MIKY & GENNY

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Insiemi, simboli, operatori logici e loro uso
Per rendere più concisa l'enunciazione di alcuni concetti e la dimostrazione dei vari teoremi, si usano i seguenti simboli logici, indicati con le rispettive denominazioni.
Se A e B sono due proposizioni, enunciati o affermazioni, con il simbolo

scritto alla sinistra di A, cioè con

si esprime che A non è vera e si legge "non A"; tale simbolo esprime negazione.

Con il simbolo

v

scritto tra A e B, cioè

A v B

si esprime che o è vera A oppure è vera B e si legge "o A oppure B"; tale simbolo esprime disgiunzione.

Con il simbolo

scritto tra A e B, cioè

si esprime che è vera A ed è vera B e si legge "A e B" oppure "sia A che B"; tale simbolo esprime congiunzione.
Ovviamente se e solo se((A) v (B)).

Con il simbolo

scritto tra A e B, cioè

A  B

si esprime che se è vera A, allora è vera B e si legge "A implica B".

Con il simbolo

scritto tra A e B, cioè

si esprime che A è vera se e soltanto se è vera B e si legge "A equivale B".
Ovviamente se e solo se (A  B) (B A).

Oggetti di studio della "Teoria degl'insiemi" sono le entità che comunemente vengono chiamate insiemi, formati da elementi.
Un insieme è assegnato quando un criterio permette di riconoscere gli elementi che lo costituiscono.
Gl'insiemi ed i loro elementi vengono indicati, rispettivamente, con lettere maiuscole e minuscole.

Se E è un insieme, si indica che l'oggetto x è elemento di E scrivendo

e si legge "x è elemento di E", o più brevemente "x elemento di E"; il simbolo

esprime appartenenza.

Se si indica che l'oggetto x non è elemento di E, si scrive

e si legge "x non è elemento di E"; il simbolo

esprime non appartenenza.

Se A e B sono oggetti prefissati, si scrive che:

A = B

se A e B simboleggiano lo stesso oggetto;

A ≠ B

se A e B non simboleggiano lo stesso oggetto.

Se A e B sono insiemi, scrivere:

A = B

equivale a scrivere

(xA) (xB).

Ovviamente scrivere

equivale a

cioè x non è elemento di A.

In una proposizione

xA,

il simbolo

esprime che "esiste un elemento x di A", si chiama quantificatore esistenziale e si legge "esiste un".

In una proposizione

xA,

il simbolo

esprime "per ogni elemento x di A", si chiama quantificatore universale e si legge "per ogni".

Se P è una proprietà attribuibile a qualche elemento dell'insieme A, e con P(x) si indica che la proprietà è vera per l'elemento x di A, la proposizione

xA  P(x)

esprime che "esiste un elemento x appartenente ad A, tale che la proprietà P sia vera per x".
Pertanto il simbolo

si legge "tale che".

La proposizione

 xA : P(x)

esprime che "per ogni elemento x appartenente ad A, risulta che la proprietà P è vera per x".
Pertanto il simbolo

:

si legge "risulta".

Relazione d'inclusione
Fondamentale è la relazione d'inclusione fra gli'insiemi.
Se A e B sono due insiemi, si dice che A è contenuto in B, e si scrive

A B,

se ogni elemento di A risulta elemento di B.
In altri termini, si scrive A B se e solo se

xA : xB

o, equivalentemente, se

xA  xB.

Si dice invece che A non è contenuto in B, e si scrive

xA : x B

o, equivalentemente, se

xA  x B.

Si dice infine che A e B sono uguali, quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B e viceversa, cioè se

(A B) (B A) A B.

Proprietà
Se A, B e C sono tre insiemi, valgono le seguenti proprietà.
1) Riflessiva: A A, cioè tutti gli elementi di A sono contenuti in A.
2) Transitiva: (A B) (B C) A C, cioè se aA aB aC, quindi A C.
3) Antisimmetrica: (A B) (B A)  A = B, cioè se ogni elemento di A è elemento di B e ogni elemento di B è elemento di A, A e B sono uguali.

Sottoinsiemi o insiemi delle parti di un insieme
Se E è un insieme, ogni altro insieme A tale che A E si dice sottoinsieme, o più comunemente parte di E.
Nella teoria degl'insiemi è fondamentale quanto segue:
-se E è un insieme, esiste un ulteriore insieme che è sempre indicato con

che si legge bi gotica di E, i cui elementi sono tutte e sole le parti dell'insieme E.
Ovviamente, una parte privilegiata di E è l'insieme E medesimo, cioè

Altra parte privilegiata dell'insieme E è quella priva di elementi, chiamata la parte vuota ed indicata con

cioè

Si può descrivere la parte vuota di E mediante un criterio che permette di riconoscere gli elementi che la costituiscono; si può affermare che  è l'insieme degli elementi

xE  x≠x.

Di conseguenza, la parte vuota di un insieme non differisce dalla parte vuota di un qualsiasi altro insieme: ciò giustifica l'adozione dell'unico simbolo  per la parte vuota di ogni insieme.

Insiemi ridotti ad un solo elemento
Se x è un qualsiasi oggetto, esiste un insieme indicato con

e chiamato insieme ridotto al solo elemento x, caratterizzato dal fatto che per un qualsiasi oggetto y, la condizione

è verificata se e solo se x=y, cioè se x e y simboleggiano lo stesso oggetto.
Ovviamente, per ogni coppia di oggetti x e y:

Se E è un insieme, in conformità a quanto detto,

o equivalentemente