Definizione di potenza
Si dice potenza di un numero il prodotto di più fattori uguali a quel numero.
Pertanto:
2x2x2, 3x3, 4x4, 5x5x5, sono delle potenze. Uno dei fattori uguali
prende il nome di base della potenza ed il numero dei fattori uguali
che si moltiplicano fra loro dicesi esponente della potenza.
Ad
esempio, una potenza avente per base 4 e per esponente 3 si indica con
la scrittura 43 e si legge quattro elevato alla terza.
Dalla
definizione risulta quindi: 43=4x4x4=64, allo stesso modo:
52=5x5=25, (0,7)3=0,7x0,7x0,7=0,343.
Bisogna prestare attenzione a non
scambiare una potenza col prodotto della base per l'esponente,
cioè a non confondere il simbolo 23 col prodotto 2x3
perchè 23=2x2x2=8 mentre 2x3=6.
La seconda e la terza potenza di un numero si chiamano anche quadrato e cubo del numero.
Si chiama elevazione a potenza l'operazione mediante la quale si determina la potenza del numero.
Potenze con esponente zero e con esponente 1
Poichè
in un prodotto i fattori devono essere almeno due, non ha senso
considerare potenze aventi un esponente minore di 2, pertanto si
conviene che:
La potenza con esponente 0 di un qualsiasi numero,
eccetto lo zero, vale sempre 1. Quindi, per convenzione, si pone
30=1, 50=1, 150=1, 370=1, 1120=1.
La potenza di 0 con esponente 0 non ha significato.
Casi particolari dell'elevazione a potenza
1)-Se la base di una potenza è zero, la potenza è zero. Infatti: 03=0x0x0=0.
2)-Se
la base di una potenza è l'unità, la potenza, quale che
sia l'esponente è uguale al uno. Infatti: 12=1x1,
13=1x1x1=1.
3)-Se la base di una potenza è dieci, la
potenza è uguale all'unità seguita da tanti zeri per
quanti sono le unità dell'esponente.
Infatti: 101=10, 102=10x10=100, 103=10x10x10=1000.
PROPRIETA'
Alcune proprietà delle potenze consentono un calcolo più rapido:
1)-Il
prodotto di due potenze aventi la stessa base è una potenza che
ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
Si
dimostra, ad esempio che: 32x33=32+3.
Infatti, per
la definizione di potenza: 32x33=(3x3)x(3x3x3)=3x3x3x3x3=35=32+3.
Analogamente si ha: 52x51x53=52+1+3=56; 35x34=39.
2)-Il
quoziente fra due potenze aventi la stessa base, di cui la seconda con
esponente minore della prima, è una potenza avente per base la
stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Si
dimostra, ad esempio che: 26:24=26-4.Infatti, per
definizione di potenza: 26:24=(2x2x2x2x2x2):(2x2x2x2)
e, ricordando una proprietà già vista della divisione
"Per dividere un prodotto per un numero, basta dividere per quel numero
uno solo dei fattori che sia divisibile per quel numero", si ottiene: 26:24=2x2=22=26-4.Analogamente si ha: 77:73=74; 313x34=39.
3)-La
potenza della potenza di un numero è una potenza avente per base
la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Si osservi che la scrittura (23)2 significa che la potenza 23 è stata elevata al quadrato e si chiama potenza di potenza.
Si
dimostra, ad esempio che: (23)2=23x2. Infatti: (23)2=23x23=23+3=26=23x2.
Analogamente si ha: (54)3=54x3=512; (72)5=710; [(23)2]5=23x2x5=230.
4)-Il
prodotto di più potenze aventi uguale esponente è una
potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo
stesso esponente.
Si
dimostra, ad esempio che: 33x43x53=(3x4x5)3.Infatti: 33x43x53=(3x3x3)x(4x4x4)x(5x5x5) e, applicando la proprietà la proprietà commutativa e associativa del prodotto, si ottiene: 33x43x53=(3x3x3)x(4x4x4)x(5x5x5)=(3x4x5)x(3x4x5)x(3x4x5)=(3x4x5)3.
5)-Il quoto di due potenze avente lo stesso
esponente è una potenza avente lo stesso esponente e per base il
quoto delle basi.
Infatti: 153:53=3375:125=27=33=(15:5)3.
CALCOLO DI UN'ESPRESSIONE ARITMETICA CONTENENTE DELLE POTENZE
Un'espressione aritmetica contenente delle potenze si risolve calcolando
prima le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni ed infine le
addizioni e le sottrazioni.
Se nell'espressione figurano anche delle
parentesi, bisogna liberarle cominciando dalle più
interne, naturalmente riscrivendo nei vari passaggi il resto
dell'espressione.
Esempio: {72:23+[52x7+42x43-(32x33+343:72):5]-2x192}:22=
{72:8+[25x7+45-(35+343:49):5]-2x361}:4={9+[175+1024-(243+7):5]-722}:4=
{9+[175+1024-250:5]-722}:4={9+[175+1024-50]-722}:4={9+1149-722}:4=436:4=109.