MIKY & GENNY

NUMERI INTERI NATURALI E PROPRIETA' ---> INDICE

Si chiamano numeri interi naturali i numeri interi cardinali finiti.
Tali interi naturali costituiscono un insieme che è indicato con  e su tale insieme si possono effettuare le operazioni di addizione e di moltiplicazione.

Addizione
L'addizione è un'applicazione

che gode della seguente proprietà: ad ogni

Proprietà dell'addizione

Si dimostra facilmente che: se X ed Y sono insiemi finiti e disgiunti, cioè X  Y =  e Z = X Y, detti

x = card(X), y = card(Y), z = card(Z)  z = x + y.

Moltiplicazione
La moltiplicazione è un'applicazione

che gode della seguente proprietà: ad ogni

(x, y) X  x·y = xy.

Proprietà della moltiplicazione

x = card(X), y = card(Y), z = card(Z)  z = x·y.

Si dimostra facilmente che: se X ed Y sono insiemi finiti, detti

x = card(X), y = card(Y), z = card(Z)  z = x·y.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

Per la commutatività della moltiplicazione risulta anche:

(y + z)·x = (y·x) + (z·x).

Se X ed Y sono insiemi finiti, si dimostra che anche X x Y, insieme delle coppie ordinate (x, y) è un insieme finito.
Si osserva quindi che:

x = card(X), y = card(Y), z = card(XxY)  z = x·y.

Relazione d'ordine sui numeri interi naturali
Sull'insieme dei numeri interi naturali, si può introdurre una relazione d'ordine per cui, presi

Infatti, presi

Inoltre, si dice che x è strettamente minore di y, se e solo se

(x < y)  (x ≤ y, x ≠ y).

Analogamente, si dice che y è strettamente minore di x, se e solo se

(y < x)  (y ≤ x, y ≠ x).

Secondo Cantor, l'insieme dei numeri interi naturali è infinito; esso gode delle seguenti tre proprietà:

Sull'insieme , si stabilisce anche una relazione d'ordine naturale, legata all'addizione ed alla moltiplicazione:

Un insieme E si dice numerabile se è equipotente ad E; essendo infinito, anche E sarà infinito.
Un insieme E si dice ancora numerabile se esiste una bigezione

φ :   E,

la cui applicazione inversa è

ψ : E  .

Si chiama inoltre successione di elementi dell'insieme E ogni famiglia di elementi di E avente come insieme degl'indici , e si indica con

Si osserva ora che, considerati

l'ordine per cui risulta x ≤ y è un buon ordine per cui:

Principio di induzione completa
Supposto che

s'introduce il principio di induzione completa, per il quale

Infatti, ragionando per assurdo e considerando pertanto

allora esisterà un insieme

Applicando (*), si può asserire che

bB  xB : b ≤ x,

cioè che b è il più piccolo elemento di B ed inoltre b ≠ 0, perchè altrimenti si avrebbe 0B, e ciò non può essere, poichè 0A di cui B è il complementare. Quindi b = n + 1. Si asserisce ora che nA; infatti, se così non fosse, si avrebbe

e quindi

n < b ≤ n,

per cui necessariamente nA, ed anche b = (n + 1)A, ed ancora bAB, e ciò è assurdo, derivato dall'aver supposto

e quindi

Supposto che

il principio di induzione completa si può porre sotto la seguente forma:

 

Nota bene
Se c = 0, il caso II) è vero per il caso I).

Si consideri ora una proprietà P attribuibile ai numeri interi naturali, si ha che:

Si dimostra la III) applicando la I), infatti, considerando

basterà dimostrare che

Sapendo che:

1) 0A, poichè P(0),

2) nA (n + 1)A, poichè P(n) P(n + 1),

poichè con ciò sono verificate le ipotesi della I), sarà vera anche la tesi, cioè

In base alle proprietà suddette, si può asserire che, considerata una proprietà P:

o anche

Si vuole quindi dimostrare che, se

è vero anche che

Infatti, partendo dall'insieme A degli elementi che verificano la proprietà P, una volta affermato che P(n) c ≤ n, allora si ricade nelle tre ipotesi della II); ciò implica che A è uguale all'insieme degli elementi che verificano la proprietà c ≤ n.

Successioni
Sia E un insieme, si chiama successione di elementi dell'insieme E, la famiglia di elementi di tale insieme avente come insieme degl'indici. Tale famiglia si indica con

ed è tale che ad ogni n  x_n.

In altri termini, per definizione si ha:

Si consideri ora un'ulteriore successione:

allora si dirà che le applicazioni (1) e (2) sono uguali se

Si consideri ora la successione crescente:

tale che, fissati

la successione

che ad ogni

e di conseguenza l'applicazione

  E

prende il nome di successione estratta dalla (1) secondo i termini della (3), o anche sottosuccessione della (1) mediante la (3). In altri termini, la (4) è la composta delle applicazioni (3) e (1), e ciò ha senso perchè parlare di applicazioni o di successioni è la stessa cosa.
Si osserva infine che, se

è una famiglia, x_i si chiama elemento iotaesimo della famiglia, anche quando

Sia E un insieme e si consideri la successione di elementi dell'insieme E, cioè la famiglia di elementi di tale insieme avente come insieme degl'indici, indicata con

tale che ad ogni n  x_n.

In altri termini, per definizione si ha:

Si consideri ora l'insieme I_n dei primi n numeri naturali: 1, 2, 3, ..., n, cioè

Si consideri inoltre la successione finita

se

A tal punto si consideri una famiglia finita di elementi di un insieme (E, ≤), cioè:

In generale, non è detto che l'insieme dei suoi elementi abbia estremo superiore o inferiore, ma quando ciò accade li si indica con

sup(x_1, x₂, x₃, ..., x_n),  inf(x_1, x₂, x₃, ..., x_n).

Nel caso in cui E sia totalmente ordinato, si ha che l'estremo superiore e l'estremo inferiore coincidono con il più grande e con il più piccolo elemento.

Nel caso in cui si considera la famiglia

cosa si può dire del più grande e del più piccolo elemento, e quindi dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore?

Allo scopo, si dimostra il seguente teorema delle parti finite di un insieme.

Sia A una parte finita e non vuota dell'insieme E, dotato della relazione di total ordine; si dimostra che A ha il più piccolo ed il più grande elemento.

Infatti, indicato con n il numero cardinale degli elementi di A, cioè

n = card(A),

per induzione completa si dimostra che A ha il più piccolo ed il più grande elemento.

Chiaramente:
-se n = 1, A ha il più piccolo ed il più grande elemento costituito dall'unico elemento 1;
-se n ≥ 1, A ha il più piccolo ed il più grande elemento.
Si dimostra che, considerata un'altra parte finita di E,

tale che sia n + 1 il numero cardinale dei suoi elementi, cioè

n + 1 = card(B),

anch'essa ha il più grande elemento.

Si consideri bB e sia

Siccome A ha n elementi, A ha il più grande elemento indicato con a.
Si osserva ora che a e b appartendono entrambi a B e quindi ad E; inoltre, siccome E è un insieme totalmente ordinato, a e b costituiscono una coppia non ordinata

Tale insieme ha il più grande elemento indicato con m ed anche il più grande elemento di B.
Infatti, considerato un ulteriore elemento xB, si considerano due casi:

1) x ≠ b xA  x ≤ a ≤ m x ≤ m.

2) x = b xA x = b ≤ m x ≤ m.

Quindi, quale che sia la x considerata in B, essa risulta sempre minore o uguale a m, e ciò significa che B ha il più grande elemento. Analogamente, si dimostra che B ha il più piccolo elemento.