MIKY & GENNY

RELAZIONI FUNZIONALI ---> INDICE

Siano E ed F due insiemi e G una relazione fra elementi di E ed elementi di F, cioè

Definizione di relazione funzionale
Si chiama relazione funzionale tra elementi di E ed elementi di F ogni relazione G che verifica le seguenti condizioni:

1)-xE la sezione G(x), di G relativa ad x, è non vuota, cioè:

xE : G(x) ≠ .

2)-xE la sezione G(x), di G relativa ad x, è formata da un solo elemento, cioè:

xE  x' G(x)  y'G(x) : x' = y'.

in cui il simbolo  esprime "uno ed un solo".

In altri termini, si dice che G è una relazione funzionale o grafico, se si verifica quanto segue:

(G grafico)  (xE yF  (x, y) G)  xE : G(x) ≠   G(x) è formato da un solo

elemento.

Definizione di funzione, o applicazione o trasformazione
Sia f un'applicazione fra elementi di E ed elementi di F a cui corrisponda una terna ordinata f = (E, F, G) nella quale la 1^ e la 2^ coordinata sono insiemi e la 3^ una relazione funzionale tra elementi di E ed elementi di F.
A queste coordinate si assegnano i seguenti nomi:
-ad E insieme di definizione o di partenza,
-ad F insieme di variabilità o di arrivo,
-a G di grafico dell'applicazione f.

Si chiama funzione, o applicazione o trasformazione dell'insieme E nell'insieme F ogni applicazione f che abbia E come insieme di definizione ed F come insieme di variabilità.
In tal caso si può anche dire che f è una funzione definita in E che assume valori in F.
Spesso, un'applicazione di E in F si indica soltanto con una lettera minuscola, ad esempio f, e si scrive:

f : E F.

Valore dell'applicazione

Se f è un'applicazione dell'insieme E nell'insieme F, cioè

f : E F,

xE si chiama valore di f in x, e s'indica con f(x), l'unico elemento di F a cui si riduce la sezione G(x) del grafico G dell'applicazione f.

Essendo

Se G è un grafico, si dimostra che:

(x, y)G  y = f(x).

Infatti, siccome yG(x), si ha:

cioè

y = f(x).

Viceversa, se

Teorema - Se f' ed f'' sono due applicazioni dell'insieme E nell'insieme E', risulta f' = f'', se e solo se per ogni x  E risulta f'(x) = f''(x), cioè se

f' : E E'  f'' : E E'

f' = f''' xE : f'(x) = f''(x).

Infatti, considerati i grafici G' e G'' delle funzioni f' ed f'', essendo f' = (E, E', G'), f'' = (E, E', G'') e per ipotesi f' = f'', dev'essere G' = G''; ciò equivale a dire che

xE : f'(x) = f''(x).

Nota bene
In tema di notazioni, se A e B sono insiemi, esiste un insieme che si indica con B elevato ad A oppure con effe gotica di A, B, cioè

i cui elementi sono tutte e sole le applicazioni di A in B:

 f : A B.

Caratterizzazioni di relazioni funzionali
1)-Applicazione costante
Siano E ed F insiemi e y₀F.
Si consideri la relazione tra elementi di E ed elementi di F, in corrispondenza dell'elemento y₀F, cioè:

Si dimostra che

è una relazione funzionale, quindi la sezione

ed è formata da un solo elemento.

Infatti, si prenda una coppia arbitraria

Quindi, si è dimostrato che la sezione è non vuota; si dimostra ora che essa è formata da un solo elemento. Allo scopo, si considerano due elementi e si dimostra che essi coincidono.

Siano essi

Avendo dimostrato che

è una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

Essa si chiama applicazione costante di costante valore y₀.
Per definizione

2)-Applicazione identica o bigezione canonica
Sia E un insieme.
Si consideri la diagonale del prodotto E X E, dell'insieme E per se stesso o più brevemente diagonale di E, indicata con Δ_E, cioè l'insieme delle coppie (x, y)E X, tali che x = y.
In altri termini:

Si dimostra che

Δ_E

è una relazione funzionale, quindi la sezione

Δ_E(x) ≠ ,

ed è formata da un solo elemento.

Infatti, si prenda una coppia arbitraria

(x, x)Δ_E(x)  x Δ_E(x)  Δ_E(x) ≠ .

Quindi, si è dimostrato che la sezione è non vuota; si dimostra ora che essa è formata da un solo elemento. Allo scopo, si considerano due elementi e si dimostra che essi coincidono.
Siano essi

Avendo dimostrato che

Δ_E

è una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

i_E = (E, E, Δ_E).

Essa si chiama applicazione identica, o bigezione canonica o identità dell'insieme E.
Per definizione

3)-Ingezione canonica
Sia E un insieme, A una parte dell'insieme E e Δ_A la diagonale del prodotto A X E, definita come segue:

Si dimostra che

Δ_A

è una relazione funzionale, quindi la sezione

Δ_A(x) ≠ ,

ed è formata da un solo elemento.

Infatti, si prenda una coppia arbitraria

(x, x) A X A  A X E  (x, x)Δ_A xΔ_A(x)  Δ_A(x) ≠ .

Quindi, si è dimostrato che la sezione è non vuota; si dimostra ora che essa è formata da un solo elemento. Allo scopo, si considerano due elementi e si dimostra che essi coincidono.
Siano essi

Avendo dimostrato che

Δ_A

è una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

j_A = (A, E, Δ_A).

Essa si chiama ingezione canonica o applicazione inclusione di A in E.
Per definizione

Convenzione
Siano E, F, G insiemi; se

 f : E X F  G,

è un'applicazione dell'insieme E X F, prodotto dell'insieme E per l'insieme F, nell'insieme G, xE X F il valore che f assume in (x, y) è indicato con f(x, y).
La circostanza che il valore f(x, y) dipenda da xE e da yF spiega il motivo per cui f si chiama funzione di due variabili.
E' bene tener presente che tale valore si sarebbe dovuto indicare con f((x, y)), ma è preferibile indicarlo con f(x, y) per snellire la terminologia.

4)-Prima e seconda proiezione del prodotto di due insiemi
Siano E ed F insiemi ed R₁ la relazione fra elementi dell'insieme (E X F) e l'insieme E, definita
come segue:

Si dimostra che

R₁

è una relazione funzionale, quindi la sezione

R₁(x) ≠ ,

ed è formata da un solo elemento.

Infatti, si prenda una coppia arbitraria

((x, y), x) R₁  (x, y)R₁(x, y)  R₁(x, y)≠.

Quindi, si è dimostrato che la sezione è non vuota; si dimostra ora che essa è formata da un solo elemento. Allo scopo, si considerano due elementi e si dimostra che essi coincidono.

Siano essi

Avendo dimostrato che

R₁

è una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

pr₁ = (E X F, E, R₁).

Essa si chiama prima proiezione del prodotto E X F.
Per definizione

Analogamente, sia R₂ la relazione fra elementi dell'insieme (E X F) e l'insieme F, definita come segue:

Si dimostra, come è stato fatto in precedenza, che

R₂

è una relazione funzionale, quindi la sezione

R₂(x) ≠ ,

ed è formata da un solo elemento.
Quindi, ha senso considerare l'applicazione

pr₂ = (E X F, F, R₂).

Essa si chiama seconda proiezione del prodotto E X F.
Per definizione

5)-Applicazione fondamentali
Siano E ed F insiemi ed R¹_v la relazione fra elementi dell'insieme E e dell'insieme (E X F), con vF, definita come segue:

Si dimostra che

R¹_v

è una relazione funzionale, quindi la sezione

R¹_v (x)≠ ,

ed è formata da un solo elemento.
Infatti, si prenda una coppia arbitraria

(x, (x, v)) R¹_v (x, v) R¹_v(x)  R¹_v(x, y)≠.

Quindi, si è dimostrato che la sezione è non vuota; si dimostra ora che essa è formata da un solo elemento. Allo scopo, si considerano due elementi e si dimostra che essi coincidono.

Siano essi

Avendo dimostrato che

R¹_v

è una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

φ¹_v = (E, E X F, R¹_v).

Per definizione

Analogamente, sia R²_u la relazione fra elementi di F ed (E X F), così definita:

Si dimostra che

R²_u

è una relazione funzionale, quindi la sezione

R²_u(x) ≠ ,

ed è formata da un solo elemento.

Quindi, ha senso considerare l'applicazione

φ²_u = (F, E X F, R²_u).

Per definizione

6)-Estensione di un'applicazione alle parti di un insieme
Si consideri l'applicazione f = (E, F, G), cioè f : E F e

si consideri l'insieme

che rappresenta, come si vedrà in seguito, l'immagine diretta di X mediante f.
Si considerino ora

insiemi di partenza e di arrivo e si indichi con R la relazione tra i loro elementi, cioè:

Si dimostra che

R

è una relazione funzionale, quindi la sezione

R(X) ≠ ,

ed è formata da un solo elemento.
Infatti,

Quindi, si è dimostrato che la sezione è non vuota; si dimostra ora che essa è formata da un solo elemento. Allo scopo, si considerano due elementi e si dimostra che essi coincidono.

Siano essi

Avendo dimostrato che

R

è una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

Essa si chiama estensione di f alle parti di un insieme.
Per definizione

E' bene osservare che f(X)R(X) è il nuovo valore di X nella nuova applicazione e coincide proprio con f(X) dell'applicazione di partenza.

Proposizione
Sia f = (E, F, G), cioè f : E F e

Si consideri ora la sezione G(X), di G relativa ad X, si dimostra che:

f(X) = G(X).

Allo scopo, si suppone che:

X ≠ ,

e quindi

f(X) ≠ .

Sia

Resta dimostrato che

Viceversa, sia

Resta anche dimostrato che

Quindi:

7)-Estensione reciproca
Si consideri l'applicazione f = (E, F, G), cioè f : E F e

si consideri l'insieme

che rappresenta, come si vedrà in seguito, l'immagine reciproca di Y mediante f.
Si considerino ora

insiemi di partenza e di arrivo e si indichi con R₁ la relazione tra i loro elementi, cioè:

Si dimostra che

R₁

è una relazione funzionale, quindi la sezione

R₁(Y) ≠ ,

ed è formata da un solo elemento.
Infatti,

Quindi, si è dimostrato che la sezione è non vuota; si dimostra ora che essa è formata da un solo elemento. Allo scopo, si considerano due elementi e si dimostra che essi coincidono.

Siano essi

Avendo dimostrato che

R₁

è una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

Essa si chiama estensione reciproca di f alle parti di un insieme.
Per definizione

Proposizione
Sia f = (E, F, G), cioè f : E F e

Si consideri ora la sezione inversa G^-1(Y), di G relativa ad Y, si dimostra che:

f^-1(Y) = G^-1(Y),

per ogni parte Y di F.
Allo scopo, si suppone che:

Y ≠ ,

e quindi

f^-1(Y) ≠ .

Sia

Resta dimostrato che

Viceversa, sia

Resta anche dimostrato che

Quindi:

8)-Applicazione prodotto di due applicazioni
Siano f = (E, F, R) e g = (E', F', R') due applicazioni; la relazione associata all'applicazione prodotto delle due è:

Essa è una relazione funzionale così definita:

9)-Applicazione parziale

Sia assegnata un'applicazione di due variabili

f : E X F E' X F'.

Si possono considerare due applicazioni, chiamate applicazioni parziali di f:
fissato yF, si può considerare l'applicazione

f(., y) : E E' X F'  xE f(., y)(x) = f(x, y)

e, fissato xE, si può considerare

f(x, .) : F E' X F'  yF f(x, .)(x) = f(x, y).

10)-Applicazione composta

Siano assegnate due applicazioni:

f : E F  e  g : F G.

A partire da esse si può considerare una nuova applicazione chiamata applicazione composta di f e g.
Si dimostra che l'insieme

è una relazione funzionale tra elementi di E ed elementi di G, cioè la sezione relativa ad esso è non vuota ed è formata da un unico elemento, cioè:

Essendo R una relazione funzionale, ha senso considerare l'applicazione

tra elementi di E ed elementi di G, che si legge g cerchietto f.

Ciò giustifica la seguente definizione:
-se f : E F  e  g : F G sono due applicazioni, indicato con R l'insieme delle coppie ordinate (x, z) E X G  z = g(f(x)), l'applicazione (E, G, R), si chiama applicazione composta di f e g.
Il valore che l'applicazione assume in x è il seguente:

11)-Restrizione di un'applicazione ad una parte di un insieme
Sia assegnata l'applicazione f : E E',

e l'ingezione canonica o applicazione inclusione di A in E

j_A : A E.

Si chiama restrizione di f ad A, e si indica con

l'applicazione composta di f e j_A, cioè:

Il valore che l'applicazione assume in x è il seguente:

cioè

12)-Estensione o prolungamento di un'applicazione
Sia f : A Y, X un insieme in cui è contenuto A, si chiama estensione di f da A ad X ogni eventuale applicazione

Si distinguono due casi:



Infatti, poichè dev'essere

si ha che

13)-Applicazione ridotta
Sia f = (E, E', G) un'applicazione dell'insieme E nell'insieme E' di grafico G.
Come si vedrà in seguito, considerata l'immagine f(E), di E mediante f, essa risulta parte di E', cioè:

Si dimostra che G è una relazione funzionale fra elementi di E ed elementi di F(E), oltre ad esserlo fra elementi di E e di E'.
Pertanto, la terna ordinata

g = (E, f(E), G)

è un'applicazione di E in f(E) avente lo stesso grafico G di f e quindi si ha:

xE : g(x) = f(x).

Quindi, se f = (E, E', G) è un'applicazione dell'insieme E nell'insieme E' di grafico G, l'applicazione g = (E, f(E), G) di E in f(E) si chiama applicazione ridotta di f.

E' bene osservare che se si considera l'ingezione canonica di f(E) in E, cioè

j_f(E) : f(E) E

risulta:

Infatti, il valore che l'applicazione assume in x è dato da:

14)-Applicazione involutoria
Sia f : E E un'applicazione dell'insieme E nell'insieme E ed

l'applicazione composta dell'insieme E nell'insieme E.
E' noto che un'applicazione di E in E è la bigezione canonica. Se si verifica la circostanza che

si dice che f è un'applicazione involutoria di E. Si osserva inoltre che f è anche bigettiva.
Per dimostrare ciò, basta riconoscere che f è anche invertibile, ossia è una permutazione di E cioè, essendo per ipotesi f involutoria, basta provare che

Se per caso si può dire che che g esiste, automaticamente f è invertibile, e ciò accade se si assume f = g.

Pertanto, si può anche stabilire che l'insieme delle applicazioni involutorie di E è contenuto nell'insieme delle permutazioni di E.

Si consideri l'applicazione

definita come segue:

Si dimostra che è un'applicazione involutoria, cioè

Infatti:

Tale applicazione, essendo involutoria è anche bigettiva.

 
15)-Applicazione surgettiva

L'applicazione f : E F, dell'insieme E nell'insieme F si dice surgettiva se f(E) = F, cioè:

(f surgettiva) (yF x E  f(x) = y).

16)-Applicazione ingettiva

L'applicazione f : E F, dell'insieme E nell'insieme F si dice ingettiva se

xE yF f(x) = f(y)  x = y,

cioè:

(f ingettiva) (xE yF f(x) = f(y)  x = y').

17)-Applicazione bigettiva

L'applicazione f : E E', dell'insieme E nell'insieme E' si dice bigettiva se è surgettiva e ingettiva, cioè:

(f bigettiva) (f surgettiva    f ingettiva).