MIKY & GENNY

FRAZIONI ---> INDICE

GENERALITA'

Se se divide una qualsiasi grandezza in una, due, tre, quattro, ecc.
parti uguali, ciascuna di queste parti si dice rispettivamente: un mezzo, un terzo, un quarto, ecc. della grandezza considerata; queste parti si chiamano unità frazionarie e si indicano con i seguenti simboli:



L'unità frazionaria esprime che una qualsiasi grandezza, considerata come unità, è stata divisa in determinato numero di parti uguali e si è considerata una di esse.
Di seguito è riportata la divisione di un segmento diviso in parti:


Frazioni
Se si divide un un segmento AB in quattro parti uguali, ognuna di esse è un quarto di AB e si scrive:
Se si divide il segmento AB in quattro parti uguali e si considera poi il segmento formato da tre di queste parti, di dice che EF è tre quarti del segmento AB e si scrive:


Una frazione si rappresenta mediante due numeri che si chiamano termini della frazione, nella frazione suddetta sono 3 e 4. Il numero posto al di sopra della linea si chiama numeratore e rappresenta il numero delle parti uguali considerate dell'unità intera; il
numero posto al di sotto della linea si chiama denominatore e rappresenta il numero delle parti uguali in cui è stata divisa la grandezza considerata. Le frazioni si chiamano anche numeri frazionari.
L'insieme dei numeri interi e dei numeri frazionari forma la classe dei numeri razionali.

Frazione propria
Si consideri l'unità intera suddivisa in quattro parti uguali rappresentata dal segmento AB ed il segmento CD=3/4 di AB.


Confrontando i due segmenti, si nota che CD<AB, cioè che la frazione 3/4 è minore dell'unità intera, pertanto:
Una frazione minore dell'unità si dice propria ed in essa il numeratore è minore del denominatore.

Frazione impropria
Si consideri il segmento AB suddiviso in quattro parti uguali ed il segmento CD=5/4 di AB.


Confrontando i due segmenti, si nota che CD>AB, cioè che la frazione 5/4 è maggiore dell'unità intera, pertanto:
Una frazione maggiore dell'unità si dice impropria ed in essa il numeratore è maggiore del denominatore.

Frazione apparente
Si consideri il segmento AB suddiviso in quattro parti uguali ed il segmento CD=4/4 di AB.



Confrontando i due segmenti, si nota che CD=AB, cioè che la frazione 4/4 è uguale all'unità intera.

Si consideri ora il segmento AB suddiviso in quattro parti uguali ed il segmento CD=8/4 di AB.



Confrontando i due segmenti, si nota che CD=8/4AB, cioè che la frazione 8/4 è uguale a due unità intere, pertanto:
Una frazione si dice apparente se il numeratore è uguale o multiplo del denominatore, cioè è equivalente al numero intero ottenuto dividendo il numeratore per il denominatore.
Esempi:



Un numero intero si può trasformare in frazione apparente avente un denominatore a piacere e per numeratore il prodotto del numero intero assegnato per ques'ultimo denominatore.
Esempi:



Casi particolari

1)-Se il numeratore è uguale al denominatore, il valore della frazione è l'unità: 7/7=1, 4/4=1.
2)-Qualsiasi numero intero si può considerare sotto forma di frazione avente il numero considerato come numeratore e per denominatore l'unità: 10=10/1, 50=50/1, 2=2/1,7=7/1.
3)-Qualsiasi frazione il cui numeratore è zero è uguale a zero: 0/3=0, 0/4=0, 0/9=0.
4)-Una frazione il cui denominatore è zero è priva di significato: le espressioni 5/0 e 8/0 non hanno senso.

Estrazione dei numeri interi da una frazione impropria
Si consideri il segmento AB diviso in quattro parti uguali ed il segmento CD formato da sette parti di esso. E' chiaro che CD è uguale ad AB più 3/4 di tale segmento, quindi 7/4=1+3/4.



Quindi la frazione impropria 7/4 è uguale alla somma di un numero intero e di una frazione propria e si può osservare anche che dividendo 7 per 4 si ottiene 1 come quoziente e 3 per resto. Si può quindi affermare che:
Per trasformare una frazione impropria nella somma di un numero intero e di una frazione propria, è sufficiente dividere il numeratore per il denominatore, il quoziente ottenuto costituisce la parte intera, mentre la parte frazionaria ha per denominatore lo stesso
denominatore della frazione data e per numeratore il resto della divisione. Esempi:



PROPRIETA' FONDAMENTALI

Frazioni equivalenti
Si consideri il segmento AB diviso in quattro parti uguali ed il segmento CD formato da tre parti di esso, cioè CD=3/4 di AB. Se si divide lo stesso segmento AB in otto parti uguali e si considera il segmento EF formato da sei parti di esso, EF=6/8AB, si può osservare che i due segmenti CD ed EF così ottenuti, sono uguali, cioè i 3/4 di AB sono uguali ai 6/8AB, Quindi, si può dire che le due frazioni 3/4 e 6/8 sono equivalenti e scrivere 3/4=6/8.
Siccome i termini della seconda frazione sono uguali a quelli della prima moltiplicati per due:


Si può quindi enunciare la seguente proprietà:
Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per un numero diverso da zero, si ottiene una nuova frazione avente lo stesso valore della data e si dice equivalente ad essa.
Analogamente:
Se si dividono i termini di una frazione per un loro divisore comune, si ottiene una nuova frazione
equivalente ad essa. Esempio:



Semplificazione di una frazione
Una frazione si dice riducibile, se i suoi due termini hanno qualche divisore comune.
Semplificare una frazione riducibile, significa trovarne una equivalente alla data con termini più piccoli
; ciò si ottiene dividendo numeratore e denominatore della frazione data per un loro divisore comune. Esempi:



Riduzione di una frazione ai minimi termini
Una frazione si dice irriducibile, o ridotta ai minimi termini, quando non si può più semplificare, quando cioè i suoi due termini sono numeri primi fra loro. Pertanto:
Per ridurre una frazione riducibile ai minimi termini, basta dividere successivamente i suoi termini per tutti i divisori comuni. Esempio: ridurre ai minimi termini la frazione 560/700.
Siccome i due termini della frazione sono divisibili per 10, si ha:



poichè i termini di quest'ultima frazione sono divisibili per 2, si ottiene:



infine, i termini di quest'ultima frazione sono divisibili per 7, quindi:


pertanto:


E' evidente che i termini di quest'ultima frazione sono primi fra loro, pertanto la frazione 4/5 è irriducibile ed equivalente alla data.

Si può osservare che il prodotto di tutti i divisori comuni ai due termini della frazione è il loro M. C. D., perciò, invece di effettuare di seguito le semplificazioni, si può applicare la regola seguente:
Per ridurre una frazione ai minimi termini, è sufficiente dividere i suoi termini per il loro M. C. D.
Esempio: ridurre ai minimi termini la frazione: 756/1800.
Si calcola prima il M. C. D. (756, 1800): si scompongono in fattori primi i due termini 756=22x33x7, 1800=23x32x52 e si effettua il prodotto dei fattori comuni col più piccolo esponente. Quindi: M. C. D. (756, 1800)=22x32=4x9=36. Infine si dividono i due termini della frazione data per 36:



La frazione così ottenuta è irriducibile ed equivalente a quella assegnata.

Un altro metodo per ridurre una frazione ai minimi termini è il seguente: si scompongono in fattori primi i termini di una frazione e si sopprimono i fattori comuni ad essi.
Esempio:
ridurre ai minimi termini la frazione: 756/1800.



Riduzione di più frazioni allo stesso denominatore

Assegnate le frazioni 2/15 e 7/12, si vogliono determinare quelle equivalenti aventi lo stesso denominatore. Per ottenere tale risultato, è sufficiente trasformare le due frazioni in altre due aventi per denominatore il prodotto dei denominatori delle date:



Si può quindi enunciare la seguente regola:
Per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore, è sufficiente moltiplicare i termini di ciascuna di esse per il prodotto dei denominatori delle altre. Esempio: ridurre
allo stesso denominatore le frazioni 7/12, 3/5, 5/16.



Riduzione di più frazioni al minimo comune denominatore
In tal caso si trasformano le frazioni suddette in altre equivalenti aventi per denominatore comune il più piccolo numero. Siccome qualsiasi multiplo comune dei denominatori delle frazioni assegnate può assumersi come denominatore comune, il più piccolo di essi è il minimo comune multiplo dei denominatori; pertanto, si può enunciare la seguente regola:
Per ridurre più frazioni al minimo comun denominatore (m. c. d.) si precede così:
1)-Si riducono le frazioni date, se non lo sono, ai minimi termini.
2)-Si calcola il m. c. m. dei denominatori delle frazioni irriducibili così ottenute.
3)-Si divide il m. c. m. trovato per il denominatore di ciascuna frazione ridotta ai minimi termini e si moltiplicano poi i termini per il quoto ottenuto.
Esempio: ridurre al m. c. d. le frazioni 21/70, 20/48 e 16/150.
1)-Si  riducono ai minimi termini le frazioni date:



2)-Si calcola in m. c. m. dei denominatori delle nuove frazioni m. c. m. (10, 12, 75), che risulta:



3)-Si moltiplicano i termini di ciascuna frazione rispettivamente per 30, 25 e 4:



Confronto di due 
frazioni
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, ad esempio 6/7 e 5/7, è ovvio che la prima è maggiore della seconda, quindi si può dire che:
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con il numeratore maggiore.
Se si vogliono confrontare due frazioni aventi denominatori diversi, ad esempio 7/12 e 3/5, si procede come segue:
1)-Si riducono allo stesso denominatore:



2)-Si confrontano le due frazioni ottenute e si osserva che il numeratore della prima e minore di quello della seconda, cioè:



Quindi: Se si confrontano due frazioni, bisogna prima ridurle allo stesso denominatore, e poi osservare che è maggiore quella avente numeratore maggiore.