INSIEMI PARTICOLARI ---> INDICE
1)-Insieme reticolato
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤; se esso gode della seguente proprieta:
x
E, yE 
sup(x, y), inf(x, y),
si chiama insieme reticolato.
2)-Insieme completamente reticolato
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤; se esso gode della seguente proprieta:
allora A si dice insieme completamente reticolato.
3)-Insieme filtrante superiormente
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤:
E filtrante superiormente
xE, yE, zE 
x ≤ z, y ≤ z.
4)-Insieme filtrante inferiormente
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤:
E filtrante inferiormente xE, yE, zE z ≤ x, z ≤ y.
5)-Casistica degl'insiemi filtrantiEsistono i seguenti tipi d'insiemi filtranti:
-insiemi filtranti superiormente ed inferiormente;
-insiemi filtranti superiormente e non inferiormente;
-insiemi filtranti inferiormente e non superiormente;
-insiemi non filtranti superiormente ed inferiormente.
Si dimostra che:
E totalmente ordinato
E filtrante superiormente ed inferiormente.
Infatti, dire che E è un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤, significa che se
può verificarsi che
x ≤ y v y ≤ z.
Se x ≤ y, scelto z = y, si ha:
x ≤ z, y ≤ z E filtrante superiormente.
Se x ≤ y, scelto z = x, si ha:
z ≤ x, z ≤ y E filtrante inferiormente.
Se y ≤ z, scelto z = x, si ha:
y ≤ z, x ≤ z E filtrante superiormente.
Se y ≤ z, scelto z = y, si ha:
z ≤ x, z ≤ y E filtrante inferiormente.
Un insieme filtrante superiormente ed inferiormente non è detto che sia totalmente ordinato, in quanto non si sa se x ed y siano paragonabili.
Elementi massimali e minimali
mE, m massimale xE m ≤ x : x = m.
mE, m minimale xE x ≤ m : x = m.
E' chiaro che un insieme può non avere elemento massimale o minimale.
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤, si dimostra che:
E filtrante superiormente, m massimale di E m è il più grande elemento di E per ≤.
Allo scopo, basta dimostrare che:
xE : m ≤ x.
Infatti,
xE, mE, E filtrante inferiormente zE z ≤ m, z ≤ x.
Siccome però m è minimale,
z = m,
quindi
m ≤ x.
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤; se esso gode della seguente proprieta:
xE, yE sup(x, y), inf(x, y),si chiama insieme reticolato.
2)-Insieme completamente reticolato
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤; se esso gode della seguente proprieta:
allora A si dice insieme completamente reticolato.
3)-Insieme filtrante superiormente
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤:
E filtrante superiormente
xE, yE, zE x ≤ z, y ≤ z.4)-Insieme filtrante inferiormente
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤:
E filtrante inferiormente
xE, yE, zE z ≤ x, z ≤ y.5)-Casistica degl'insiemi filtranti
-insiemi filtranti superiormente ed inferiormente;
-insiemi filtranti superiormente e non inferiormente;
-insiemi filtranti inferiormente e non superiormente;
-insiemi non filtranti superiormente ed inferiormente.
Si dimostra che:
E totalmente ordinato
E filtrante superiormente ed inferiormente.Infatti, dire che E è un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤, significa che se
xE, yE,
E, yE,può verificarsi che
x ≤ y v y ≤ z.
Se x ≤ y, scelto z = y, si ha:
x ≤ z, y ≤ z
E filtrante superiormente.Se x ≤ y, scelto z = x, si ha:
z ≤ x, z ≤ y
E filtrante inferiormente.Se y ≤ z, scelto z = x, si ha:
y ≤ z, x ≤ z
E filtrante superiormente.Se y ≤ z, scelto z = y, si ha:
z ≤ x, z ≤ y
E filtrante inferiormente.Un insieme filtrante superiormente ed inferiormente non è detto che sia totalmente ordinato, in quanto non si sa se x ed y siano paragonabili.
Elementi massimali e minimali
m
E, m massimale xE m ≤ x : x = m.m
E, m minimale xE x ≤ m : x = m.E' chiaro che un insieme può non avere elemento massimale o minimale.
Sia E un insieme ordinato dalla relazione d'ordine ≤, si dimostra che:
E filtrante superiormente, m massimale di E
m è il più grande elemento di E per ≤.Allo scopo, basta dimostrare che:
xE : m ≤ x.Infatti,
x
E, mE, E filtrante inferiormente zE z ≤ m, z ≤ x.Siccome però m è minimale,
z = m,
quindi
m ≤ x.