MIKY & GENNY
GRANDEZZE PROPORZIONALI ---> INDICE
RAPPORTI FRA GRANDEZZERapporto di due grandezze
Se si considerano due segmenti AB e CD, lunghi rispettivamente m 12 e m 3, si può dire che il primo è il quadruplo del secondo o anche che il loro rapporto è 12:3=4 e quindi scrivere che AB:CD=4 o AB/CD=4.
Il rapporto fra due grandezze (la seconda omogenea e non nulla), è uguale al rapporto delle loro misure fatte rispetto ad una stessa unità.
Scale e carte geografiche
Quando si rappresenta una parte di terreno con un disegno, per rendersi conto della sua forma ed utilizzarlo per effettuare misure, si conviene che ad una certa lunghezza, ad esempio 1 centimetro del disegno, corrisponda una determinata lunghezza sul terreno. La distanza che intercede fra i due punti del disegno si dice distanza grafica e quella corrispondente sul terreno, distanza reale.
In alcune carte autostradali, un centimetro rappresenta due chilometri, cioè 200000 centimetri. Si dice allora che la scala di quella carta è 1:200000. Perciò la scala di un disegno, di una carta topografica, ecc., è il rapporto di due numeri, di cui il primo rappresenta la misura di una qualsiasi lunghezza sulla carta e il secondo la lunghezza reale che esso rappresenta. Per comodità questo rapporto si pone sotto la forma di frazione avente numeratore 1, cioè:
Esempi:
1)-Qual'è la distanza reale di due città situate su una carta avente la scala 1:80000, alla distanza di cm 32?
Applicando la (2), si ha: distanza reale=cm 32 x 80000=cm 2560000=km 25,6.
2)-Quanto è lunga su una carta catastale una strada lunga km 2,45, se la scala è 1:2500?
Applicando la (3), si ha:
PROPORZIONI FRA GRANDEZZE
Date
quattro grandezze A, B, C, D non nulle, se il rapporto delle prime due
è uguale a quello delle altre due, si dice che le quattro
grandezze, nell'ordine assegnato, formano una proporzione e si scrive A:B=C:O o A/B=C/D.
E' evidente che A e B devono essere fra loro omogenee come anche C e D, però non è detto che quest'ultime due devono essere omogenee con le prime due. Poichè il rapporto fra due grandezze omogenee è uguale a quello delle loro misure, segue che se quattro grandezze sono in proporzione, lo sono anche le loro misure, e perciò si possono applicare le proprietà, già viste, delle proporzioni numeriche.
Se ad esempio si considerano due rettangoli aventi rispettivamente le basi b di m 3, le altezze h=m 5 e h'=m 4, ed aree A e A', si ha:
cioè il rapporto delle altezze è uguale al rapporto delle aree dei due rettangoli e perciò si può scrivere: A:A'=h:h'.
Quindi, se due rettangoli hanno basi uguali, le loro aree sono proporzionali alle rispettive altezze.
E' evidente che A e B devono essere fra loro omogenee come anche C e D, però non è detto che quest'ultime due devono essere omogenee con le prime due. Poichè il rapporto fra due grandezze omogenee è uguale a quello delle loro misure, segue che se quattro grandezze sono in proporzione, lo sono anche le loro misure, e perciò si possono applicare le proprietà, già viste, delle proporzioni numeriche.
Se ad esempio si considerano due rettangoli aventi rispettivamente le basi b di m 3, le altezze h=m 5 e h'=m 4, ed aree A e A', si ha:
cioè il rapporto delle altezze è uguale al rapporto delle aree dei due rettangoli e perciò si può scrivere: A:A'=h:h'.
Quindi, se due rettangoli hanno basi uguali, le loro aree sono proporzionali alle rispettive altezze.
GRANDEZZE COSTANTI, VARIABILI E VARIABILI DIPENDENTI
Grandezza variabile
Una grandezza si dice variabile quando può assumere valori diversi.
Ad esempio, la velocità con cui un automobile percorre l'autostrada Torino-Milano è variabile, perchè vi saranno rallentamenti, in alcuni tratti, dovuti alle frenate.
Grandezze variabili dipendenti
Due grandezze si dicono variabili dipendenti quando al variare dell'una varia anche l'altra.
Ad esempio, il costo di una merce varia al variare del suo peso, perciò costo e peso sono variabili dipendenti, e così lo sono anche la quantità di lavoro che si compie ed il tempo impiegato per eseguirlo, l'area di un rettangolo di data base e la sua altezza, ecc.
Grandezza costante
Una grandezza si dice costante se non cambia di valore.
Una grandezza si dice costante se non cambia di valore.
Ad esempio, la capacità di un dato recipiente, l'altezza di una torre.
Grandezza variabile
Una grandezza si dice variabile quando può assumere valori diversi.
Ad esempio, la velocità con cui un automobile percorre l'autostrada Torino-Milano è variabile, perchè vi saranno rallentamenti, in alcuni tratti, dovuti alle frenate.
Grandezze variabili dipendenti
Due grandezze si dicono variabili dipendenti quando al variare dell'una varia anche l'altra.
Ad esempio, il costo di una merce varia al variare del suo peso, perciò costo e peso sono variabili dipendenti, e così lo sono anche la quantità di lavoro che si compie ed il tempo impiegato per eseguirlo, l'area di un rettangolo di data base e la sua altezza, ecc.
PROPORZIONALITA' DIRETTA E INVERSA
Grandezze direttamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che se kg 2 di riso costano € 4, kg 4 costeranno € 8 e kg 1 costerà € 2, cioè diventando il doppio o la metà il numero dei chilogrammi di merce acquistata, lo stesso avviene per il costo relativo. Si dice in tal caso che le due grandezze chilogrammo e riso sono direttamente proporzionali.
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali, se l'una varia al variare dell'altra in modo che diventando la prima il doppio, il triplo, ... , la metà, la terza parte, ecc., anche l'altra diventa il doppio, il triplo, ... , la metà, la terza parte, ecc.
Proprietà dei valori di due grandezze direttamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che se un operaio lavorando 2 ore guadagna € 6, lavorando 4 ore guadagnerà € 12 e lavorando 8 ore € 24.
E' evidente che le due grandezze ore di lavoro e guadagno, sono direttamente proporzionali. Se si scrivono in due colonne attigue i corrispondenti valori delle grandezze considerate:
e si calcola il rapporto di due qualsiasi valori della prima grandezza, per esempio fra il primo e il terzo e quello dei corrispondenti valori della seconda grandezza, risulta:
cioè il rapporto di due qualsiasi valori della prima grandezza è uguale a quello dei corrispondenti valori della seconda grandezza, e quindi si può scrivere: 2:8=6:24. Perciò, si ha la seguente proprietà:
Se due grandezze sono direttamente proporzionali, due qualsiasi valori della prima ed i corrispondenti della seconda, in tale ordine, formano una proporzione.
Grandezze inversamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che: se un rubinetto versa l 40 di acqua al minuto riempie un serbatoio in 16 minuti, se invece versa l 80 di acqua al minuto lo riempie in 8 minuti e se versa l 20 al minuto lo riempie in 32 minuti.
Le due grandezze che figurano in questo problema, cioè litri di acqua e tempo impiegato per riempire un serbatoio, sono tali che diventando la prima il doppio, o la metà, la seconda diventa la metà o il doppio. In tal caso le due grandezze si dicono inversamente proporzionali.
Cioè: due grandezze si dicono inversamente proporzionali, se l'una varia al variare dell'altra in modo che diventando la prima il doppio, il triplo, ..., la metà, ecc., la seconda diventa la metà, la terza parte, ..., il doppio, ecc.
Proprietà dei valori di due grandezze inversamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che se 20 operai eseguono un lavoro in 4 giorni, 10 operai eseguiranno lo stesso lavoro in 8 giorni, mentre 40 operai lo faranno in 3 giorni. Le due grandezze numero di operai e numero di giorni occorrenti per compiere un dato lavoro, sono perciò inversamente proporzionali.
Se si scrivono in due colonne attigue i corrispondenti valori delle grandezze considerate e si calcola il rapporto di due qualsiasi valori della prima grandezza, per esempio fra il primo e il terzo e quello dei corrispondenti valori della seconda grandezza:
si ha:
cioè il primo rapporto è l'inverso del secondo. Si può pertanto enunciare la seguente proprietà:
Se due grandezze sono inversamente proporzionali, il rapporto di due qualsiasi valori della prima è uguale al rapporto inverso dei corrispondenti valori della seconda.
Dal seguente esempio pratico si può osservare che se kg 2 di riso costano € 4, kg 4 costeranno € 8 e kg 1 costerà € 2, cioè diventando il doppio o la metà il numero dei chilogrammi di merce acquistata, lo stesso avviene per il costo relativo. Si dice in tal caso che le due grandezze chilogrammo e riso sono direttamente proporzionali.
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali, se l'una varia al variare dell'altra in modo che diventando la prima il doppio, il triplo, ... , la metà, la terza parte, ecc., anche l'altra diventa il doppio, il triplo, ... , la metà, la terza parte, ecc.
Proprietà dei valori di due grandezze direttamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che se un operaio lavorando 2 ore guadagna € 6, lavorando 4 ore guadagnerà € 12 e lavorando 8 ore € 24.
E' evidente che le due grandezze ore di lavoro e guadagno, sono direttamente proporzionali. Se si scrivono in due colonne attigue i corrispondenti valori delle grandezze considerate:
e si calcola il rapporto di due qualsiasi valori della prima grandezza, per esempio fra il primo e il terzo e quello dei corrispondenti valori della seconda grandezza, risulta:
cioè il rapporto di due qualsiasi valori della prima grandezza è uguale a quello dei corrispondenti valori della seconda grandezza, e quindi si può scrivere: 2:8=6:24. Perciò, si ha la seguente proprietà:
Se due grandezze sono direttamente proporzionali, due qualsiasi valori della prima ed i corrispondenti della seconda, in tale ordine, formano una proporzione.
Grandezze inversamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che: se un rubinetto versa l 40 di acqua al minuto riempie un serbatoio in 16 minuti, se invece versa l 80 di acqua al minuto lo riempie in 8 minuti e se versa l 20 al minuto lo riempie in 32 minuti.
Le due grandezze che figurano in questo problema, cioè litri di acqua e tempo impiegato per riempire un serbatoio, sono tali che diventando la prima il doppio, o la metà, la seconda diventa la metà o il doppio. In tal caso le due grandezze si dicono inversamente proporzionali.
Cioè: due grandezze si dicono inversamente proporzionali, se l'una varia al variare dell'altra in modo che diventando la prima il doppio, il triplo, ..., la metà, ecc., la seconda diventa la metà, la terza parte, ..., il doppio, ecc.
Proprietà dei valori di due grandezze inversamente proporzionali
Dal seguente esempio pratico si può osservare che se 20 operai eseguono un lavoro in 4 giorni, 10 operai eseguiranno lo stesso lavoro in 8 giorni, mentre 40 operai lo faranno in 3 giorni. Le due grandezze numero di operai e numero di giorni occorrenti per compiere un dato lavoro, sono perciò inversamente proporzionali.
Se si scrivono in due colonne attigue i corrispondenti valori delle grandezze considerate e si calcola il rapporto di due qualsiasi valori della prima grandezza, per esempio fra il primo e il terzo e quello dei corrispondenti valori della seconda grandezza:
si ha:
cioè il primo rapporto è l'inverso del secondo. Si può pertanto enunciare la seguente proprietà:
Se due grandezze sono inversamente proporzionali, il rapporto di due qualsiasi valori della prima è uguale al rapporto inverso dei corrispondenti valori della seconda.
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE
Si suppone di voler risolvere il seguente problema:
Se per acquistare m 5 di stoffa si è speso € 25, quanto si spenderà per acquistare m 7 della stessa stoffa?
Come può osservarsi, le grandezze che figurano in questo problema sono due: metri di stoffa e costo; della prima si conoscono i due valori 5 e 7, della seconda solo il valore 25 e ci si propone di calcolare il secondo. Problemi di tale tipo si chiamano problemi del tre semplice. Perciò: si dicono problemi del tre semplice quelli in cui figurano due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali, e noti i valori corrispondenti delle due grandezze, si vuole determinare il valore di una di esse corrispondente ad un secondo dato valore dell'altra.
In seguito, un problema si dirà del tre semplice diretto o del tre semplice inverso, a seconda che le due grandezze che figurano sono direttamente o inversamente proporzionali.
Se per acquistare m 5 di stoffa si è speso € 25, quanto si spenderà per acquistare m 7 della stessa stoffa?
Come può osservarsi, le grandezze che figurano in questo problema sono due: metri di stoffa e costo; della prima si conoscono i due valori 5 e 7, della seconda solo il valore 25 e ci si propone di calcolare il secondo. Problemi di tale tipo si chiamano problemi del tre semplice. Perciò: si dicono problemi del tre semplice quelli in cui figurano due grandezze direttamente proporzionali o inversamente proporzionali, e noti i valori corrispondenti delle due grandezze, si vuole determinare il valore di una di esse corrispondente ad un secondo dato valore dell'altra.
In seguito, un problema si dirà del tre semplice diretto o del tre semplice inverso, a seconda che le due grandezze che figurano sono direttamente o inversamente proporzionali.
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE DIRETTO
Questi tipi di problemi si possono risolvere in due modi diversi usando i seguenti metodi:
1)-riduzione all'unità,
2)-delle proporzioni.
Si vuole ora risolvere il seguente problema:
Un operaio lavorando 5 ore al giorno ha guadagnato € 15, se avesse lavorato 7 ore al giorno, quale sarebbe stato il suo guadagno?
Si può osservare che le due grandezze che figurano nel problema sono direttamente proporzionali, in quanto si può verificare che se si raddoppiano le ore di lavoro, si raddoppia anche il guadagno.
Metodo di riduzione all'unità
Si fa il seguente ragionamento: se l'operaio lavorando 5 ore al giorno guadagna € 15, lavorando un'ora al giorno guadagnerà € 15:5=3, e lavorando 7 ore al giorno guadagnerà € 3X7=€ 21.
Metodo delle proporzioni
Si indica con X il guadagno richiesto e si forma il prospetto dei valori delle due grandezze:
Poichè le due grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto dei due valori della prima dev'essere uguale al rapporto dei corrispondenti valori della seconda, pertanto si ha:
5:7=15:X, ossia:
Il guadagno richiesto è € 21. Il valore della X così trovato si può scrivere sotto la forma:
cioè uguale al prodotto del valore noto 15 della grandezza a cui appartiene l'incognita, per 7/5,
che è il rapporto inverso dei valori dell'altra grandezza. Si può quindi enunciare la seguente regola: Il valore dell'incognita di un problema del tre semplice diretto è uguale al prodotto del valore noto della grandezza a cui appartiene l'incognita per il rapporto inverso dei valori dell'altra grandezza.
1)-riduzione all'unità,
2)-delle proporzioni.
Si vuole ora risolvere il seguente problema:
Un operaio lavorando 5 ore al giorno ha guadagnato € 15, se avesse lavorato 7 ore al giorno, quale sarebbe stato il suo guadagno?
Si può osservare che le due grandezze che figurano nel problema sono direttamente proporzionali, in quanto si può verificare che se si raddoppiano le ore di lavoro, si raddoppia anche il guadagno.
Metodo di riduzione all'unità
Si fa il seguente ragionamento: se l'operaio lavorando 5 ore al giorno guadagna € 15, lavorando un'ora al giorno guadagnerà € 15:5=3, e lavorando 7 ore al giorno guadagnerà € 3X7=€ 21.
Metodo delle proporzioni
Si indica con X il guadagno richiesto e si forma il prospetto dei valori delle due grandezze:
Poichè le due grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto dei due valori della prima dev'essere uguale al rapporto dei corrispondenti valori della seconda, pertanto si ha:
5:7=15:X, ossia:
Il guadagno richiesto è € 21. Il valore della X così trovato si può scrivere sotto la forma:
cioè uguale al prodotto del valore noto 15 della grandezza a cui appartiene l'incognita, per 7/5,
che è il rapporto inverso dei valori dell'altra grandezza. Si può quindi enunciare la seguente regola: Il valore dell'incognita di un problema del tre semplice diretto è uguale al prodotto del valore noto della grandezza a cui appartiene l'incognita per il rapporto inverso dei valori dell'altra grandezza.
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE INVERSO
Ci si propone ora di risolvere il seguente problema:
Se 12 operai hanno eseguito un lavoro in 14 giorni, quanti giorni avrebbero impiegato 8 operai per lo stesso lavoro?
Si può osservare che le due grandezze che figurano nel problema sono inversamente proporzionali, in quanto si può verificare che se si raddoppia il numero degli operai, si dimezza il tempo per effettuarlo.
Metodo di riduzione all'unità
Si fa il seguente ragionamento: se 12 operai eseguono un lavoro in giorni 14, un operaio lo eseguirà in giorni 14x12=168 e 8 operai lo eseguiranno in giorni 168:8=21.
Metodo delle proporzioni
Si indica con X il numero dei giorni richiesti e si forma il prospetto dei valori delle due grandezze:
Poichè le due grandezze sono inversamente proporzionali, il rapporto dei due valori della prima dev'essere uguale al rapporto inverso dei corrispondenti valori della seconda, pertanto si ha:
12:78=X:14, ossia:
Occorrono quindi 21 giorni. Il valore della X così trovato si può scrivere sotto la forma:
cioè uguale al prodotto del valore noto 14 della grandezza a cui appartiene l'incognita, per 12/8, che è il rapporto diretto dei valori dell'altra grandezza. Si può quindi enunciare la seguente regola: il valore dell'incognita di un problema del tre semplice inverso è uguale al prodotto del valore noto della grandezza a cui appartiene l'incognita per il rapporto diretto dei valori dell'altra grandezza.
Se 12 operai hanno eseguito un lavoro in 14 giorni, quanti giorni avrebbero impiegato 8 operai per lo stesso lavoro?
Si può osservare che le due grandezze che figurano nel problema sono inversamente proporzionali, in quanto si può verificare che se si raddoppia il numero degli operai, si dimezza il tempo per effettuarlo.
Metodo di riduzione all'unità
Si fa il seguente ragionamento: se 12 operai eseguono un lavoro in giorni 14, un operaio lo eseguirà in giorni 14x12=168 e 8 operai lo eseguiranno in giorni 168:8=21.
Metodo delle proporzioni
Si indica con X il numero dei giorni richiesti e si forma il prospetto dei valori delle due grandezze:
Poichè le due grandezze sono inversamente proporzionali, il rapporto dei due valori della prima dev'essere uguale al rapporto inverso dei corrispondenti valori della seconda, pertanto si ha:
12:78=X:14, ossia:
Occorrono quindi 21 giorni. Il valore della X così trovato si può scrivere sotto la forma:
cioè uguale al prodotto del valore noto 14 della grandezza a cui appartiene l'incognita, per 12/8, che è il rapporto diretto dei valori dell'altra grandezza. Si può quindi enunciare la seguente regola: il valore dell'incognita di un problema del tre semplice inverso è uguale al prodotto del valore noto della grandezza a cui appartiene l'incognita per il rapporto diretto dei valori dell'altra grandezza.
Grandezze direttamente proporzionali ad alcune ed inversamente proporzionali ad altre grandezze.
Alcune volte una grandezza può dipendere da due o più altre grandezze. Per esempio, il numero delle ore occorrenti per costruire un muro di una certa altezza e spessore, dipende dal numero degli operai impiegati e dalla lunghezza del muro. Poichè raddoppiando il numero degli operai, lasciando invariata la lunghezza del muro, le ore occorrenti per eseguirlo diventano la metà, le due grandezze numero degli operai e ore di lavoro sono inversamente proporzionali. Inoltre se si raddoppia la lunghezza del muro, lasciando invariato il numero degli operai, il numero delle ore occorrenti per eseguirlo diventa il doppio: perciò le due grandezze lunghezza del muro e numero delle ore di lavoro, sono direttamente proporzionali. Quindi si può dire che nel problema in questione il numero delle ore di lavoro è direttamente proporzionale alla lunghezza del muro ed inversamente proporzionale numero degli operai impiegati. Precisamente: una grandezza che dipende da più altre grandezze è direttamente (o inversamente) proporzionale ad una di esse, quando risulta direttamente (o inversamente) proporzionale a questa mantenendo invariati i valori di tutte le rimanenti.
Problemi del tre composto
Si dicono problemi del tre composto tutti quelli in cui si ha una grandezza direttamente od inversamente proporzionale a più altre, o ad alcune direttamente ed ad altre inversamente proporzionali, e dato il valore della prima, corrispondente al valore di tutte le altre grandezze, si vuole determinare un secondo valore della prima corrispondente a secondi dati valori delle altre.
Ci si propone ora di risolvere il seguente problema:
Se con kg 81 di lana si tessono 54 m di stoffa alta cm 80, quanti metri di stoffa si otterranno con 135 Kg di lana se essa la si vuole alta cm 120?
Metodo delle proporzioni
Le grandezze che figurano nel problema sono: kg di lana, altezza della stoffa e metri di stoffa ottenuta. Si forma dapprima il seguente prospetto:
si fa poi variare la prima grandezza lasciando invariata la seconda, cioè si risolve il seguente problema del tre semplice: Se con kg 81 di lana si possono ottenere 54 m di stoffa alta cm 80, quanti metri di stoffa di uguale altezza si otterranno con kg 135? Si forma pertanto un nuovo prospetto:
da cui, trattandosi di un problema del tre semplice diretto, si ricava:
Si considera poi costante la prima grandezza, cioè i chilogrammi di lana, e variabile la seconda, cioè si risolve il nuovo problema del tre semplice: se con kg di lana si tessono
di stoffa alta cm 80, quanti se ne otterranno con la stessa quantità se l'altezza diventa cm 120?
Perciò, si forma il seguente prospetto:
da cui, trattandosi di un problema del tre semplice inverso, si ricava:
Perciò, un problema del tre composto si può risolvere riconducendolo a due o più problemi del tre semplice diretto o inverso. Si può osservare che nella formula (1), 54 è il valore noto della grandezza a cui appartiene l'incognita, che 135/ 81 è il rapporto inverso dei due valori della prima grandezza (che è direttamente proporzionale a quella a cui appartiene l'incognita), e che
80/120 è il rapporto diretto dei due valori della seconda grandezza (che è inversamente proporzionale a quella che a cui appartiene l'incognita). Quindi, per risolvere un problema del tre composto si procede come segue:
Si forma il prospetto delle grandezze e si confronta ciascuna di esse separatamente con quella contenente l'incognita (considerando costanti tutte le altre) e ponendo al disopra di esse rispettivamente la lettera d o la lettera i a seconda che siano direttamente o inversamente proporzionali a quella, infine si applica la seguente regola:
Il valore incognito della grandezza che figura in un problema del tre composto è uguale al prodotto del valore noto di tale grandezza, moltiplicato per i rapporti diretti delle grandezze inversamente proporzionali e per i rapporti inversi delle grandezze direttamente proporzionali alla grandezza di cui si vuole trovare un nuovo valore.
Metodo di riduzione all'unità
Si risolve ora lo stesso problema col metodo di riduzione all'unità, ragionando come segue:
1)-se con kg 81 di lana si ottiene una stoffa alta cm 80 e lunga m 54,
2)-con kg 1 si otterrà una stoffa alta cm 80 e lunga
3)-e con kg 135 di lana si otterrà una stoffa alta cm 80 e lunga
4)-con kg 135 di lana si otterrà una stoffa alta cm 1 e lunga
pertanto il valore incognito, che si indica con X è espresso da:
Si vede ancora un esempio in modo che sia più chiara la regola pratica:
Per pavimentare una strada lunga m 120 e larga m 11, sedici operai hanno impiegato 165 ore. Quanto impiegheranno 12 operai per pavimentare una strada lunga m 80 e larga m 15?
Si indica con X il numero delle ore richieste e si forma il seguente prospetto:
e si può osservare che le grandezze delle prime due colonne sono direttamente proporzionali a quella che contiene l'incognita, cioè la quarta, mentre la grandezza della terza colonna è a questa inversamente proporzionale. Perciò si può segnare una (d) sulle prime due colonne ed una (i) sulla terza, e poi applicando la regola pratica si ha subito:
Quindi per costruire la seconda strada occorrono ore 200.
Alcune volte una grandezza può dipendere da due o più altre grandezze. Per esempio, il numero delle ore occorrenti per costruire un muro di una certa altezza e spessore, dipende dal numero degli operai impiegati e dalla lunghezza del muro. Poichè raddoppiando il numero degli operai, lasciando invariata la lunghezza del muro, le ore occorrenti per eseguirlo diventano la metà, le due grandezze numero degli operai e ore di lavoro sono inversamente proporzionali. Inoltre se si raddoppia la lunghezza del muro, lasciando invariato il numero degli operai, il numero delle ore occorrenti per eseguirlo diventa il doppio: perciò le due grandezze lunghezza del muro e numero delle ore di lavoro, sono direttamente proporzionali. Quindi si può dire che nel problema in questione il numero delle ore di lavoro è direttamente proporzionale alla lunghezza del muro ed inversamente proporzionale numero degli operai impiegati. Precisamente: una grandezza che dipende da più altre grandezze è direttamente (o inversamente) proporzionale ad una di esse, quando risulta direttamente (o inversamente) proporzionale a questa mantenendo invariati i valori di tutte le rimanenti.
Problemi del tre composto
Si dicono problemi del tre composto tutti quelli in cui si ha una grandezza direttamente od inversamente proporzionale a più altre, o ad alcune direttamente ed ad altre inversamente proporzionali, e dato il valore della prima, corrispondente al valore di tutte le altre grandezze, si vuole determinare un secondo valore della prima corrispondente a secondi dati valori delle altre.
Ci si propone ora di risolvere il seguente problema:
Se con kg 81 di lana si tessono 54 m di stoffa alta cm 80, quanti metri di stoffa si otterranno con 135 Kg di lana se essa la si vuole alta cm 120?
Metodo delle proporzioni
Le grandezze che figurano nel problema sono: kg di lana, altezza della stoffa e metri di stoffa ottenuta. Si forma dapprima il seguente prospetto:
si fa poi variare la prima grandezza lasciando invariata la seconda, cioè si risolve il seguente problema del tre semplice: Se con kg 81 di lana si possono ottenere 54 m di stoffa alta cm 80, quanti metri di stoffa di uguale altezza si otterranno con kg 135? Si forma pertanto un nuovo prospetto:
Si considera poi costante la prima grandezza, cioè i chilogrammi di lana, e variabile la seconda, cioè si risolve il nuovo problema del tre semplice: se con kg di lana si tessono
di stoffa alta cm 80, quanti se ne otterranno con la stessa quantità se l'altezza diventa cm 120?
Perciò, si forma il seguente prospetto:
da cui, trattandosi di un problema del tre semplice inverso, si ricava:
Perciò, un problema del tre composto si può risolvere riconducendolo a due o più problemi del tre semplice diretto o inverso. Si può osservare che nella formula (1), 54 è il valore noto della grandezza a cui appartiene l'incognita, che 135/ 81 è il rapporto inverso dei due valori della prima grandezza (che è direttamente proporzionale a quella a cui appartiene l'incognita), e che
80/120 è il rapporto diretto dei due valori della seconda grandezza (che è inversamente proporzionale a quella che a cui appartiene l'incognita). Quindi, per risolvere un problema del tre composto si procede come segue:
Si forma il prospetto delle grandezze e si confronta ciascuna di esse separatamente con quella contenente l'incognita (considerando costanti tutte le altre) e ponendo al disopra di esse rispettivamente la lettera d o la lettera i a seconda che siano direttamente o inversamente proporzionali a quella, infine si applica la seguente regola:
Il valore incognito della grandezza che figura in un problema del tre composto è uguale al prodotto del valore noto di tale grandezza, moltiplicato per i rapporti diretti delle grandezze inversamente proporzionali e per i rapporti inversi delle grandezze direttamente proporzionali alla grandezza di cui si vuole trovare un nuovo valore.
Metodo di riduzione all'unità
Si risolve ora lo stesso problema col metodo di riduzione all'unità, ragionando come segue:
1)-se con kg 81 di lana si ottiene una stoffa alta cm 80 e lunga m 54,
2)-con kg 1 si otterrà una stoffa alta cm 80 e lunga
3)-e con kg 135 di lana si otterrà una stoffa alta cm 80 e lunga
4)-con kg 135 di lana si otterrà una stoffa alta cm 1 e lunga
pertanto il valore incognito, che si indica con X è espresso da:
Si vede ancora un esempio in modo che sia più chiara la regola pratica:
Per pavimentare una strada lunga m 120 e larga m 11, sedici operai hanno impiegato 165 ore. Quanto impiegheranno 12 operai per pavimentare una strada lunga m 80 e larga m 15?
Si indica con X il numero delle ore richieste e si forma il seguente prospetto:
e si può osservare che le grandezze delle prime due colonne sono direttamente proporzionali a quella che contiene l'incognita, cioè la quarta, mentre la grandezza della terza colonna è a questa inversamente proporzionale. Perciò si può segnare una (d) sulle prime due colonne ed una (i) sulla terza, e poi applicando la regola pratica si ha subito:
Quindi per costruire la seconda strada occorrono ore 200.