MIKY & GENNY

FUNZIONI E PROPRIETA' ---> INDICE

Si ricordano i seguenti concetti:
1)-Si chiama funzione, applicazione o trasformazione dell'insieme E nell'insieme F ogni applicazione f che abbia E come insieme di definizione ed F come insieme di variabilità, ed è indicata con

f : E F,

oppure con

f = (E, F, G),

in cui E, F e G sono, rispettivamente, l'insieme di definizione, l'insieme di variabilità ed il grafico, o la relazione funzionale dell'applicazione f.

2)-L'applicazione f : E F, dell'insieme E nell'insieme F, si dice surgettiva se f(E) = E, cioè:

(f surgettiva) (yF x E  f(x) = y).

3)-L'applicazione f : E F, dell'insieme E nell'insieme F, si dice ingettiva se

xE yE f(x) = f(y)  x = y,

cioè:

(f ingettiva) (xE yE f(x) = f(y)  x = y).

4)-L'applicazione f : E F, dell'insieme E nell'insieme F, si dice bigettiva se è surgettiva e ingettiva, cioè:

(f bigettiva) (f surgettiva    f ingettiva).

5)-Siano assegnate due applicazioni:

f : E F  e  g : F G.

A partire da esse, si è considerata una nuova applicazione chiamata applicazione composta di f e g, tra elementi di E ed elementi di G, indicata con

,

che si legge g cerchietto f.
Il valore che l'applicazione assume in x è il seguente:



Proprietà delle applicazioni composte
Se

f : E F,  g : F G  ed  h : G H

sono tre applicazioni, si dimostra che:


Infatti:


Se

f : E F

è un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F, considerate le bigezioni canoniche, rispettivamente, dell'insieme E e dell'insieme F, cioè
 
 iE : E E  xE: iE(x) = x  ed  iF : F F  xE: iF(x) = x,

si dimostra che:


Infatti:



Siano

f : E F,  g : F G

due applicazioni e si indichi con h l'applicazione composta di f e g, cioè,


si dimostra che:


Dimostrazione 3): si considera un elemento


Dimostrazione 4): si considera un elemento


Caratterizzazione delle applicazioni surgettive
1)-Sia

s : X Y

un'applicazione dell'insieme X nell'insieme Y, si dimostra che le seguenti tre proposizioni sono
equivalenti:



Cioè, si deve dimostrare che:

a) b) c) a).

Dimostrazione a) b).
Nell'ipotesi che s sia surgettiva, si deve dimostrare che

yY : f(y) = g(y).

Allo scopo, si consideri l'elemento yY, per la surgettività di s,

xX  s(x) = y,

quindi


Dimostrazione b) c).
E' immediata, in quanto essendo E un insieme qualsiasi, considerando nella b) E = Y, la c) è vera.

Dimostrazione c) a).
Nell'ipotesi che sia vera la c), si deve dimostrare che s è surgettiva.
Supponiamo per assurdo che s non sia surgettiva, cioè

s(X) ≠ Y,

il che significa che non vi sono elementi di Y che hanno corrispondenza in X, quindi ha senso considerare il


A tal punto si fissi l'attenzione su un arbitrario elemento


e su un elemento

y2s(X),

quindi

y1 ≠ y1

e si costruisca un'applicazione identica

f = iY : Y Y,

ed un'applicazione

g : Y Y

così definita:

yY, y ≠  y1 : g(y) = y  e y1Y : g(y1) = y2.

Per come sono state definite f e g, ovviamente

f  ≠ g.

Si dimostra ora che:


Allo scopo, basta dimostrare che le due applicazioni assumono lo stesso valore in x E:


quindi



Siccome per ipotesi è vera la c), risulta

f = g

e ciò è assurdo, in quanto nello stesso tempo f è uguale e diversa da g.
Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto f non surgettiva, si concludere che è tale.

2)-Siano assegnate le applicazioni f = (E, F, R) e g = (F, G S); per come sono state definite, è possibile considerare l'applicazione composta



Si dimostra che se f e g sono applicazioni surgettive, anche l'applicazione composta è surgettiva, cioè:



Per dimostrare ciò, basta far vedere che


Infatti:


In tale dimostrazione si è tenuto conto che


Infatti, poichè è noto che


si ha



3)-Si considerino le applicazioni

pr1 : E X F  E  (x, y)E X F : pr1(x, y) = x,

pr2: E X F  E  (x, y)E X F : pr2(x, y) = y.

Si dimostra che pr1 e pr2, prima proiezione e seconda proiezione sono applicazioni surgettive.

Per quanto concerne la prima proiezione, si deve dimostrare che

xE zE X F pr1(z) = x.

Infatti, considerato un elemento xE d un elemento yF, risulta (x, y)E X F,

quindi

pr1(x, y) = x.

Ponendo (x, y) = z, si ha:

pr1(z) = x.

Per la seconda proiezione la dimostrazione è analoga, cioè si deve dimostrare che:

xE zE X F pr2(z) = x.

Infatti, considerato un elemento xE d un elemento yF, risulta (x, y)E X F, quindi

pr2(x, y) = y.

Ponendo (x, y) = z, si ha:

pr2(z) = x.

Caratterizzazione delle applicazioni ingettive
1)-Sia

 s : X Y

un'applicazione dell'insieme X nell'insieme Y, si dimostra che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:



Cioè, si deve dimostrare che:

a) b) c) a),

dopo aver osservato che nella proposizione b) le applicazioni composte rispettivamente di s ed f e di s e g hanno E come insieme di partenza ed Y come insieme di arrivo, cioè


mentre nella c) le applicazioni composte rispettivamente di s ed f e di s e g hanno X come insieme di partenza ed Y come insieme di arrivo, cioè


Dimostrazione a) b).
Nell'ipotesi che s sia ingettiva, si deve dimostrare che

xE : f(x) = g(x).

Allo scopo, si consideri l'elemento xE, per l'ingettività di s, si ha:

s(f(x)) = s(g(x)) f(x) = g(x)  f = g.

Dimostrazione b) c).
E' immediata, in quanto essendo E un insieme qualsiasi, considerando nella b) X = E, la c) è vera.

Dimostrazione c) a).
Nell'ipotesi che sia vera la c), si deve dimostrare che s è ingettiva,

cioè

x1X,x2X, s(x1) = s(x2) x1 = x2.

Supponiamo per assurdo che s non lo sia, cioè

x1X,x2X, s(x1) = s(x2) x1 ≠ x2.

A tal punto si costruisca un'applicazione identica

f = iX : X X,

ed un'applicazione

g : X X

così definita:

xX, x ≠ x1, x ≠ x2, g(x) = x,

xX, x = x1, g(x) = x2,

xX, x = x2, g(x) = x1.

Per come sono state definite f e g, ovviamente

f  ≠ g.

Si dimostra ora che:
  

Allo scopo, basta dimostrare che le due applicazioni assumono lo stesso valore in x X, cioè:


Infatti, se  x = x1, si ha:


Se x = x2, si ha:


Se x ≠ x1, x ≠ x2, si ha:


Nei tre casi visti, si ha:



Siccome per ipotesi è vera la c), risulta
f = g

e ciò è assurdo, in quanto nello stesso tempo f è uguale e diversa da g.
Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto f non ingettiva, si conclude che è tale.

2)-Siano assegnate le applicazioni f = (E, F, R) e g (F, G S); per come sono state definite, è possibile considerare l'applicazione composta



Si dimostra che se f e g sono applicazioni ingettive, anche l'applicazione composta è ingettiva, cioè:



Per dimostrare ciò, basta far vedere che


Infatti, siccome


essendo



si ha:

g(f(x)) = g(f(x)).
Ponendo

f(x) = u1 ed f(y) = u2,

si ha:

g(u1) = g(u1) u1 = u2  f(x) = f(y)  x = y.

3)-Siano f = (E, F, R) un'applicazione di E in F di grafico R e g = (E, E X F, R') un'applicazione di E in E X F di grafico R', ove



Si dimostra che l'applicazione g è ingettiva, cioè che

xE yE  g(x) = g(y)  x = y.

Infatti,

g(x) = (x, f(x)), g(y) = (y, f(y)) (x, f(x)) = (y, f(y))  x = y.

4)-Si consideri la prima proiezione

pr1 : E X F  E  (x, y)E X F : pr1(x, y) = x,

si dimostra che la prima proiezione è ingettiva se l'insieme F si riduce ad un unico elemento, cioè:



Supponendo per ipotesi che pr1 sia ingettiva, si prendano due elementi y1F, y2F ed un elemento xE. Si considerano ora le coppie ordinate (x, y1) e (x, y2) e, siccome per ipotesi pr1 è ingettiva, si ha:

pr1(x, y1) = x e pr1(x, y2) = x  pr1(x, y1) = pr1(x, y2)  (x, y1) = (x, y2)  y1 = y2 = y0.

E' quindi dimostrato che l'insieme F è formato dall'unico elemento y0.

Viceversa, supponendo che  l'insieme F sia formato dall'unico elemento y0, la prima proiezione diventa



Si deve dimostrare che pr1 è ingettiva, cioè:


Infatti, presi

z1 = (x1, y0) e z2 = (x2 ,y0),

essendo

pr1(z1) = pr1(z2)  pr1(x1, y0) = pr1(x2, y0)  x1 = x2,
si ha

z1 = z2.

Definizione di applicazione invertibile
Sia f un'applicazione di E in F di grafico G, cioè

f = (E, F, G),

e se esiste la sua inversa, univocamente determinata, g = (F, E, G-1), che gode delle seguenti proprietà:

 

f si dice invertibile.

In altri termini:



Caratterizzazione delle applicazioni invertibili
Sia f un'applicazione di E in F di grafico R, cioè

f = (E, F, R),

e sia g = (F, E, R-1) la sua inversa; si dimostra che:


Dimostrazione 1)


Dimostrazione 2)


Caratterizzazione delle applicazioni bigettive
1)-Si dimostra che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:

a) f : E F è invertibile,
b) f è bigettiva,
c) G-1è una relazione funzionale fra elementi di F ed elementi di E.

Cioè, si deve dimostrare che:

a) b) c) a).

Dimostrazione a) b).
Nell'ipotesi che f sia invertibile, si deve dimostrare che è bigettiva.
Si dimostra prima che f è surgettiva, cioè che

yF  xE  f(x) = y.

Essendo f invertibile per ipotesi, si ha


Inoltre, posto

x = g(y),

si ha:

y = iF(y) = f(g(x)) = f(x).

Si dimostra ora che

(f ingettiva) (xE x'E f(x) = f(x')  x = x').

Allo scopo, si considerano i due elementi

xE, x'E  f(x) = f(x'),

si deve dimostrare che

x = x'.

Infatti, tenendo conto che f è invertibile, si ha:

x = iE(x) = g(f(x) = g(f(x') = iE(x')  x = x'.

Avendo dimostrato che f è surgettiva ed ingettiva, per definizione è bigettiva.

Dimostrazione b) c).
Per definizione è noto che:



Si deve dimostrare che G-1 è una relazione funzionale fra elementi di F ed elementi di E, cioè

yF : G-1≠

e si riduce ad un unico elemento.
Infatti, essendo per ipotesi bigettiva, per la sua surgettività

yF  xE  f(x) = y  (x, y)G  (y, x)G-1 xG-1(y)  G-1(y)≠.

Si dimostra ora che G-1 si riduce ad un solo elemento; pertanto se ne considerano due e si dimostra che essi coincidono.
Siano essi


Poichè

f(x1) = f(x2),

data l'ingettività di f, risulta

x1 = x2.

E' quindi dimostrato che G-1 è una relazione funzionale.

Prima di dimostrare che c) a), si osserva quanto segue:

si consideri una relazione G e la sua reciproca G-1.

Essendo

G E X F  e  G-1 F X E,

si possono considerare le relazioni composte



Si dimostra che:


Dimostrazione 1).
Si considera una coppia ordinata

(x, x)ΔE   xE

e quindi

G(x) ≠,

allora si può prendere un elemento


Dimostrazione 2).
Si considera una coppia ordinata

(x, x)ΔF   xF

e quindi

G-1(x)≠,

allora si può prendere un elemento


Dimostrazione 3).
Si considera una coppia ordinata



Dimostrazione 4).
Si considera una coppia ordinata


Dimostrazione c) a).
Per ipotesi G-1è una relazione funzionale fra elementi di F ed elementi di E, cioè


Si considera ora l'applicazione

g = (F, E, G-1)

e si dimostra che è l'inversa dell'applicazione f, cioè che


Infatti, siccome

iE = (E, E, ΔE),

affinchè risulti


dev'essere

e ciò è vero per 1) e 3) della premessa.
Infatti, siccome

iF = (F, F, ΔF),

affinchè risulti


dev'essere


e ciò è vero per 2) e 4) della premessa.

2)-Siano f' : E F ed f'' : F G applicazioni bigettive e si consideri l'applicazione composta : E G, anch'essa bigettiva, della quale l'applicazione inversa è l'applicazione composta  dell'applicazione g'' inversa di f'' e di g' inversa di f'; si deve dimostrare che:



Posto


e ricordando che


si ha:


Applicazione inversa di una bigezione
Siccome ad ogni applicazione bigettiva si può associare l'applicazione inversa, si dimostrano i seguenti due lemmi, che saranno d'ausilio alla dimostrazione dell'equivalenza di due proposizioni seguenti.

Lemma 1
Se f : E F è un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F, g' : F E e g'' : F E due applicazioni dell'insieme F nell'insieme E, iE ed iF le bigezioni canoniche di E in F, allora risulta:


e si ha

g' = g''.

Dimostrazione:



Lemma 2
Se f : E F è un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F e se esiste un'applicazione g : F E tale che


allora f è una bigezione di E in F, g è una bigezione di F in E e non esiste più di una bigezione di F in E che verifica le condizioni (1).

Dimostrazione
Sia yF e posto x = g(y), per la seconda delle condizioni (1), si ha:



Essendo xE, f risulta surgettiva; inoltre considerati

x'E, x''E e f(x') = f(x''),

per la prima delle condizioni (1), risulta:



Quindi f, oltre ad essere surgettiva, è anche ingettiva, cioè una bigezione di E in F.
Scambiando ora l'ufficio di f con quello di g, dalle (1) segue che g è una bigezione di F in E.
Infatti, sia xE e posto y = f(x), per la prima delle condizioni (1), si ha:


Essendo yF, g risulta surgettiva; inoltre considerati

y'E, y''E e g(y') = g(y''),

per la seconda delle condizioni (1), risulta:


Quindi g, oltre ad essere surgettiva, è anche ingettiva, cioè una bigezione di F in E e, per il Lemma 1 è unica.

Sia f : E F un'applicazione bigettiva dell'insieme E nell'insieme F; l'unica applicazione bigettiva g : F E, inversa di f, tale che



si chiama bigezione di f.
Quindi le applicazioni invertibili ammettono una ed una sola applicazione inversa.

Pertanto, si dimostra che le due seguemti proposizioni sono equivalenti:



Dimostrazione a) b).
Nell'ipotesi che f sia bigettiva, sia f = (E, F, G) l'applicazione di E in F avente grafico G.
Sia


Si stabilisce ora che

yF : G-1(y) = f-1(y).

Infatti,

xG-1(y)   (y, x)G-1 (x, y)G  xE, yG(x)  xE, y = f(x)  xf-1(y).

Poichè f è una bigezione, come è stato dimostrato, equivale a dire che G-1 è una relazione funzionale fra elementi di F ed elementi di E, quindi g = (F, E, G-1) è un'applicazione di F in E avente grafico G-1.

Si stabilisce ora che:


Infatti, sia xE e posto y = f(x), si ha:

(x, y)G (y, x)G-1 x = g(y),

da cui


Analogamente, sia yF e posto X = g(y), si ha:

(y, x)G-1 (x, y)G   y = f(x),

da cui



Avendo stabilito le due condizioni suddette, inoltre, per il Lemma 2 segue l'unicità e la bigettività di g, è dimostrato che a) b).

Dimostrazione b) a).
E' conseguenza del Lemma 2.

Ulteriori caratterizzazioni
1)-Si consideri l'applicazione

tx1x2 : E E,

in cui

x1E, x2E ed x1 ≠ x2,

così definita:

xE:

tx1x2(z) = z se z ≠ x1, z ≠ x2,

tx1x2(z) = x2 se z = x1,

tx1x2(z) = x1 se z = x2.

Si dimostra che tx1x2 è un'applicazione involutoria, cioè che tx1x2 deve avere se stessa per inversa. Esprimendo ciò simbolicamente, si deve dimostrare che:


Infatti,
se  z ≠ x1, z ≠ x2, si ha


se z = x1, si ha


se z = x2, si ha


E' stato quindi dimostrato che tx1x2 è un'applicazione involutoria e si chiama trasposizione relativa agli elementi x1 ed x2 dell'insieme E.
Sotto forma di terna ordinata tx1x2 = (E, E, Rx1x2) ed il grafico ad essa relativa è:



2)-Si supponga di avere i due insiemi prodotto EXF ed FXE e si considerino le applicazioni

tEXF : EXF FXE  (x, y)EXF: tEXF(x, y) = (y, x), cioè (y, x)FXE,

tFXE : FXE  EXF  (y, x)FXE: tFXE(y, x) = (x, y), cioè (x, y)EXF.

Si dimostra che tEXF è invertibile, cioè che


essendo



L'applicazione tEXF è quindi invertibile ed è chiamata applicazione trasposizione.

Se in particolare F = E, l'applicazione

tEXE : EXE EXE  (x, y)EXE:


è involutoria, bigettiva ed è permutazione di E in E. Quindi,

tEXETEXE

cioè

TE = EE.