RELAZIONI DI EQUIVALENZA ---> INDICE
Si
chiama relazione di equivalenza su un insieme E, ogni relazione R su E assoggettata ai seguenti tre assiomi:
RE-1) (x, y)
R 
(y, z)R 
(x, z)R, proprietà transitiva;
RE-2) (x, y)R (y, x)R, proprietà simmetrica;
RE-3)
xE : (x, x)R, proprietà riflessiva.
Ricordando che la coppia (x, y)R si può scrivere xRy, equivalentemente si ha:
RE-1) xRy yRz xRz, proprietà transitiva;
RE-2) xRy yRx, proprietà simmetrica;
RE-3)xE : xRx, proprietà riflessiva.
Ed ancora, scrivendo x≡y(modR) al posto di (x, y)R, si ha:
RE-1) x≡y(modR) y≡z(modR) x≡z(modR), proprietà transitiva;
RE-2) x≡y(modR) y≡x(modR), proprietà simmetrica;
RE-3)xE : x≡x(modR), proprietà riflessiva.
La forma x≡y(modR) si legge "x equivalente o congruo y modulo R".
Esempio di relazione di equivalenza
Si consideri l'applicazione
f : E
E'
e, se con Rf si indica l'insieme delle coppie ordinate (x, y)E X E 
f(x) = f(y), cioè
si dimostra che Rf è una relazione di equivalenza definita dall'applicazione f, pertanto Rf deve verificare gli assiomi RE-1), RE-2) ed RE-3).
Dimostrazione RE-1).
Per come è stato definito Rf, si ha:
(x, y)R (y, z)R f(x) = f(y) f(y) = f(z) f(x) = f(z) (x, z)R.
Dimostrazione RE-2).
Per come è stato definito Rf, si ha:
(x, y)R f(x) = f(y) f(y) = f(x) (y, x)R.
Dimostrazione RE-3).
Per come è stato definito Rf, si ha:
(x, x)R f(x) = f(x),
e ciò è sempre vero.
Esempio
Assegnati un insieme E e la relazione R su E, per caso esistono un insieme E' ed un'applicazione f : E E' tale che l'ulteriore relazione d'equivalenza Rf, definita da f, sia uguale a quella di partenza? Cioè:
E', f : E E' Rf = R?
Prima di verificare ciò, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a) x≡y(modR),
b) R(x) = R(y).
a) b)
x≡y(modR) (x, y)R,
si deve dimostrare che R(x) = R(y), cioè che R(x)
R(y) e R(y) R(x).
Infatti, considerato un qualsiasi elemento
zR(x) (x, z)R,
ed essendo
(x, y)R (y, x)R,
si ha:
(y, z)R zR(y),
quindi
R(x) R(y).
Viceversa, si consideri un qualsiasi elemento
zR(y) (y, z)R,
ed essendo
(x, y)R,
si ha:
(x, z)R zR(x),
quindi
R(y) R(x).
b) a)
Si consideri l'applicazione
così definita:
xE : f(x) = R(x),
si dimostra che
Rf = R,
cioè che
Rf R ed R Rf.
Infatti, si ha:
(x, y) Rf 
f(x) = f(y) R(x) = R(y) 
(x, z)R,
per l'equivalenza delle due proposizioni suddette. Poichè è valida l'implicazione nei due sensi, si conclude che:
Rf R ed R Rf,
cioè
Rf = R.
Si consideri l'applicazione surgettiva
f : E E',
cioè
Si costruisce ora l'applicazione f* : E f(E) così definita:
xE : f*(x) = f(x)f(E).
Le proprietà dell'applicazione f*, detta ridotta dell'applicazione f, sono le seguenti:
1) f* è surgettiva,
2) Rf = Rf*,
3) f = jf(E) ο f*.
Dimostrazione 1).
Si deve dimostrare che
f*(E) = f(E).
Infatti,
xE : f*(x) = f(x).
Dimostrazione 2).
Si consideri
(x, y)Rf (x, y)E X E f(x) = f(y) f*(x) = f*(y) (x, y) Rf*.
Dimostrazione 3).
Si ha:
xE jf(E) ο f*(x) = jf(E)(f*(x)) = jf(E)(f(x)) = f(x).
Ponendo
f(E) = E/R
ed indicando con
φ : E E/R,
l'applicazione di E in E/R è detta surgezione canonica, e l'insieme E/R è detto insieme quoziente.
La surgezione canonica gode di due proprietà:
1) φ è surgettiva,
2) Rφ = R.
Dimostrazione 1).
Deriva dalla surgettività di f* di cui sopra.
Dimostrazione 2).
Si ha:
Rφ = Rf* = Rf = R.
Si esamina ora il significato dell'insieme quoziente:
La nozione di equivalenza permette di introdurre il concetto di applicazione indotta.
Siano
f : E E', s : E Q, s' : E' Q',
ci si chiede se esiste un'applicazione
f* : Q Q' f* ο s = s' ο f,
o equivalentemente che il seguente diagramma sia commutativo:
In generale non si sa se esista una tale applicazione, ed ammesso che esista, sia unica.
Nel caso in cui s ed s' siano surgettive, cioè se
s(E) = Q, s'(E') = Q',
se esiste f* essa è unica ed è definita indotta da f per s ed s'.
Si dimostra prima che se s è un'applicazione surgettiva, cioè s : E Q, e se f e g sono le applicazioni di Q nell'insieme E', cioè
f : Q E', g : Q E',
allora
f ο s = g ο s f = g.
Dimostrazione
Si consideri un elemento
qQ, essendo s(E) = Q, qs(E) xE q = s(x).
Da ciò segue che
f(q) = f(s(x)) = f ο s(x) = g ο s(x) = g(s(x)) = g(q),
come volevasi dimostrare.
Si dimostra ora che se per caso s ed s' sono surgettive, ed esiste f*, essa è unica.
Se per caso esistessero due f*, cioè f*1 e f*2, risulterebbe:
f*1 ο s = s' ο f f*2 ο s = s' ο f f*1 ο s = f*2 ο s f*1 = f*2.
Per quanto concerne l'esistenza dell'applicazione indotta, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a)f*: Q Q' f* ο s = s' ο f,
b)xE, yE x≡y(modRs) f(x)≡f(y)(modRs').
Si ricorda che
a) b)
Si consideri
(x, y)Rs s(x) = s(y) f*(s(x)) = f*(s(y)) f* ο s(x) = f* ο s(y) s' ο f(x) = s' ο f(y) s'(f(x)) = s'(f(y)) (f(x), f(y))Rs'.
b) a)
Sia Gf* la parte del prodotto Q X Q' e quindi relazione tra elementi di Q e Q', l'insieme delle coppie
(q, q')Q X Q' q's' ο f(s-1(q)),
cioè 
Osservato che:
qQ : Gf* = s' ο f(s-1(q)),
si dimostra ora che Gf* è una relazione funzionale, cioèqQ : s' ο f(s-1(q)) ≠ 
, ed è formata da un solo elemento.
Infatti, preso un elemento qQ, ed essendo per ipotesi s(E) = Q, si ha s-1(q) = e quindi s' ο f(s-1(q)) ≠ .Inoltre, supponendo che esistano due elementi di Gf*, cioè
q'1f(s-1(q)) q'2f(s-1(q)) x1 s-1(q) q'1 = s' ο f(x1) x2 s-1(q) q'2 = s' ο f(x2),
iE : E E, s : E Q, s' : E Q,
si consideri il seguente diagramma:
Nell'ipotesi che s sia surgettiva, si dimostra che l'applicazione indotta da iE per s ed s' esiste ed è iQ. Infatti, si verifica che:
iQ ο s = s' ο iE.
TeoremaSe
s : E Q, s : E Q, s' : E Q, s'' : E Q''
sono surgezioni e se
f' : E E', f'' : E' E'',
e se f' induce f*1 ed f'' induce f*2, allora f'' ο f' induce f*2 ο f*1, cioè risulta
f*2 ο f*1 = (f'' ο f')*.
Dimostrazione
Per ipotesi risulta
f*1 ο s = s' ο f', f*2 ο s' = s'' ο f''.
Per la proprietà associativa delle applicazioni, si ha:
(f*2 ο f*1) ο s = f*2 ο (f*1 ο s) = f*2 ο (s' ο f') = (f*2 ο s') ο f' = (s'' ο f'') ο f' = s'' ο (f'' ο f'),
Si considerino due insiemi E ed F, siano R ed R' le relazioni di equivalenza rispettivamente sull'insieme E e sull'insieme F, e l'applicazione
f' : E F.
Si considerino inoltre gl'insiemi quoziente E/R ed F/R' e le applicazioni
φ : E E/R φ(E) = E/R Rφ = R,
ψ : F F/R' ψ(F) = F/R' Rψ = R'.
Si traccia ora il relativo diagramma:
La condizione che esista f* si traduce nell'equivalenza delle seguenti due proposizioni:
a)f* : E/R F/R' f* ο φ = ψ ο f,
b)xE, yE x≡y(modRφ) : f(x)≡f(y)(modRψ).
Si osserva ora che:
xE, yE x≡y(modR) : f(x)≡f(y)(modR'),
la f* così definita prende il nome di applicazione indotta da f per R ed R'.
f' : E' F', f'' : E'' F''
e si costruisce l'applicazione prodotto
f' X f'' : E' X E'' F' X F''
così definita:
(x', x'')E' X E'' : (f' X f'')(x', x'') = (f'(x'), f''(x'')).
Si considerino ulteriormente le relazioni di equivalenza Rf' ed Rf'' definite da f' ed f'' e quindi, dopo aver costruito Rf'Xf'', definita da f' X f'', si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a) (a', a'')≡(b', b'')(modRf'Xf''),
b) a' ≡ b'(modRf'), a'' ≡ b''(modRf'').
Dimostrazione
a) b)
Si considerino le coppie
(a', a'')E' X E'', (b', b'')E' X E'' (a', a'') ≡ (b', b'')(modRf'Xf'') (f' X f'')(a', a'') =
= (f' X f'')(b', b'') (f'(a'), f''(a'')) = (f'(b'), f''(b'')) (f'(a') = f'(b') f''(a'') = f''(b''))
a' ≡ b'(modRf') a'' ≡ b''(modRf'').
Si considerino le applicazioni
φ : E X, ψ : F Y, χ : G Z,
ed inoltre
f : E x F G,
φ x ψ : E x F X x Y
e si tracci il relativo diagramma:
Considerando φ e ψ surgettive, cioè
φ(E) = X e ψ(F) = Y (φ x ψ)(E x F) = X x Y,
anche φ x ψ è surgettiva.
Se esiste f* indotta da f per φ x ψ e χ, essa è unica e la sua esistenza si esprime nella sua equivalenza delle seguenti due proposizioni:
a) f* : X x Y Z f* ο (φ x ψ) = χ ο f,
b)(x', x'')E x F, (y', y'')E x F (x', x'')≡(y', y'')(modRφ x ψ) : f(x', x'')≡(y', y'')(modRχ).
Tenendo presente l'equivalenza vista in precedenza, cioè:
a) (a', a'')≡(b', b'')(modRf'Xf''),
b) a' ≡ b'(modRf'), a'' ≡ b''(modRf''),
le due proposizioni in esame si possono scrivere
a) f* : X x Y Z f* ο (φ x ψ) = χ ο f,
b)(x', x'')E x F, (y', y'')E x F x'≡y'(modRφ), x''≡y''(modRψ) : f(x', x'')≡f(y', y'')(modRχ).
Quindi, fissate le applicazioni φ, ψ e χ, è sufficiente e necessario che si verifichino a) e b) ora scritte, affinchè esista l'applicazione f*.
RE-1) (x, y)
R (y, z)R (x, z)R, proprietà transitiva;RE-2) (x, y)
R (y, x)R, proprietà simmetrica;RE-3)
xE : (x, x)R, proprietà riflessiva.Ricordando che la coppia (x, y)
R si può scrivere xRy, equivalentemente si ha:RE-1) xRy
yRz xRz, proprietà transitiva;RE-2) xRy
yRx, proprietà simmetrica;RE-3)
xE : xRx, proprietà riflessiva.Ed ancora, scrivendo x≡y(modR) al posto di (x, y)
R, si ha:RE-1) x≡y(modR)
y≡z(modR) x≡z(modR), proprietà transitiva;RE-2) x≡y(modR)
y≡x(modR), proprietà simmetrica;RE-3)
xE : x≡x(modR), proprietà riflessiva.La forma x≡y(modR) si legge "x equivalente o congruo y modulo R".
Esempio di relazione di equivalenza
Si consideri l'applicazione
f : E
E'e, se con Rf si indica l'insieme delle coppie ordinate (x, y)
E X E f(x) = f(y), cioèsi dimostra che Rf è una relazione di equivalenza definita dall'applicazione f, pertanto Rf deve verificare gli assiomi RE-1), RE-2) ed RE-3).
Dimostrazione RE-1).
Per come è stato definito Rf, si ha:
(x, y)
R (y, z)R f(x) = f(y) f(y) = f(z) f(x) = f(z) (x, z)R.Dimostrazione RE-2).
Per come è stato definito Rf, si ha:
(x, y)
R f(x) = f(y) f(y) = f(x) (y, x)R.Dimostrazione RE-3).
Per come è stato definito Rf, si ha:
(x, x)
R f(x) = f(x),e ciò è sempre vero.
Esempio
Assegnati un insieme E e la relazione R su E, per caso esistono un insieme E' ed un'applicazione f : E
E' tale che l'ulteriore relazione d'equivalenza Rf, definita da f, sia uguale a quella di partenza? Cioè:E', f : E E' Rf = R?Prima di verificare ciò, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a) x≡y(modR),
b) R(x) = R(y).
a)
b)x≡y(modR)
(x, y)R,si deve dimostrare che R(x) = R(y), cioè che R(x)
R(y) e R(y) R(x).Infatti, considerato un qualsiasi elemento
z
R(x) (x, z)R,ed essendo
(x, y)
R (y, x)R,si ha:
(y, z)
R zR(y),quindi
R(x)
R(y).Viceversa, si consideri un qualsiasi elemento
z
R(y) (y, z)R,ed essendo
(x, y)
R,si ha:
(x, z)
R zR(x),quindi
R(y)
R(x).b)
a)Si consideri l'applicazione
così definita:
xE : f(x) = R(x),si dimostra che
Rf = R,
cioè che
Rf
R ed R Rf.Infatti, si ha:
(x, y)
Rf f(x) = f(y) R(x) = R(y) (x, z)R,per l'equivalenza delle due proposizioni suddette. Poichè è valida l'implicazione nei due sensi, si conclude che:
Rf
R ed R Rf,cioè
Rf = R.
Si consideri l'applicazione surgettiva
f : E
E', cioè
Si costruisce ora l'applicazione f* : E
f(E) così definita:xE : f*(x) = f(x)f(E).Le proprietà dell'applicazione f*, detta ridotta dell'applicazione f, sono le seguenti:
1) f* è surgettiva,
2) Rf = Rf*,
3) f = jf(E) ο f*.
Dimostrazione 1).
Si deve dimostrare che
f*(E) = f(E).
Infatti,
xE : f*(x) = f(x).Dimostrazione 2).
Si consideri
(x, y)
Rf (x, y)E X E f(x) = f(y) f*(x) = f*(y) (x, y) Rf*.Dimostrazione 3).
Si ha:
xE jf(E) ο f*(x) = jf(E)(f*(x)) = jf(E)(f(x)) = f(x).Ponendo
f(E) = E/R
ed indicando con
φ : E
E/R,l'applicazione di E in E/R è detta surgezione canonica, e l'insieme E/R è detto insieme quoziente.
La surgezione canonica gode di due proprietà:
1) φ è surgettiva,
2) Rφ = R.
Dimostrazione 1).
Deriva dalla surgettività di f* di cui sopra.
Dimostrazione 2).
Si ha:
Rφ = Rf* = Rf = R.
Si esamina ora il significato dell'insieme quoziente:
La nozione di equivalenza permette di introdurre il concetto di applicazione indotta.
Siano
f : E
E', s : E Q, s' : E' Q',ci si chiede se esiste un'applicazione
f* : Q
Q' f* ο s = s' ο f,o equivalentemente che il seguente diagramma sia commutativo:
In generale non si sa se esista una tale applicazione, ed ammesso che esista, sia unica.
Nel caso in cui s ed s' siano surgettive, cioè se
s(E) = Q, s'(E') = Q',
se esiste f* essa è unica ed è definita indotta da f per s ed s'.
Si dimostra prima che se s è un'applicazione surgettiva, cioè s : E
Q, e se f e g sono le applicazioni di Q nell'insieme E', cioèf : Q
E', g : Q E',allora
f ο s = g ο s
f = g.Dimostrazione
Si consideri un elemento
q
Q, essendo s(E) = Q, qs(E) xE q = s(x).Da ciò segue che
f(q) = f(s(x)) = f ο s(x) = g ο s(x) = g(s(x)) = g(q),
come volevasi dimostrare.
Si dimostra ora che se per caso s ed s' sono surgettive, ed esiste f*, essa è unica.
Se per caso esistessero due f*, cioè f*1 e f*2, risulterebbe:
f*1 ο s = s' ο f
f*2 ο s = s' ο f f*1 ο s = f*2 ο s f*1 = f*2.Per quanto concerne l'esistenza dell'applicazione indotta, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a)
f*: Q Q' f* ο s = s' ο f,b)
xE, yE x≡y(modRs) f(x)≡f(y)(modRs').Si ricorda che
a)
b)Si consideri
(x, y)
Rs s(x) = s(y) f*(s(x)) = f*(s(y)) f* ο s(x) = f* ο s(y) s' ο f(x) = s' ο f(y) s'(f(x)) = s'(f(y)) (f(x), f(y))Rs'.b)
a)Sia Gf* la parte del prodotto Q X Q' e quindi relazione tra elementi di Q e Q', l'insieme delle coppie
(q, q')
Q X Q' q's' ο f(s-1(q)),cioè
Osservato che:
qQ : Gf* = s' ο f(s-1(q)),si dimostra ora che Gf* è una relazione funzionale, cioè
qQ : s' ο f(s-1(q)) ≠ , ed è formata da un solo elemento.Infatti, preso un elemento q
Q, ed essendo per ipotesi s(E) = Q, si ha s-1(q) = e quindi s' ο f(s-1(q)) ≠ .q'1
f(s-1(q)) q'2f(s-1(q)) x1 s-1(q) q'1 = s' ο f(x1) x2 s-1(q) q'2 = s' ο f(x2),e tenendo conto che per le ipotesi b)
(x, y)Rs (f(x1), f(x2))Rs' s'(f(x1)) = s'(f(x2)),
si ha:
q'1 = s' ο f(x1) = s'(f(x1)) = s'(f(x2)) = s' ο f(x2) = q'2.
Avendo dimostrato che Gf* è una relazione funzionale fra elementi di Q ed elementi di Q', esiste quindi un'applicazione
f*: Q Q'
di cui Gf* è il grafico, cioè
f* = (Q, Q', Gf*).
Si dimostra ora che
f* ο s = s' ο f.
Infatti, dopo aver osservato cheqQ f*(q) è l'unico elemento di Q del quale è formata la sezione Gf*(q) = s' ο f(s-1(q)), sia xE.
Quindi, da un lato si ha che f*(s(x)) è l'unico elemento di Q del quale è s' ο f(s-1(q)), e dall'altro, essendo xs-1(s(x)), si ha s' ο f(x)s' ο f(s-1(s(x))), e quindi anche s' ο f(x) è l'unico elemento di Q del quale è formato s' ο f(s-1(s(x)).
In conclusione risulta
f* ο s(x) = s' ο f(x),
cioè
f* ο s = s' ο f.
Esempio di applicazione indotta
Date le applicazioni
(x, y)
Rs (f(x1), f(x2))Rs' s'(f(x1)) = s'(f(x2)),si ha:
Avendo dimostrato che Gf* è una relazione funzionale fra elementi di Q ed elementi di Q', esiste quindi un'applicazione
f*: Q
Q'di cui Gf* è il grafico, cioè
f* = (Q, Q', Gf*).
Si dimostra ora che
f* ο s = s' ο f.
Infatti, dopo aver osservato che
qQ f*(q) è l'unico elemento di Q del quale è formata la sezione Gf*(q) = s' ο f(s-1(q)), sia xE.Quindi, da un lato si ha che f*(s(x)) è l'unico elemento di Q del quale è s' ο f(s-1(q)), e dall'altro, essendo x
s-1(s(x)), si ha s' ο f(x)s' ο f(s-1(s(x))), e quindi anche s' ο f(x) è l'unico elemento di Q del quale è formato s' ο f(s-1(s(x)).In conclusione risulta
f* ο s(x) = s' ο f(x),
cioè
f* ο s = s' ο f.
Esempio di applicazione indotta
Date le applicazioni
iE : E
E, s : E Q, s' : E Q,si consideri il seguente diagramma:
Nell'ipotesi che s sia surgettiva, si dimostra che l'applicazione indotta da iE per s ed s' esiste ed è iQ. Infatti, si verifica che:
iQ ο s = s' ο iE.
Teorema
s : E
Q, s : E Q, s' : E Q, s'' : E Q''sono surgezioni e se
f' : E
E', f'' : E' E'',e se f' induce f*1 ed f'' induce f*2, allora f'' ο f' induce f*2 ο f*1, cioè risulta
f*2 ο f*1 = (f'' ο f')*.
Dimostrazione
Per ipotesi risulta
f*1 ο s = s' ο f', f*2 ο s' = s'' ο f''.
Per la proprietà associativa delle applicazioni, si ha:
(f*2 ο f*1) ο s = f*2 ο (f*1 ο s) = f*2 ο (s' ο f') = (f*2 ο s') ο f' = (s'' ο f'') ο f' = s'' ο (f'' ο f'),
da ciò segue che f'' ο f' induce f*2 ο f*1, quindi
f*2 ο f*1 = (f'' ο f')*.
Si tracciano ora i relativi diagrammi:
f*2 ο f*1 = (f'' ο f')*.
Si tracciano ora i relativi diagrammi:
Si considerino due insiemi E ed F, siano R ed R' le relazioni di equivalenza rispettivamente sull'insieme E e sull'insieme F, e l'applicazione
f' : E
F.Si considerino inoltre gl'insiemi quoziente E/R ed F/R' e le applicazioni
φ : E
E/R φ(E) = E/R Rφ = R,ψ : F
F/R' ψ(F) = F/R' Rψ = R'.Si traccia ora il relativo diagramma:
La condizione che esista f* si traduce nell'equivalenza delle seguenti due proposizioni:
a)
f* : E/R F/R' f* ο φ = ψ ο f,b)
xE, yE x≡y(modRφ) : f(x)≡f(y)(modRψ).Si osserva ora che:
xE, yE x≡y(modR) : f(x)≡f(y)(modR'),la f* così definita prende il nome di applicazione indotta da f per R ed R'.
Si considerino le applicazioni
f' : E'
F', f'' : E'' F''e si costruisce l'applicazione prodotto
f' X f'' : E' X E''
F' X F''così definita:
(x', x'')E' X E'' : (f' X f'')(x', x'') = (f'(x'), f''(x'')).Si considerino ulteriormente le relazioni di equivalenza Rf' ed Rf'' definite da f' ed f'' e quindi, dopo aver costruito Rf'Xf'', definita da f' X f'', si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a) (a', a'')≡(b', b'')(modRf'Xf''),
b) a' ≡ b'(modRf'), a'' ≡ b''(modRf'').
Dimostrazione
a)
b)Si considerino le coppie
(a', a'')
E' X E'', (b', b'')E' X E'' (a', a'') ≡ (b', b'')(modRf'Xf'') (f' X f'')(a', a'') == (f' X f'')(b', b'')
(f'(a'), f''(a'')) = (f'(b'), f''(b'')) (f'(a') = f'(b') f''(a'') = f''(b'')) a' ≡ b'(modRf') a'' ≡ b''(modRf'').Si considerino le applicazioni
φ : E
X, ψ : F Y, χ : G Z,ed inoltre
G,φ x ψ : E x F
X x Ye si tracci il relativo diagramma:
Considerando φ e ψ surgettive, cioè
φ(E) = X e ψ(F) = Y
(φ x ψ)(E x F) = X x Y,anche φ x ψ è surgettiva.
Se esiste f* indotta da f per φ x ψ e χ, essa è unica e la sua esistenza si esprime nella sua equivalenza delle seguenti due proposizioni:
a)
f* : X x Y Z f* ο (φ x ψ) = χ ο f,b)
(x', x'')E x F, (y', y'')E x F (x', x'')≡(y', y'')(modRφ x ψ) : f(x', x'')≡(y', y'')(modRχ).Tenendo presente l'equivalenza vista in precedenza, cioè:
a) (a', a'')≡(b', b'')(modRf'Xf''),
b) a' ≡ b'(modRf'), a'' ≡ b''(modRf''),
le due proposizioni in esame si possono scrivere
a)
f* : X x Y Z f* ο (φ x ψ) = χ ο f,b)
(x', x'')E x F, (y', y'')E x F x'≡y'(modRφ), x''≡y''(modRψ) : f(x', x'')≡f(y', y'')(modRχ).Quindi, fissate le applicazioni φ, ψ e χ, è sufficiente e necessario che si verifichino a) e b) ora scritte, affinchè esista l'applicazione f*.