MIKY & GENNY

SISTEMA O FAMIGLIA DI MOORE ---> INDICE

Siano E un insieme, ed , emme gotica, un insieme di parti di E, cioè

  .

Si dice che è un sistema di Moore su E, se verifica i seguenti assiomi:

Proprietà fondamentale
Se è un sistema di Moore su E, si dimostra che, comunque si assegni una parte X non vuota di E, esiste uno ed un solo elemento

di modo

Tale elemento, che verifica le proprietà suddette, prende il nome di elemento di  generato da X.

Dimostrazione a).
Sia

X, X ≠

e si indichi con

Essendo inoltre 

si può considerare la famiglia di parti di E

Si considera ora l'intersezione di tale famiglia, che è anche parte di E, e che coincide con l'elemento generato da X, cioè:

Siccome X è parte di E, si dimostra che

Infatti, si consideri xX e, per definizione,

Pertanto:

Resta così dimostrata la a).

Dimostrazione b).
E' immediata per il semplice fatto che, essendo M l'insieme degli elementi della famiglia, si ha che M medesima contiene l'intersezione della famiglia, e quindi

Resta così dimostrata la b).
Dimostrazione dell'unicità dell'elemento di  generato da X.
Si suppone che, oltre all'elemento di  generato da X, ve ne sia un altro indicato con K.
Quindi

e naturalmente, per le proposizioni a) e b), si ha:

Se X  K, per la b) dimostrata, si ha:

d'altra parte, essendo

per b)', si ha:

Si è quindi trovato

cioè che l'elemento di  generato da X è unico.