MIKY & GENNY

RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DEGLI INSIEMI ---> INDICE

S'inizia con alcune premesse.
1)-Coppia non ordinata

Se

sono due insiemi ridotti, rispettivamente, al solo elemento x ed al solo elemento y, posto

l'insieme definito dalla (1), cioè dalla riunione degl'insiemi ridotti ai soli elementi x ed y, si chiama coppia non ordinata.

Proprietà
1)-Per la proprietà commutativa della riunione, risulta:

Si deve inoltre tener presente che non si esclude il caso in cui sia x = y.

2)-Se z è un elemento della coppia non ordinata (1), si ha:

3)-Se l'insieme ridotto al solo elemento z è uguale alla coppia non ordinata (1), si ha:

cioè gli elementi x, y e z sono uguali.

Infatti, essendo per ipotesi

si ha

x = y = z.

4)-Due coppie non ordinate sono uguali se e solo se si verifica quanto segue:

Infatti, si presentano due casi:

a) x' = y',

b) x' ≠ y'.

Nel caso a), in cui x' = x'', sia z l'elemento comune, cioè sia x' = y' = z; per la proprietà 3), si ha:

Inoltre, per ipotesi risulta

pertanto

cioè

z = x'' = y'',

sempre per la proprietà 3).

Nel caso b), siccome x' appartiene alla prima coppia non ordinata, per ipotesi uguale alla seconda coppia non ordinata, esso appartiene anche alla seconda coppia non ordinata, cioè:

pertanto, per la proprietà 2), si ha

Nel caso in cui x' = x'', poichè

si hanno ancora due alternative

1^) y' = x''  e  2^) y' = y''.

La prima alternativa non è vera, perchè se lo fosse, poichè x' = x'', si avrebbe y' = x'' = x', e ciò è assurdo, perchè per ipotesi x' ≠ y'. Quindi y' = y''.

Nel caso in cui x' = y'', si esclude che sia y' = y'', perchè se lo fosse, si avrebbe x' = y'' = y', e ciò è contro l'ipotesi, quindi si ha y' = x''.

Osservazione
In generale, dati gl'insiemi X, Y e Z, per la proprietà associativa della riunione e dell'intersezione, si può scrivere:

X  (Y Z) = (X  Y) Z = X  Y Z,

X   (Y  Z) = (X   Y) Z = X   Y  Z.

2)-Terna non ordinata
Dati gli oggetti x, y e z, la riunione degl'insiemi ridotti ai soli elementi x, y e z si chiama terna non ordinata e, per l'osservazione precedente, si indica:

3)-Coppia ordinata
Alla formulazione del concetto fondamentale di coppia ordinata si perviene più agevolmente dopo aver stabilito i seguenti lemmi, cioè proposizioni che fungono da prima premessa di un ragionamento.

Lemma 1 - Se A', B', A'', B'' sono insiemi, e se

si ha:

(1)  A' B' = A'' B''  A'  B' = A''  B''.

Dimostrazione
Siccome per ipotesi

applicando la proprietà 4) si hanno due alternative:

1^)  A'= A''    B'= B''

2^) A' = B''    A'' = B'

Nel primo caso le (1) sono ovvie.

Nel secondo caso si ha:

A' B' = B'' A'' = A'' B''    A'  B' = B'' A'' = A'' B''.

Lemma 2 - Se x', y', x'', y'' sono oggetti, si ha

Dimostrazione

In prima analisi, per le proprietà dell'intersezione e dell'unione, risulta:

Inoltre, dall' ipotesi

e dal lemma 1, in cui si assume

richiamate 1) e 2), si ha:

La (3) esprime che:

(5)  x' = x''.

Analogamente si dimostra che

y' = y''.

Allo scopo si distinguono due casi:

1° y' = x'',

2° y' ≠ x''.

Nel 1° caso, essendo per la (5) x' = x'', si ha x' = y'; inoltre, essendo vera la proprietà 4), risulta:

da ciò segue

y' = y''.

Nel 2° caso, per la proprietà 4), si ha:

quindi

y' = y''.

Si è quindi dimostrato che

Il viceversa è ovvio.

Definizione di coppia ordinata
Se x ed y sono oggetti, si chiama coppia ordinata di prima coordinata x e di seconda coordinata y, e si denota con (x, y), la coppia non ordinata

Quindi risulta:

Teorema fondamentale - Condizione necessaria e sufficiente affinchè due coppie ordinate siano uguali, è che la prima coordinata della prima coppia sia uguale alla prima coordinata della seconda coppia e che la seconda coordinata della prima coppia sia uguale alla seconda coordinata della seconda coppia.

Cioè, se x', x'', y', y'' sono oggetti, risulta:

(x', y') = (x'', y'')  x' = x''  y' = y''.

Dimostrazione
Siccome per ipotesi le due coppie ordinate sono uguali, applicando il lemma 2) si ha:

4)-Definizione di terna ordinata
Se x, y e z sono oggetti, si chiama terna ordinata di prima coordinata x, di seconda coordinata y, di terza coordinata z, e si indica con (x, y, z), la coppia ordinata ((x, y), z).

Teorema fondamentale - Condizione necessaria e sufficiente affinchè due terne ordinate siano uguali, è che la prima coordinata della prima terna sia uguale alla prima coordinata della seconda terna, che la seconda coordinata della prima terna sia uguale alla seconda coordinata della seconda terna e che la terza coordinata della prima terna sia uguale alla terza coordinata della seconda terna.

Cioè, se x', x'', y', y'' sono oggetti, risulta:

(x', y', z') = (x'', y'', z'')  x' = x''  y' = y''  z' = z''.

La dimostrazione è banale.

Sulla base di queste nozioni, s'introduce il concetto di relazione.

Definizione di relazione - Si chiama relazione ogni insieme i cui elementi sono coppie ordinate.
Quindi, se si denota con R una relazione, i suoi elementi sono del tipo (x, y). Spesso, invece di scrivere (x, y)R, si scrive xRy, cioè x legato ad y dalla relazione R.
In altri termini, R è una relazione se e solo se R è un insieme tale che

Siano E ed F due insiemi.
Definizione - Si chiama relazione fra gli elementi di E e gli elementi di F ogni relazione R tale che se

Sia E = F.
Definizione - Si chiama relazione sull'insieme E ogni relazione R tra gli elementi dello stesso insieme, secondo la definizione precedente.

Siano E ed F insiemi.
Definizione di relazione inversa
Si chiama relazione inversa della relazione R, e si denota con R^-1, l'insieme delle coppie ordinate (y, x) F X E  (x, y)R.
In altri termini:

Siano E ed F insiemi.
Definizione di relazione inversa dell'inversa
Si chiama relazione inversa dell'inversa R^-1, e si denota con

l'insieme delle coppie ordinate (x, y) E X F  (y, x)R^-1.
In altri termini:

Relazione composta di due relazioni
Sia R una relazione fra elementi di E ed elementi di F ed S una relazione fra elementi di F ed elementi di G, cioè

Si consideri la relazione composta delle due relazioni, definita e indicata come segue:

e si legge S cerchietto R.

Relazione inversa di una relazione composta di due relazioni
E' definita come segue:

Relazione fondamentale - Prodotto di due insiemi
Si chiama prodotto dell'insieme E per l'insieme F, e si indica con E X F, l'insieme delle coppie ordinate (x, y), tali che xE e yF; E si chiama 1° fattore ed F secondo fattore del prodotto.

Osservazioni
1)-Il prodotto E X F è diverso dal prodotto F X E; i due prodotti sono uguali solo nel caso in cui sia E = F.
Infatti, considerata la coppia ordinata (x, y), per definizione essa è diversa dalla coppia (y, x), pertanto E X F è diverso da F X E.
Se (x, y) = (y, x), allora E = F. Infatti, se xE, yF, la coppia ordinata (x, y)E X F = F X E per ipotesi, e per definizione di coppia ordinata xF, yE. Quindi E  F, F E, cioè E = F.

2)-Il prodotto E X F non è vuoto se i due insiemi non sono vuoti, cioè:

E X F ≠ E ≠  F ≠ .

3)-Il prodotto E X F è vuoto se uno dei due insiemi è vuoto, cioè:

E X F = E = v F = .

4)-Il prodotto E X F è una relazione tra elementi di E ed elementi di F e, se R è una qualsiasi altra relazione tra elementi di E ed elementi di F, risulta:

R  E X F,

ossia

Infatti, considerata la coppia ordinata (x, y)R, con xE ed yF, ovviamente (x, y)E X F, le relazioni fra gli elementi di E e gli elementi di F sono tutte le parti contenute nell'insieme prodotto E X F, che è la più vasta relazione tra E ed F, poichè contiene tutte le altre.

5)-Siano A', B', A'', B'' quattro insiemi, si dimostra che:

(A' X B') (A'' X B'') = (A'  A'') X (B' B''),

(A' X B')  (A'' X B'')  (A' A'')  (B' B'').

La dimostrazione segue facilmente dalle definizioni.

6)-Siano A, B, C tre insiemi, si dimostra che:

(A B) X C = (A X C)  (B X C).

La dimostrazione segue facilmente dalle definizioni.

Diagonale del prodotto
Sia E un insieme.
Si chiama diagonale del prodotto E X E, dell'insieme E per se stesso o più brevemente diagonale di E, e si indica con Δ_E, l'insieme delle coppie (x, y)E X E tali che x = y.
In altri termini:

Sezione di una relazione
Se R è una parte del prodotto E X F, o equivalentemente una relazione tra elementi dell'insieme E ed elementi dell'insieme F, per ogni altra parte X di E si chiama sezione di R relativa ad X e si indica con R(X), l'insieme degli elementi yF tali che (x, y)R per almeno un xE.

In altri termini, se

Con le stesse notazioni della definizione suddetta, per ogni xE si chiama sezione di R relativa ad x e si indica con R(x), la sezione relativa a

In altri termini, se

si considera per convenzione

Proprietà delle sezioni



Dimostrazione (1): si consideri zR(X) zF  xX (x, z)R; inoltre, se zF  xY (x, z)R, siccome per ipotesi X Y  xX  xY. Cioè, per definizione zR(Y), quindi R(X) R(Y).

Dimostrazione (2): si consideri

Siccome per ipotesi

applicando la proprietà (1) si ha

o equivalentemente

R(x) R(X).

Dimostrazione (3): è noto che X Y X  X Y Y R(X Y) R(X) R(X Y) R(Y), per la proprietà (1), quindi R(X Y) R(X)  R(Y).

Dimostrazione (4): è noto che X  X  Y  Y X  Y R(X) R(X  Y) R(Y) R(X  Y), per la proprietà (1), quindi R(X)  R(Y) R(X  Y).
Viceversa, si deve dimostrare che R(X  Y) R(X)  R(Y). Allo scopo, si assume un elemento arbitrario

kR(X  Y) kF zX  Y (z, k)R.

Se zX zX (z, k)R kR(X).

Se zY zY (z, k)R kR(Y).

In definitiva

kR(X)  R(Y).

Avendo dimostrato che

R(X)  R(Y) R(X  Y)  R(X  Y) R(X)  R(Y),

segue che

R(X  Y) = R(X)  R(Y).

Proposizione
Se R ed S sono parti del prodotto E X F dell'insieme E per l'insieme F, o equivalentemente se R d S sono relazioni fra elementi di E ed elementi di F, condizione necessaria e sufficiente affinchè R = S è che:

In altri termini, se

Dimostrazione
Considerato un elemento xE, per definizione si ha

inoltre, essendo per ipotesi R = S, si conclude che gl'insiemi R(x) ed S(x) sono uguali.
Viceversa, considerata la coppia (x, y)R, per definizione yR(x)= S(x), per cui yS(x) e per definizione (x, y)S, cioè R S.
Inoltre, se (x, y)S, si ha anche che (x, y)R, per cui S R, e quindi R = S.

Sezione della relazione inversa
Siano E, F insiemi e

La sezione della relazione inversa è espressa da:

Sezione inversa della sezione
Sia X parte dell'insieme E ed R(X) parte dell'insieme F, cioè

Si dimostra che:

Al posto della (1) si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

Dimostrazione a)  b)
Si fissi un arbitrario xE, cioè

Essendo vera la a) per ipotesi, risulta

Ciò significa che:

Dimostrazione b)  a)
Si fissi un arbitrario xXE.
Essendo vera la b) per ipotesi, risulta

 

Avendo trovato che xX e xR^-1R(X), si conclude che:

Sia Y parte dell'insieme F ed R^-1(Y) parte dell'insieme E, cioè

Si dimostra che:

Al posto della (2) si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

Allo scopo, si dimostra prima la seguente proposizione:

Ragionando per assurdo, si suppone che X ≠ , pertanto:

 

Quindi:

e, essendo per ipotesi

si ha:

Quindi:

X = .

Il viceversa è immediato:

se

se

Ciò premesso, si dimostra che:
a') b'), cioè supponendo per ipotesi R^-1(R(x)) Y, risulta R(x) = v R(x) formato da un solo elemento.

Allo scopo, si fissi un elemento x E e si consideri R(x) ≠ ; si deve dimostrare che R(x) è formato da un solo elemento.

Supponiamo che ce ne siano due:

quindi

Si dimostra ora che:
b')  a')

Allo scopo, si fissi un elemento

y R(R^-1(Y)) xR^-1(Y)  (x, y)R  yR(x)  R(x) ≠ ed R(x) è formato dal solo elemento y, cioè

Sia ora

yR^-1(Y) zY  (z, x)R^-1  zY (x, z)R  zR(x)  R(x) ≠ ed R(x) è formato

dal solo elemento z, cioè

Quindi:

Si è quindi dimostrato che, fissato un elemento

 y R(R^-1(Y)), y = zY R(R^-1(Y)) Y.

Sezione della relazione composta

Sia X parte dell'insieme E, la sezione della relazione composta si definisce e si indica come segue:

Proprietà

assunta per definizione.

Applicando la (1) la dimostrazione è banale.

Si assume un elemento

Essendo R una relazione fra elementi dell'insieme E e dell'insieme F, ed S una relazione fra elementi dell'insieme F e dell'insieme G, siccome

Si è dimostrato che:

Si assume ora un elemento

Dunque, avendo anche dimostrato che

si ha: