MIKY & GENNY
SUCCESSIONI ---> INDICE
Generalità sulle successioni
Si è detto che un insieme ha potenza del numerabile, ossia è numerabile, quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i suoi elementi ed i numeri interi.
Un insieme numerabile, pertanto, si deve considerare ordinabile, nel senso che, per effetto della suddetta corrispondenza, è possibile dire qual è il primo, il secondo, ... l'ennesimo ... elemento. Lo si indica con
a1, a2, a3, ... an ...
e lo si chiama successione.
Si è detto che un insieme ha potenza del numerabile, ossia è numerabile, quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i suoi elementi ed i numeri interi.
Un insieme numerabile, pertanto, si deve considerare ordinabile, nel senso che, per effetto della suddetta corrispondenza, è possibile dire qual è il primo, il secondo, ... l'ennesimo ... elemento. Lo si indica con
e lo si chiama successione.
a1, a2, a3, ... an ...
si chiamano termini della successione; an termine generale.
Una successione, per brevità, può essere indicata col solo suo termine generale, intendendo con ciò che al suo indice devono attribuirsi ordinatamente e successivamente tutti i numeri della serie naturale e si scrive: {an} o solo an.
Quando è possibile assegnare una legge di formazione dei termini di una successione mediante una formula, in cui compare il numero n, e rappresentante il termine nmo, ossia di posto n, tutti gli altri termini della successione si ottengono da quelli della formula sostituendo, come si è detto, ad n successivamente ed ordinatamente tutti i numeri della serie naturale, a meno che non sia da scartarne qualcuno, o perchè faccia perdere di significato l'espressione, o per ammesse altre ipotesi.
Pertanto, si deve considerare:
{an} =a1, a2, a3, ... an ...
Esempi di successioni e rappresentazione
La serie naturale dei numeri è una successione:
Riportati i termini delle successioni su una retta, mediante un prefissato sistema di coordinate ascisse, si hanno, in corrispondenza, le seguenti rappresentazioni:
Viceversa, si ha:
ottenuti per n = 1, 2, 3, ...
ottenuti per n = 2, 3, ..., in quanto n = 1 fa perdere di significato alla 9).
ottenuti per n = 1, 2, 3, ...
Tipi di successioni
Dagli esempi fatti, si vede quanto diverso possa essere il comportamento di una successione da quello di un'altra.
a)-E' opportuno ancora precisare che una successione si dice:
-crescente, quando
a1 < a2 < a3 < ... < an < ...
-non crescente, quando
-decrescente, quando
a1 > a2 > a3 > ... > an > ...
-non decrescente, quando
a1≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ ...
Le successioni crescenti, non crescenti, decrescenti e non decrescenti si dicono monotone.
b)-Una successione a1, a2, a3, ... an ... avente il 1° termine, ma non l'ultimo, si dice illimitata a destra.
In seguito si considereranno sempre successioni illimitate a destra e, per brevità, si diranno solamente illimitate.
c)-Essendo il numero dei termini di una successione sempre infinito, e poichè l'indice n indica il posto occupato dal termine corrispondente ad esso, ossia il 1° posto, il 2°, il 3°, ... l'nmo, è da considerare un numero ordinale e non cardinale e pertanto darà sempre
, cioè n tendente ad infinito, intendendo con ciò, senza equivoci, 
.
d)-Non si confonda il fatto che la successione sia illimitata a destra con la crescenza o decrescenza della funzione.
Gli esempi forniti fanno vedere chiaramente come tutte le successioni considerate erano illimitate a destra, ma fra esse vi erano quelle crescenti, quelle decrescenti e, infine quelle nè crescenti, nè decrescenti, definite oscillanti.
si chiamano termini della successione; an termine generale.
Una successione, per brevità, può essere indicata col solo suo termine generale, intendendo con ciò che al suo indice devono attribuirsi ordinatamente e successivamente tutti i numeri della serie naturale e si scrive: {an} o solo an.
Quando è possibile assegnare una legge di formazione dei termini di una successione mediante una formula, in cui compare il numero n, e rappresentante il termine nmo, ossia di posto n, tutti gli altri termini della successione si ottengono da quelli della formula sostituendo, come si è detto, ad n successivamente ed ordinatamente tutti i numeri della serie naturale, a meno che non sia da scartarne qualcuno, o perchè faccia perdere di significato l'espressione, o per ammesse altre ipotesi.
Pertanto, si deve considerare:
Esempi di successioni e rappresentazione
La serie naturale dei numeri è una successione:
Riportati i termini delle successioni su una retta, mediante un prefissato sistema di coordinate ascisse, si hanno, in corrispondenza, le seguenti rappresentazioni:
Viceversa, si ha:
ottenuti per n = 1, 2, 3, ...
ottenuti per n = 2, 3, ..., in quanto n = 1 fa perdere di significato alla 9).
ottenuti per n = 1, 2, 3, ...
Tipi di successioni
Dagli esempi fatti, si vede quanto diverso possa essere il comportamento di una successione da quello di un'altra.
a)-E' opportuno ancora precisare che una successione si dice:
-crescente, quando
-non crescente, quando
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an ≥ ...
-decrescente, quando
-non decrescente, quando
Le successioni crescenti, non crescenti, decrescenti e non decrescenti si dicono monotone.
b)-Una successione a1, a2, a3, ... an ... avente il 1° termine, ma non l'ultimo, si dice illimitata a destra.
In seguito si considereranno sempre successioni illimitate a destra e, per brevità, si diranno solamente illimitate.
c)-Essendo il numero dei termini di una successione sempre infinito, e poichè l'indice n indica il posto occupato dal termine corrispondente ad esso, ossia il 1° posto, il 2°, il 3°, ... l'nmo, è da considerare un numero ordinale e non cardinale e pertanto darà sempre
, cioè n tendente ad infinito, intendendo con ciò, senza equivoci, .d)-Non si confonda il fatto che la successione sia illimitata a destra con la crescenza o decrescenza della funzione.
Gli esempi forniti fanno vedere chiaramente come tutte le successioni considerate erano illimitate a destra, ma fra esse vi erano quelle crescenti, quelle decrescenti e, infine quelle nè crescenti, nè decrescenti, definite oscillanti.