MIKY & GENNY

ELEMENTI PARTICOLARI DEGL'INSIEMI ---> INDICE

1)-Il più grande elemento di un insieme
Sia (E, ≤) un insieme ordinato e si consideri un elemento aE; si dice che a è il più grande elemento di E per la relazione d'ordine ≤, se si verifica che

xE : x ≤ a.

Se esiste questo elemento a, esso è unico.

Infatti, supponendo che esistano a' ed a'', entrambi i più grandi elementi di E, relativamente ad a' ed a'' rispettivamente si ha:

(1) a'E    xE : x ≤ a',
(2) a''E   xE : x ≤ a''.

Poichè (1) e (2) valgono xE, data l'arbitrarietà di x, nella (1) si può sostituire a'' al posto di x e nella (2) a' al posto di x ottenendo:

a'' ≤ a'  a' ≤ a''  a' = a'',

per l'assioma RO-2) di relazione d'ordine.
2)-Il più piccolo elemento di un insieme
Sia (E, ≤) un insieme ordinato e si consideri un elemento aE; si dice che a è il più piccolo elemento di E per la relazione d'ordine ≤, se si verifica che

xE : a ≤ x .

Se esiste questo elemento a, esso è unico.

Infatti, supponendo che esistano a' ed a'', entrambi i più piccoli elementi di E, relativamente ad a' ed a'' rispettivamente si ha:

(1) a'E    xE : a' ≤ x,
(2) a''E   xE : a'' ≤ x.

Poichè (1) e (2) valgono xE, data l'arbitrarietà di x, nella (1) si può sostituire a'' al posto di x e nella (2) a' al posto di x ottenendo:

a' ≤ a''  a'' ≤ a'  a' = a'',

per l'assioma RO-2) di relazione d'ordine.

Nota bene
1)-Se esistono il più piccolo elemento ed il più grande elemento di un insieme per la relazione d'ordine ≤, chiamati rispettivamente a'' ed a'', risulta:

a' ≤ a''.

2)-Chiaramente, a prende il nome di più grande elemento di E per ≤, in quanto si può avere un'ulteriore relazione d'ordine ≤' per la quale il più grande elemento non è lo stesso del più grande elemento per ≤.
3)-Analogamente, a si dice il più piccolo elemento di E per ≤, in quanto si può avere un'ulteriore relazione d'ordine ≤' per la quale il più piccolo elemento non è lo stesso del più piccolo elemento per ≤.

4)-Se A è una parte di E e se

aA  xA : x ≤_A a,

in cui

x ≤_A a  x ≤ a,

si dice che a è il più grande elemento di A per ≤; lo stesso ragionamento è valido per il più piccolo elemento di A per ≤.

3)-Maggiorante di una parte di un insieme - parte di un insieme maggiorata
Si consideri una parte A dell'insieme E, non vuota: si dice che aE è maggiorante di A se

bA : b ≤ a.

Se esiste almeno un maggiorante, la parte A si dice maggiorata.

4)-Minorante di una parte di un insieme - parte di un insieme minorata
Si consideri una parte A dell'insieme E, non vuota: si dice che aE è minorante di A se

bA : a ≤ b.

Se esiste almeno un minorante, la parte A si dice minorata.

Nota bene
Si consideri una parte A dell'insieme E, non vuota, e la relazione ≤_A; si afferma che

(x ≤_A y)  (x, y)A X A,  (x ≤ y),

cioè si vuole dimostrare che

1) (x ≤_A y) (y ≤_A z) x ≤_A z,

2) (x ≤_A y)   (y ≤_A x) x = y.

Dimostrazione 1).

(x ≤_A y) (y ≤_A z)  (x, y)A X A,  (x ≤ y)   (y, z)A X A, (y ≤ z)  (x, z)A X A,  (x ≤ z)
x ≤_A z.

Dimostrazione 2).

(x ≤_A y)   (y ≤_A x)  (x, y)A X A,  (x ≤ y)  (y, x)A X A,  (y ≤ x)  x = y.

Se (A, ≤_A) è un insieme ordinato ed aA, le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

1) a è il più piccolo elemento per ≤_A,
2) aA xA : x ≤_A a.

5)-Estremo superiore
Si consideri una parte A dell'insieme E, non vuota: si chiama estremo superiore di A, se esiste, il più piccolo dei maggioranti.

Se s è maggiorante di A, ossia

bA : b ≤ s,

affinchè s sia estremo superiore di A, cioè

s = sup(A),

devono verificarsi le seguenti due condizioni:

1) l'insieme dei maggioranti è non vuoto,

2) se t è un ulteriore maggiorante risulta s ≤ t.

Nel caso in cui l'insieme A si riduce agli elementi x ed y, cioè

se esiste l'estremo superiore, esso si indica con

sup(x, y) = x v y.

5)-Estremo inferiore
Si consideri una parte A dell'insieme E, non vuota: si chiama estremo inferiore di A, se esiste, il più grande dei minoranti.

Se s è minorante di A, ossia

bA : s ≤ b,

affinchè s sia estremo ineriore di A, cioè

s = inf(A),

devono verificarsi le seguenti due condizioni:

1) l'insieme dei minoranti è non vuoto,

2) se t è un ulteriore minorante risulta t ≤ s.
Nel caso in cui l'insieme A si riduce agli elementi x ed y, cioè

se esiste l'estremo inferiore, esso si indica con

inf(x, y) = x v y.

Nota bene
Ovviamente risulta che

inf(A) ≤ sup(A).

Se A è una parte finita e non vuota dell'insieme E, totalmente ordinato dalla relazione ≤, ed mE, le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

a) m = sup(A),

b) 1) xA : x ≤ m,  2) xE, x < m  aA  x < a.

Dimostrazione

a) b)

La a) esprime che m è il più piccolo dei maggioranti di A, per cui la 1) della b) è ovviamente vera.

Per dimostrare la 2) si ragiona per assurdo, cioè si suppone che

xE, x < m  aA : a ≤ x

e quindi x, come m, risulta un maggiorante di A; ma, essendo x < m, si ha un maggiorante di A più piccolo di m, e ciò è assurdo per ipotesi. Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto a ≤ x, si conclude che x < a.
b) a)
La 1) della b) esprime che m è un maggiorante di A, si deve dimostrare che m è il più piccolo dei maggioranti di A.
Sia m' un altro maggiorante di A, per cui risulti:

aA : a ≤ m',

si deve dimostrare che

m ≤ m'.

Ragionando per assurdo, si suppone che

m' < m,

e ciò contraddice l'ipotesi della 2) della b), poichè per essa si può asserire che

aA  m' < a.

Ma ciò non è possibile, poichè m' è un maggiorante di A. Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto m' ≤ m, si conclude che m ≤ m'. E' quindi dimostrato che m è il più piccolo dei maggioranti, e risulta m = sup(A).

In maniera del tutto analoga vale l'equivalenza delle seguenti due proposizioni:

a) m = inf(A),

b) 1) xA : m ≤ x,  2) xE, m < x  aA  a < x.

Relazioni di buon ordine
Si supponga che (E, ≤) sia un insieme ordinato; si dice che ≤ è una relazione di buon ordine sull'insieme E, quando ciascuna parte non vuota di E ha il più piccolo elemento per ≤, cioè:

Un insieme (E, ≤), in cui ≤ è una relazione di buon ordine, si chiama insieme ben ordinato.

Un esempio di insieme ben ordinato è dato dall'insieme dei numeri naturali (N, ≤).

Un esempio di insieme non ben ordinato è dato dall'insieme dei numeri reali.

Ovviamente, se (E, ≤) è un insieme ben ordinato, esso ha il più piccolo elemento per ≤; inoltre, se x ed y sono elementi di E, anche la parte formata dai soli elementi x ed y ha il più piccolo elemento per ≤, pertanto si può affermare che (E, ≤) è un insieme totalmente ordinato.
In generale non è vero il viceversa. Esempio tipico è (N, ≤).

Parte di un insieme ben ordinata
Una parte

è ben ordinata per ≤, quando la relazione ≤_A, indotta su A da ≤ è una relazione di buon ordine.
Si supponga che (E, ≤) sia un insieme ordinato; se una sua parte non vuota, ben ordinata per ≤, è dotata di estremo superiore, allora (E, ≤) si chiama insieme induttivo.