le seguenti definizioni:

1)-un polinomio, in una o più variabili, di grado maggiore di zero, si dice irriducibile quando esso non si può scomporre nel prodotto di due polinomi di grado minore.
Un polinomio irriducibile si chiama anche polinomio primo, per analogia con i numeri interi.
Dalla definizione data, segue che: ogni polinomio di primo grado è irriducibile.

2)-un polinomio si dice riducibile se si può scomporre nel prodotto di due o più polinomi di grado minore.

Nota bene
Se è assegnato un polinomio in una o più variabili, non si può decidere in generale se esso è riducibile o no, nemmeno nel caso semplicissimo di un polinomio di secondo grado, e da ciò segue che, nel caso di un polinomio riducibile, non si può stabilire un procedimento che permette di scomporre il polinomio in un prodotto di polinomi irriducibili. Pertanto in seguito saranno indicati alcuni artifici, che in alcuni casi semplici e speciali, consentono di scomporre un polinomio in un prodotto di due o più polinomi.

Raccoglimento di fattori comuni
Il caso più semplice è quello di un polinomio i cui termini sono tutti divisibili per un dato monomio, che non sia di grado zero, cioè un numero diverso da zero, perchè un polinomio è sempre divisibile per ogni numero diverso da zero. In tal caso, il polinomio si può scrivere come prodotto del monomio considerato, per il polinomio che si ottiene da quello assegnato, dividendo tutti i suoi termini per il monomio considerato, e ciò per la proprietà inversa della proprietà distributiva della moltiplicazione. In tal caso, conviene prendere il M. C. D. fra i termini del polinomio. Tale procedimento di scomposizione si chiama raccoglimento a fattori comuni.
Esempio: scomporre in prodotto il polinomio 4a3b2-6a2bc+12a5b3x.
In tal caso, per M. C. D. fra i termini del polinomio, conviene prendere 2a2b, comune ad essi.
Quindi: 4a3b2-6a2bc+12a5b3x=2a2b(2ab-3c+6a3b2x), tenendo presente che il secondo fattore del prodotto è stato ottenuto dividendo ogni termine del polinomio dato per il monomio che si è raccolto a fattore comune.

Nota bene
Il procedimento indicato si può anche applicare quando i termini del polinomio dato hanno in comune uno o più fattori polinomiali. In tal caso, il polinomio viene scomposto nel prodotto di due o più polinomi.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il polinomio a2(x+y)-5b(x+y)+7(x+y).
In questo polinomio si può raccogliere a fattore comune x+y, ottenendo: a2(x+y)-5b(x+y)+7(x+y)=(x+y)(a2-5b+7).

2)-scomporre in prodotto il polinomio (a+b)2-8b(a+b)+3a(a+b).
In questo polinomio si può raccogliere a fattore comune a+b, ottenendo:
(a+b)2-8b(a+b)+3a(a+b)=(a+b)(a+b-8b+3a)=(a+b)(4a-7b), dopo aver ridotto i termini simili del polinomio.

3)-scomporre in prodotto il polinomio 3a2b3(x2+y2)-12a3b(x2+y2)+15a4b2(x2+y2).
In questo polinomio si può raccogliere a fattore comune 3a2b(x2+y2), ottenendo:
3a2b3(x2+y2)-12a3b(x2+y2)+15a4b2(x2+y2)=3a2b(x2+y2)=(b2-4a+5a2b).

4)-scomporre in prodotto il polinomio (5a+2b)2(3a+b)-(5a+2b)2(a-2b)+(5a+2b)3.
In questo polinomio si può raccogliere a fattore comune (5a+2b)2, ottenendo:
(5a+2b)2(3a+b)-(5a+2b)2(a-2b)+(5a+2b)2=(5a+2b)2(3a+b-a+2b+5a+2b)=(5a+2b)2(7a+5b).

Raccoglimenti successivi di fattori comuni
Se i termini del polinomio dato non sono tutti divisibili per uno stesso monomio, cioè sono primi fra loro, allora il polinomio non si può trasformare in prodotto con il metodo visto in precedenza. Però, pur avendo il polinomio termini primi fra loro, può darsi che esso si possa considerare come somma di due o più polinomi parziali, scomponibili ognuno secondo il metodo precedente, in un prodotto di un monomio per un polinomio. Se poi il fattore polinomiale è lo stesso nei due o più polinomi parziali, si può raccioglierlo a fattore comune, si viene in tal modo a scomporre il polinomio dato in un prodotto.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il polinomio ax+ay+bx+by.
I termini di questo polinomio sono primi fra loro, però fra i primi due si può raccogliere a fattore comune a, e fra gli ultimi due b, ottenendo: ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y), che è un polinomio di due termini aventi ciascuno il fattore polinomiale x+y. E' possibile quindi applicare il metodo precedente e raccogliere a fattore comune x+y. Essendo a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b), risulta:
ax+ay+bx+by=(x+y)(a+b).

2)-scomporre in prodotto il polinomio 4a2+3a-20ab-15b.
Dai primi due termini si può raccogliere a fattore comune a e dagli ultimi due -5b, si ha:
4a2+3a-20ab-15b=a(4a+3)-5b(4a+3)=(4a+3)(a-5b).

3)-scomporre in prodotto il polinomio 6x2y-6x2-y+1.
Dai primi due termini si può raccogliere a fattore comune 6x2 e dagli ultimi due -1, si ha:
6x2y-6x2-y+1=6x2(y-1)-(y-1)=(y-1)(6x2-1).

4)-scomporre in prodotto il polinomio 2a2x+9b2y+6b2x-a3-3ab2+3a2y.
Dal primo, dal quarto e dal sesto termine si può raccogliere a fattore comune a2 e dagli altri due 3b2, si ha:
2a2x+9b2y+6b2x-a3-3ab2+3a2y=a2(2x-a+3y)+3b2(3y+2x-a)=(2x-a+3y)=(a2+3b2).

Scomposizione di polinomi in fattori mediante le regole sui prodotti notevoli
Spesso i prodotti notevoli permettono di scrivere un polinomio sotto forma di prodotto.

1° caso - Trinomio quadrato di un binomio.
Un trinomio della forma a2+2ab+b2 oppure a2-2ab+b2, si trasforma in un prodotto con le formule a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2; si ha  quindi la seguente regola:
-un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi aumentata, o diminuita del loro doppio prodotto, è uguale al quadrato della somma, o rispettivamente della differenza, dei due monomi.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il trinomio 4a2+12ab+9b2.
Siccome si può scrivere 4a2+12ab+9b2=(2a)2+2(2a)(3b)+(3b)2, si vede che il trinomio è il quadrato della somma dei due monomi 2a e 3b. Si ha quindi: 4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2.

2)-scomporre in prodotto il trinomio 4a6x2+4a3b2xy5+b4y10. Si ha: 4a6x2+4a3b2xy5+b4y10=(2a3x)2+2(2a3x)(b2y5)+(b2y5)2=(2a3x+b2y5)2.

2° caso - Quadrinomio cubo di un binomio
Un polinomio di quattro termini della forma a3+3a2b+3ab2+b3 oppure a3-3a2b+3ab2-b3, si trasforma in un prodotto con le formule a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3, a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3; si ha  quindi la seguente regola:
-se in un quadrinomio due termini sono cubi di due monomi e gli altri due termini sono rispettivamente il triplo prodotto del quadrato della base del primo cubo per la base del secondo, ed il triplo prodotto della base del primo cubo per il quadrato del secondo, il quadrinomio è il cubo di un binomio.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il quadrinomio 27x3+54x2y+36xy2+8y3. Si ha: 27x3+54x2y+36xy2+8y3=(3x)3+3(3x)2(2y)+3(3x)(2y)2+(2y)3=(3x+2y)3.

2)-scomporre in prodotto il quadrinomio 8a3+12a2+6a+1. Si ha:
8a3+12a2+6a+1=(2a+1)3.

3)-scomporre in prodotto il quadrinomio a3-15a2b+75ab2+125b3. Si ha: a3-15a2b+75ab2+125b3=(a-5b)3.

3° caso - Differenza di due quadrati
E' noto che (a+b)(a-b)=a2-b2, ossia a2-b2=(a+b)(a-b), si ha pertanto la seguente regola:
-la differenza di due quadrati è uguale al prodotto della somma delle basi per la loro differenza.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il binomio 9x2-4y2.
Poichè 9x2=(3x)2e 4y2=(2y)2, si vede che il binomio dato è la differenza di due quadrati, le cui basi sono 3x e 2y, si ha quindi: 9x2-4y2=(3x+2y)(3x-2y).

2)-scomporre in prodotto la seguente differenza (2x+3y)2-49z2.
Anche in tal caso ci troviamo di fronte ad una differenza di due uadrati, le cui basi sono(2x+3y) e 7z, si ha allora: (2x+3y)2-49z2=(2x+3y+7z)(2x+3y-7z).

3)-scomporre in prodotto il polinomio 4x2-4xy+y2-9a2-b2-6ab.
Questo polinomio si può scrivere sotto la forma (4x2-4xy+y2)-(9a2+b2+6ab)=(2x-y)2-(3a+b)2. Si ha quindi la differenza di due quadrati, le cui basi sono rispettivamente (2x-y) e (3a+b). Pertanto si ha: (2x-y)2-(3a+b)2=(2x-y+3a+b)(2x-y-3a-b).

4° caso - Differenza di due cubi
E' noto che a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2), si ha pertanto la seguente regola:
-la differenza di due cubi è uguale al prodotto della differenza delle basi moltiplicata per il trinomio formato dal quadrato della prima base, più il prodotto delle due basi, più il quadrato della seconda base.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il binomio 8x3-27b3.
Avendosi 8x3-27b3=(2a)3-(3b)3, si vede che si ha la differenza di due cubi, le cui basi sono rispettivamente 2a e 3b. In base alla regola enunciata, si può scrivere: 8x3-27b3=(2a-3b)[(2a)2+(2a)(3b)+(3b)2]=(2a-3b)(4a2+6ab+9b2).

2)-scomporre in prodotto il binomio (2a+b)3-1. Si ha: (2a+b)3-1=(2a+b-1)[(2a+b)2+(2a+b)+1]=(2a+b-1)(4a2+4ab+b2+2a+b+1).

3)-scomporre in prodotto il binomio (x-1)3-(2-x)3. Si ha: (x-1)3-(2-x)3=(x-1-2+x)[(x-1)2+(x-1)(2-x)+(2-x)2]=(2x-3)(x2-2x+1+2x-x2-2+x+4-4x+x2)=
(2x-3)(x2-3x+3).

5° caso - Somma di due cubi
E' noto che a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), si ha pertanto la seguente regola:
-la somma di due cubi è uguale al prodotto della somma delle basi moltiplicata per il trinomio formato dal quadrato della prima base, meno il prodotto delle due basi, più il quadrato della seconda base.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il binomio 125a6+8b3c3. Si ha: 125a6+8b3c3=(5a2)3+(2bc)3=(5a2+2bc)(25a4-10a2bc+4b2c2).

2)-scomporre in prodotto il binomio (2a+b)3+64a3. Si ha: (2a+b)3+64a3=(2a+b)3+(4a)3=(2a+b+4a)[(2a+b)2-4a(2a+b)+4a)2]=
=(6a+b)(4a2+4ab+b2-8a2-4ab+16a2)=(6a+b)(12a2+b2).

Scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado
Si considera il polinomio di secondo grado in x: x2+(a+b)x+ab, con a e b numeri relativi.
Le particolarità di questo polinomio sono le seguenti:
1)-il coefficiente della x2 è l'unità;
2)-il secondo coefficiente è la somma di due numeri il cui prodotto è uguale al terzo termine.
Si vuole dimostrare che un polinomio di questo tipo si può scomporre in un prodotto di due polinomi di primo grado. Infatti, si ha: x2+(a+b)x+ab=x2+ax+bx+ab=x(x+a)+b(x+a)=(x+a)(x+b).
In generale, affinchè un polinomio di secondo grado in una variabile, avente il coefficiente del termine di secondo grado uguale all'unità, si possa trasformare in un prodotto con la regola precedente, bisogna che il coefficiente del termine di primo grado si possa scomporre nella somma di due numeri, il cui prodotto sia uguale al terzo termine.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il polinomio x2-5x+6.
Per poter applicare la regola precedente, bisogna vedere se esistono due numeri la cui somma valga -5 ed il prodotto +6. Questi numeri esistono e sono: -3 e -2, allora si ha: x2-5x+6=x2-3x-2x+6=x(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x-2).

2)-scomporre in prodotto il polinomio a2-7a+10.
I due numeri che hanno per somma -7 e per prodotto +10 sono -5 e -2, pertanto si ha: a2-7a+10=a2-5a-2a+10=a(a-5)-2(a-5)=(a-5)(a-2).

3)-scomporre in prodotto il polinomio x2+9ax+14a2.
I due numeri che hanno per somma 9a e per prodotto 14a2 sono 2a e 7a, pertanto si ha: x2+9ax+14a2=x2+7ax+2ax+14a2=x(x+7a)+2a(x+7a)=(x+7a)(x+2a).

Nota bene
Se nel polinomio di secondo grado il coefficiente della variabile al quadrato non è uno, si cercherà allora di vedere se esistono due numeri, la cui somma sia uguale al coefficiente del termine di primo grado, ed il prodotto sia uguale al prodotto del coefficiente del termine di secondo grado per il termine noto.
Esempi:
1)-scomporre in prodotto il polinomio 4x2-11x+7.
I due numeri che hanno per somma -11 e per prodotto 4x7=28, sono -4 e -7, pertanto si ha: 4x2-11x+7=4x2-4x-7x+7=4x(x-1)-7(x-1)=(x-1)(4x-7).

2)-scomporre in prodotto il polinomio 3x2+13ax+14a2.
I due numeri che hanno per somma 13a e per prodotto 3x14a2=42a2, sono 6a e 7a, pertanto si ha: 3x2+13ax+14a2=3x2+6ax+7ax+14a2=3x(x+2a)+7a(x+2a)=(x+2a)(3x+7a).

3)-scomporre in prodotto il polinomio 5a2+2ba-16b2.
I due numeri che hanno per somma 2b e per prodotto 10bx(-8)b=-80b2, sono 10b e 8b, pertanto si ha: 5a2+2ba-16b2=5a2+10ba-8ba-16b2=5a(a+2b)-8b(a+2b)=(a+2b)(5a-2b).

Spesso si riesce a trasformare un polinomio in un prodotto applicando successivamente alcuni dei procedimenti indicati in precedenza.
Esempi:
1) 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.
2) x5-xy4=x(x4-y4)=x(x2+y2)(x2-y2)=x(x2+y2)(x+y)(x-y).
3) 3ax2-5a+x2+2x+1=5a(x2-1)+(x2+2x+1)=5a(x+1)(x-1)+(x+1)2=(x+1)[5a(x-1)+x+1]=
=(x+1)(5ax-5a+x+1).
4) a2+b2+ax+by-bx-by=(a+b)(a-b)+x(a-b)+y(a-b)=(a-b)(a+b+x+y).
5) 5x5y-15x4y+10x3y=5x3y(x2-3x+2)=5x3y(x2-2x-x+2)=5x3y[(x(x-2)-(x-2)]=5x3y(x-2)(x-1).

Osservazioni importanti sul M. C. D. e m. c. m. di due o più polinomi
Spesso si parla di M. C. D. e m. c. m. di due o più polinomi e non si discute la questione in modo approfondito, pertanto è necessario fare qualche osservazione per evitare equivoci e non commettere errori. Siano assegnati due polinomi, indicati brevemente con A e B e si supponga d'averli scomposti in qualche modo in un prodotto di due o più polinomi irriducibili. Si considera ora il polinomio C, formato dal prodotto dei fattori comuni ai due polinomi A e B, presi una sola volta e con il minimo esponente. Evidentemente il polinomio C è un divisore comune dei polinomi dati, ed anzi è un polinomio di grado massimo fra tutti i polinomi che sono divisori comuni di quelli assegnati. E' naturale chiamare il polinomio C, M. C. D. dei polinomi A e B. Analogamente il polinomio D, formato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni ai due polinomi A e B, presi ciascuno una sola volta e con il massimo esponente, è naturale chiamarlo m. c. m. dei polinomi A e B. Ciò premesso, non si sa però, eccezion fatta per i casi semplici, scomporre i polinomi A e B, in fattore irriducibili, e non si può decidere se A e B sono scomponibili.
Quindi, tranne in casi banali, seguendo questa via, non si riuscirà a trovare il M. C. D. e m. c. m. di due o più polinomi. Non solo, ma anche quando in qualche modo si riesce a trovare un polinomio divisore comune di A e B, non si può assolutamente sapere, almeno in generale, se è questo, oppure no, il M. C. D. di A e B. Ci si deve accontentare, se non si vogliono fare affermazioni errate, di dire semplicemente che esso è un divisore comune dei due polinomi dati. La stessa cosa si può dire per il m. c. m., quando si trova un polinomio divisibile sia per A che per B. Di seguito si riporta un semplice esempio di due polinomi in una sola variabile.
Trovare il m. c. m. dei seguenti due polinomi:
A(x)=2x5+7x4-3x3-9x2-6x+1, B(x)=x5+x3-x2-2x-2.
Non sapendo scomporre in fattori i due polinomi, si sarebbe costretti a dire che il m. c. m. è dato dal prodotto dei due polinomi dati. Ebbene, questa osservazione è falsa. Infatti, con considerazioni non note, si dimostra e si può scrivere: A(x)=(2x2+7x-1)(x3-x-1), B(x)=(x3-x-1)(x2+2), dove i singoli fattori sono polinomi irriducibili.
Pertanto, il m. c. m. cercato è: (2x2+7x-1)(x3-x-1)(x2+2).
Concludendo, non si deve parlare mai di M. C. D. di più polinomi, ma semplicemente di divisore comune a più polinomi. Analogamente, non si deve parlare mai di m. c. m. di più polinomi, ma semplicemente di multiplo comune a più polinomi; in tal modo non saranno dette cose inesatte. Si osserva inoltre che nelle frazioni, quando si dovrà trovare un multiplo comune del denominatore, si dovrà, allo scopo di semplificare i calcoli, cercare di determinare il multiplo più semplice possibile, in relazione alle cognizioni finora apprese. La scomposizione dei polinomi in fattori, permetterà, in molti casi, di calcolare un comune divisore o un comune multiplo di due o più polinomi. Infatti, supponendo d'essere riusciti a scomporre i polinomi dati in fattori, anche se in generale non si riuscirà a sapere se questi fattori sono polinomi riducibili o irriducibili, evidentemente si avrà che:
-un comune divisore dei polinomi considerati è dato dal prodotto di tutti e soli i fattori comuni ai polinomi dati, preso ciascuno di essi una sola volta e con il minore esponente con cui figura nei polinomi stessi;
-un comune multiplo è dato invece dal prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni ai polinomi dati, preso ciascuno di essi una sola volta e con il maggiore esponente con cui figura nei polinomi dati.
Esempi:
1)-trovare un divisore comune ed un multiplo comune dei seguenti polinomi: 2x3+4x2y+2xy2; 4x3y+4x2y2; 2x5y2-2x3y4.
Scomponendo i tre polinomi, si ha: 2x3+4x2y+2xy2=2x(x2+2xy+y2)=2x(x+y)2; 4x3y+4x2y2=4x2y(x+y); 2x5y2-2x3y4=2x3y2(x2-y2)=2x3y2(x+y)(x-y).
Un divisore comune dei polinomi considerati è: 2x(x+y), mentre un multiplo comune è: 4x2y2(x+y)2(x-y).

2)-trovare un divisore comune ed un multiplo comune dei seguenti polinomi: x3y+x2+xy2+x2y2+xy+y3; 2x6+y4+xy3+2x5y.
Scomponendo i due polinomi, si ha: x3y+x2+xy2+x2y2+xy+y3=x(x2y+x+y2)+y(x2y+x+y2)=(x2y+x+y2)(x+y);
2x6+y4+xy3+2x5y=2x5(x+y)+y3(y+x)=(x+y)(2x5+y3).
Un divisore comune dei polinomi considerati è: (x+y), mentre un multiplo comune è: (x+y)(x2y+x+y2)(2x5+y3).