IMMAGINI DIRETTE, RECIPROCHE E PROPRIETA' ---> INDICE
Immagini dirette
Sia f un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F, cioè
f : E
F
ed
Si chiama immagine diretta di X mediante f, e s'indica con f(X), quanto segue:
In altri termini
(y
f(X)) 
((yF) 
(
xX 
y = f(x)).
Cioè, al variare di x varia f(x) e quando x avrà percorso tutto l'insieme X, parte di E, f(x) avrà percorso una certa parte che rappresenta l'immagine diretta.
Proprietà
La proprietà 1) è vera per definizione.
Dimostrazione 2): si consideri yf(X), per definizione xX y = f(x). Essendo xX, e per ipotesi X 
Y, risulta xY per definizione di relazione d'inclusione. Però, quando xY y = f(x), risulta yf(Y). Quindi, essendo y comune ad f(X) ed f(Y), segue che
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3): per la proprietà 4) della riunione risulta
X X 
Y, Y X Y
e, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f(X) f(X Y), f(Y) f(X Y) f(X) f(Y) f(X Y),
per la proprietà 5) della riunione.
E' stato quindi dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1°; si dimostra ora il viceversa.
Allo scopo, si consideri
z'f(X Y) zX Y z' = f(z),
per definizione di immagine diretta.
Inoltre, siccome
zX Y 
zX v zY,
per definizione di riunione.
Se zX, per definizione di immagine diretta z' f(X) f(X Y) f f(X) f(X Y),
se zY, per definizione di immagine diretta z' f(Y) f(X Y) f(Y) f(X Y),
quindi
f(X Y) f(X) f(Y).
Avendo dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1° e che il 1° è contenuto nel 2°, risulta:
f(X Y) = f(X) f(Y),
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 4): per la proprietà 4') dell'intersezione risulta
X
Y X, X Y Y
e, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f(X Y) f(X), f(X Y) f(Y).
Pertanto, siccome f(X Y) è contenuto sia in f(X) che in f(Y, esso è contenuto nella loro intersezione, cioè:
come volevasi dimostrare.
6)-Estensione di un'applicazione alle parti di un insieme
Si è già visto, e si riporta in quanto fa parte di questa trattazione, che se
f : E F
è un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F ed
come è stato dimostrato, è una relazione funzionale, e l'applicazione
si chiama estensione di f alle parti di un insieme.
E' bene osservare che f(X)R(X) è il nuovo valore di X nella nuova applicazione e coincide proprio con f(X) dell'applicazione di partenza.
Immagini reciproche
Sia f un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F, cioè
f : E F
ed
Si chiama immagine reciproca di Y mediante f, e s'indica con f-1(Y), quanto segue:
In altri termini
(xf-1(Y)) ((xE) (f(x)Y).
Proprietà
La proprietà 1) è vera per definizione, però vi sono insiemi che pur essendo non vuoti hanno immagine reciproca vuota; in particolare hanno quegli elementi
f(x) Y f(E) = 
f-1(F) = .
Dimostrazione 2): si consideri xf-1(X), per definizione xE ed f(x)X.
Essendo
f(x)X Y f(x)Y xf-1(Y).
Quindi è dimostrato che:
f-1(X) f-1(Y).
Dimostrazione 3): per la proprietà 4) della riunione risulta
X X Y, Y X Y
e, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f-1(X) f-1(X Y), f-1(Y) f-1(X Y) f-1(X) f-1(Y) f-1(X Y),
per la proprietà 5) della riunione.E' stato quindi dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1°; si dimostra ora il viceversa.
Allo scopo, si consideri
Se f(x)X, risulta x f-1(X) f-1(X) f-1(Y),
se f(x)Y, risulta x f-1(Y) f-1(X) f-1(Y),
In entrambi i casi
xf-1(X) f-1(Y),
quindi
f-1(X Y) f-1(X) f-1(Y),
Avendo dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1° e che il 1° è contenuto nel 2°, risulta:
f-1(X Y) = f-1(X) f-1(Y).
Dimostrazione 4): per la proprietà 4') dell'intersezione risulta
X Y X, X Y Y
e, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f-1(X Y) f-1(X), f-1(X Y) f-1(Y).
Pertanto, siccome f-1(X Y) è contenuto sia in f-1(X) che in f-1(Y) è contenuto nella loro intersezione, cioè:
f-1(X Y) f-1(X) f-1(Y),
E' stato quindi dimostrato che il 1° membro è contenuto nel 2°; si dimostra ora il viceversa.
Allo scopo, si consideri un elemento arbitrario
z f-1(X) f-1(Y) f(z)X, f(z)Y f(z)X Y zf-1(X Y),
quindi
f-1(X) f-1(Y) f-1(X Y)
Avendo anche dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1°, si conclude che:
f-1(X Y) = f-1(X) f-1(Y),
come volevasi dimostrare.
Proprietà
Sia f un'applicazione dell'insieme E nell'insieme E', cioè
f : E E'.
si dimostra che:
Infatti, sia
Estensione reciproca di un'applicazione alle parti di un insieme
E' bene osservare che f-1(Y)R1(Y) è il nuovo valore di Y nella nuova applicazione e coincide proprio con f-1(Y) dell'applicazione di partenza.
Relazioni fra immagini dirette, reciproche, applicazioni surgettive, ingettive e bigettive
Sia
f : E E'
un'applicazione dell'insieme E nell'insieme E', si dimostrano le seguenti proprietà:
Dimostrazione 1): si consideri xX, per definizione di immagine reciproca f(x)f(X) e quindi x f-1(f(X)). Essendo x elemento comune ad X ed f-1(f(X)), si ha:
Dimostrazione 2): si consideri x'f(f-1(X')), per definizione di immagine diretta
xf-1(X') f(x) = x',
inoltre, essendo
xf-1(X'),
per definizione di immagine reciproca, si ha f(x)X', e poichè f(x) = x', risulta x'X'.Essendo x' elemento comune ad f(f-1(X')) ed X', si ha:
f(f-1(X')) X',
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3): per ipotesi f è surgettiva, cioè f(E) = E' e sia
x'X'
xE f(x) = x',
inoltre, per definizione di immagine reciproca, essendo
f(x)X' xf-1(X') f(x) = x',
cioè
x'f(f-1(X')),
per definizione di immagine diretta.Essendo x' elemento comune ad X' e ad f(f-1(X')), si ha:
X' f(f-1(X')).
E' stato così dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1°; si dimostra ora il viceversa, che il 1° membro è contenuto nel 2°, cioè:
f(f-1(X')) X'.
Ciò è vero per la proprietà 2) suddetta.
Ora, nell'ipotesi che
si dimostra che f è surgettiva.
Infatti, siccome
si ha anche
f(f-1(E')) = E',
ed essendo
f-1(E') = E,
si ha
f(E) = E',
cioè f è surgettiva, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 4): per ipotesi risulta
(f ingettiva) (
xE x'E f(x) = f(x') x = x').
Si considera ora un arbitrario elemento
xf-1(f(X)),
per definizione di immagine diretta
f(x)f(X),
siccome per l'ingettività
x'X f(x) = f(x') x = x',
si ha che
xX.
E' stato così dimostrato che
f-1(f(X)) X.
Si dimostra ora il viceversa, cioè che
X f-1(f(X)).
Ciò è vero per la proprietà 1) suddetta.
Ora, nell'ipotesi che
si dimostra che f è ingettiva.
Infatti, siccome
se xE ed x'E, si ha:
Se poi
f(x) = f(x'),
si ha:
x = x',
cioè f è ingettiva, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 5): è noto che risulta
(f bigettiva) (f ingettiva f surgettiva).
La dimostrazione è banale, in quanto si ottiene dalle proprietà 3) e 4).
Sia f un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F, cioè
f : E
Fed
Si chiama immagine diretta di X mediante f, e s'indica con f(X), quanto segue:
In altri termini
(y
f(X)) ((yF) ( xX y = f(x)).Cioè, al variare di x varia f(x) e quando x avrà percorso tutto l'insieme X, parte di E, f(x) avrà percorso una certa parte che rappresenta l'immagine diretta.
Proprietà
La proprietà 1) è vera per definizione.
Dimostrazione 2): si consideri y
f(X), per definizione xX y = f(x). Essendo xX, e per ipotesi X Y, risulta xY per definizione di relazione d'inclusione. Però, quando xY y = f(x), risulta yf(Y). Quindi, essendo y comune ad f(X) ed f(Y), segue che f(X) f(Y),
f(Y),come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3): per la proprietà 4) della riunione risulta
X
X Y, Y X Ye, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f(X)
f(X Y), f(Y) f(X Y) f(X) f(Y) f(X Y),per la proprietà 5) della riunione.
E' stato quindi dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1°; si dimostra ora il viceversa.
Allo scopo, si consideri
f(X Y) zX Y z' = f(z),per definizione di immagine diretta.
Inoltre, siccome
X Y zX v zY,per definizione di riunione.
Se z
X, per definizione di immagine diretta z' f(X) f(X Y) f f(X) f(X Y),se z
Y, per definizione di immagine diretta z' f(Y) f(X Y) f(Y) f(X Y),quindi
Y) f(X) f(Y).Avendo dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1° e che il 1° è contenuto nel 2°, risulta:
Y) = f(X) f(Y),come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 4): per la proprietà 4') dell'intersezione risulta
X
Y X, X Y Ye, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f(X
Y) f(X), f(X Y) f(Y).Pertanto, siccome f(X
Y) è contenuto sia in f(X) che in f(Y, esso è contenuto nella loro intersezione, cioè:f(X Y) f(X) f(Y),
Y) f(X) f(Y),come volevasi dimostrare.
6)-Estensione di un'applicazione alle parti di un insieme
Si è già visto, e si riporta in quanto fa parte di questa trattazione, che se
f : E
Fè un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F ed
come è stato dimostrato, è una relazione funzionale, e l'applicazione
si chiama estensione di f alle parti di un insieme.
Per definizione
E' bene osservare che f(X)
R(X) è il nuovo valore di X nella nuova applicazione e coincide proprio con f(X) dell'applicazione di partenza.Immagini reciproche
Sia f un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F, cioè
Fed
Si chiama immagine reciproca di Y mediante f, e s'indica con f-1(Y), quanto segue:
In altri termini
f-1(Y)) ((xE) (f(x)Y).Proprietà
La proprietà 1) è vera per definizione, però vi sono insiemi che pur essendo non vuoti hanno immagine reciproca vuota; in particolare hanno quegli elementi
Y f(E) = f-1(F) = .Dimostrazione 2): si consideri x
f-1(X), per definizione xE ed f(x)X.Essendo
f(x)
X Y f(x)Y xf-1(Y).Quindi è dimostrato che:
f-1(X)
f-1(Y).Dimostrazione 3): per la proprietà 4) della riunione risulta
X Y, Y X Ye, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f-1(X)
f-1(X Y), f-1(Y) f-1(X Y) f-1(X) f-1(Y) f-1(X Y),per la proprietà 5) della riunione.
Allo scopo, si consideri
xf-1(X Y) f(x)(X Y),
per definizione di immagine reciproca.
f-1(X Y) f(x)(X Y),per definizione di immagine reciproca.
Se f(x)
X, risulta x f-1(X) f-1(X) f-1(Y),se f(x)
Y, risulta x f-1(Y) f-1(X) f-1(Y),In entrambi i casi
x
f-1(X) f-1(Y),quindi
f-1(X
Y) f-1(X) f-1(Y),Avendo dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1° e che il 1° è contenuto nel 2°, risulta:
f-1(X
Y) = f-1(X) f-1(Y).Dimostrazione 4): per la proprietà 4') dell'intersezione risulta
X
Y X, X Y Ye, per la proprietà 2), dimostrata in precedenza, si ha:
f-1(X
Y) f-1(X), f-1(X Y) f-1(Y).Pertanto, siccome f-1(X
Y) è contenuto sia in f-1(X) che in f-1(Y) è contenuto nella loro intersezione, cioè:f-1(X
Y) f-1(X) f-1(Y),E' stato quindi dimostrato che il 1° membro è contenuto nel 2°; si dimostra ora il viceversa.
Allo scopo, si consideri un elemento arbitrario
z
f-1(X) f-1(Y) f(z)X, f(z)Y f(z)X Y zf-1(X Y),quindi
f-1(X)
f-1(Y) f-1(X Y)Avendo anche dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1°, si conclude che:
f-1(X
Y) = f-1(X) f-1(Y),come volevasi dimostrare.
Proprietà
Sia f un'applicazione dell'insieme E nell'insieme E', cioè
f : E
E'. si dimostra che:
Infatti, sia
Estensione reciproca di un'applicazione alle parti di un insieme
Si è già visto, e si riporta in quanto fa parte di questa trattazione, che se
f : E F
è un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F ed
come è stato dimostrato, è una relazione funzionale, e l'applicazione
si chiama estensione reciproca di f alle parti di un insieme.
f : E
Fè un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F ed
come è stato dimostrato, è una relazione funzionale, e l'applicazione
si chiama estensione reciproca di f alle parti di un insieme.
Per definizione
E' bene osservare che f-1(Y)
R1(Y) è il nuovo valore di Y nella nuova applicazione e coincide proprio con f-1(Y) dell'applicazione di partenza.Relazioni fra immagini dirette, reciproche, applicazioni surgettive, ingettive e bigettive
Sia
f : E
E'un'applicazione dell'insieme E nell'insieme E', si dimostrano le seguenti proprietà:
Dimostrazione 1): si consideri x
X, per definizione di immagine reciproca f(x)f(X) e quindi x f-1(f(X)). Essendo x elemento comune ad X ed f-1(f(X)), si ha:X f-1(f(X)),
f-1(f(X)),come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 2): si consideri x'
f(f-1(X')), per definizione di immagine diretta xf-1(X') f(x) = x',inoltre, essendo
f-1(X'),per definizione di immagine reciproca, si ha f(x)
X', e poichè f(x) = x', risulta x'X'.f(f-1(X'))
X',come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3): per ipotesi f è surgettiva, cioè f(E) = E' e sia
x'
X' xE f(x) = x',inoltre, per definizione di immagine reciproca, essendo
f(x)
X' xf-1(X') f(x) = x',cioè
f(f-1(X')),per definizione di immagine diretta.
X'
f(f-1(X')).E' stato così dimostrato che il 2° membro è contenuto nel 1°; si dimostra ora il viceversa, che il 1° membro è contenuto nel 2°, cioè:
f(f-1(X'))
X'.Ciò è vero per la proprietà 2) suddetta.
Ora, nell'ipotesi che
si dimostra che f è surgettiva.
Infatti, siccome
si ha anche
f(f-1(E')) = E',
ed essendo
f-1(E') = E,
si ha
f(E) = E',
cioè f è surgettiva, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 4): per ipotesi risulta
(f ingettiva)
(xE x'E f(x) = f(x') x = x').Si considera ora un arbitrario elemento
x
f-1(f(X)),per definizione di immagine diretta
f(X),siccome per l'ingettività
x'X f(x) = f(x') x = x',si ha che
x
X.E' stato così dimostrato che
f-1(f(X))
X.Si dimostra ora il viceversa, cioè che
X
f-1(f(X)).Ciò è vero per la proprietà 1) suddetta.
Ora, nell'ipotesi che
si dimostra che f è ingettiva.
Infatti, siccome
se x
E ed x'E, si ha:Se poi
f(x) = f(x'),
si ha:
cioè f è ingettiva, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 5): è noto che risulta
(f bigettiva)
(f ingettiva f surgettiva).La dimostrazione è banale, in quanto si ottiene dalle proprietà 3) e 4).