MIKY & GENNY
LE QUATTRO OPERAZIONI FONDAMENTALI ---> INDICE
ADDIZIONESomma di due numeri
Se si hanno due gruppi della stessa specie, ad esempio due gruppi contenenti rispettivamente 8 e 9 mele, e si riuniscono i due gruppi in uno solo, il numero di mele contenute in questo nuovo gruppo è 17, che si dice somma dei numeri 8 e 9 e si scrive: 8+9=17.
E' evidente che si perviene allo stesso risultato se di seguito al numero 8 si contano nove unità nella successione naturale.
La somma di due numeri è il numero che si ottiene contando dopo il primo le unità del secondo. I due numeri che si sommano si chiamano addendi o termini della somma, e l'operazione che permette di calcolare la somma di due numeri, si chiama addizione.
Somma di più numeri
La somma di più numeri disposti in un certo ordine si ottiene addizionando al primo numero il secondo e sommando al risultato ottenuto il terzo, e così via. Ad esempio: 14+11+30=55.
Caso particolare: la somma di un numero e di zero è il numero stesso. Pertanto: 6+0=6; 5+0=5; 0+0=0.
PROPRIETA' DELL'ADDIZIONE
Proprietà commutativa
Scambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia.
Infatti: 4+8+15=27; 15+4+8=27; 8+4+15=27. Si può anche scrivere: 4+8+15=15+4+8=8+4+15=27.
La
proprietà commutativa si applica quando si vuole eseguire la
prova di un'addizione, e ciò si ottiene sommando gli addendi in
un ordine diverso. Se l'operazione è stata eseguita bene si
devono ottenere gli stessi risultati.Uso delle parentesi
Per eseguire l'addizione 8+11+15, è noto che occorre prima eseguire la somma dei primi due termini ed aggiungere poi al risultato ottenuto il terzo addendo. Per esprimere ciò, si scrive: 8+11+15=(8+11)+15, ponendo due o più addendi entro i due segni ( ) di parentesi, volendo indicare che ad essi è stata sostituita la loro somma. In alcuni casi, per evitare confusione, è bene usare più tipi di parentesi; esse hanno diverse forme e prendono i seguenti nomi:
( ) - parentesi tonde; [ ] - parentesi quadre; { } - parentesi graffe.
Espressioni aritmetiche o numeriche
Calcolare il valore di una
espressione, significa determinare il numero che si ottiene dopo aver
eseguito tutte le operazioni in essa indicate.
Nell'espressione suddetta si esegue prima la somma 6+3=9, contenuta nella parentesi tonda, che è la più interna; poi al risultato ottenuto si aggiunge 7 e si ottiene 16; al 16 si addiziona il 14, ottenendo 16+14=30. Infine al 30 si aggiunge il 3 e si ottiene 33 risultato dell'espressione. Praticamente si è seguito il seguente procedimento: 3+{14+[7+(6+3)]}=3+{14+[7+9]}=3+{14+16}=3+30=33. Quindi:
se in un'espressione figurano parentesi di diverso tipo, cioè parentesi a loro volta racchiuse fra altre altre parentesi, si calcola prima il valore dell'espressione racchiusa nelle parentesi più interne, riscrivendo per intero tutto il resto dell'espressione e si procede analogamente per le altre parentesi.
Proprietà associativa
La somma di tre o più addendi non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.
Se ad esempio nell'addizione 7+13+15=35, agli addendi 7 e 13 si sostituisce la loro somma, cioè 20, si ottiene 20+15=35; il totale quindi non è cambiato. Applicando questa proprietà, si ha: 7+13+18+12=(7+13)+(18+12)=20+30=50.
La proprietà associativa si usa spesso, perchè permette di effettuare mentalmente i calcoli, ad esempio: 18+15+85=18+(15+85)=18+100=118.
Si usa anche quando si deve eseguire un'addizione di molti termini, in tal caso è conveniente raggrupparli in gruppi eseguendo poi l'addizione delle somme parziali dei vari gruppi, ad esempio:
175+243+1745+873+141+975=(175+243)+(1745+873)+(141+975)=418+2618+1116=4152.
Proprietà dissociativa
La somma di più numeri non cambia, se al posto di un addendo se ne sostituiscono due o più altri la cui somma sia uguale all'addendo che si sostituisce.
Se ad esempio nell'addizione 13+15+12=40 all'addendo 15 si sostituiscono i due addendi 10 e 5, di cui esso è la somma, si ha: 13+10+5+12=40.
Anche questa proprietà si applica spesso per facilitare i calcoli mentalmente, ad esempio:
143+247=143+(200+40+7)=143+200+40+7=343+40+7=343+40+7=383+7=390.
Somma di due numeri interi o decimali
Si scrivono uno sotto l'altro i numeri in modo che le cifre dello stesso ordine si trovino sulla stessa colonna verticale e al di sotto dell'ultimo addendo si traccia una sbarretta orizzontale.
Si addizionano le cifre delle unità e la somma, se non è maggiore di nove, la si scrive sotto la sbarretta orizzontale nella stessa colonna delle unità. Se invece la somma è maggiore di nove, si scrivono solo le cifre delle sue unità, aggiungendo le cifre delle sue decine alla colonna delle decine. Allo stesso modo si procede per le altre colonne fino all'ultima di sinistra, nella quale il risultato lo si scrive così come lo si ottiene. Esempi:
Nell'espressione suddetta si esegue prima la somma 6+3=9, contenuta nella parentesi tonda, che è la più interna; poi al risultato ottenuto si aggiunge 7 e si ottiene 16; al 16 si addiziona il 14, ottenendo 16+14=30. Infine al 30 si aggiunge il 3 e si ottiene 33 risultato dell'espressione. Praticamente si è seguito il seguente procedimento: 3+{14+[7+(6+3)]}=3+{14+[7+9]}=3+{14+16}=3+30=33. Quindi:
se in un'espressione figurano parentesi di diverso tipo, cioè parentesi a loro volta racchiuse fra altre altre parentesi, si calcola prima il valore dell'espressione racchiusa nelle parentesi più interne, riscrivendo per intero tutto il resto dell'espressione e si procede analogamente per le altre parentesi.
Proprietà associativa
La somma di tre o più addendi non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.
Se ad esempio nell'addizione 7+13+15=35, agli addendi 7 e 13 si sostituisce la loro somma, cioè 20, si ottiene 20+15=35; il totale quindi non è cambiato. Applicando questa proprietà, si ha: 7+13+18+12=(7+13)+(18+12)=20+30=50.
La proprietà associativa si usa spesso, perchè permette di effettuare mentalmente i calcoli, ad esempio: 18+15+85=18+(15+85)=18+100=118.
Si usa anche quando si deve eseguire un'addizione di molti termini, in tal caso è conveniente raggrupparli in gruppi eseguendo poi l'addizione delle somme parziali dei vari gruppi, ad esempio:
175+243+1745+873+141+975=(175+243)+(1745+873)+(141+975)=418+2618+1116=4152.
Proprietà dissociativa
La somma di più numeri non cambia, se al posto di un addendo se ne sostituiscono due o più altri la cui somma sia uguale all'addendo che si sostituisce.
Se ad esempio nell'addizione 13+15+12=40 all'addendo 15 si sostituiscono i due addendi 10 e 5, di cui esso è la somma, si ha: 13+10+5+12=40.
Anche questa proprietà si applica spesso per facilitare i calcoli mentalmente, ad esempio:
143+247=143+(200+40+7)=143+200+40+7=343+40+7=343+40+7=383+7=390.
Somma di due numeri interi o decimali
Si scrivono uno sotto l'altro i numeri in modo che le cifre dello stesso ordine si trovino sulla stessa colonna verticale e al di sotto dell'ultimo addendo si traccia una sbarretta orizzontale.
Si addizionano le cifre delle unità e la somma, se non è maggiore di nove, la si scrive sotto la sbarretta orizzontale nella stessa colonna delle unità. Se invece la somma è maggiore di nove, si scrivono solo le cifre delle sue unità, aggiungendo le cifre delle sue decine alla colonna delle decine. Allo stesso modo si procede per le altre colonne fino all'ultima di sinistra, nella quale il risultato lo si scrive così come lo si ottiene. Esempi:
Se gli addendi sono numeri decimali, si scrivono incolonnati gli uni sotto gli altri in modo che le virgole si trovino in una stessa colonna verticale; si esegue poi l'addizione come se si trattasse di numeri interi, e si scrive nel risultato una virgola nella stessa colonna delle virgole.
SOTTRAZIONE
Differenza di due numeri
Si considerano due numeri, di cui il primo sia maggiore o uguale al secondo.
Dicesi differenza fra i due numeri un terzo numero che sommato al secondo ci dà il primo. Esempi:
Si indichi con 8-3 la differenza fra i numeri 8 e 3: 8-3=5, perchè 5+3=8.
Dalla definizione risulta che la differenza di due numeri uguali è uguale a zero e che la differenza fra un numero e zero è lo stesso numero, cioè: 5-5=0; 5-0=5.
Si dice sottrazione l'operazione per mezzo della quale si determina la differenza fra due numeri, il primo dei quali si dice minuendo ed il secondo sottraendo. Il risultato dell'operazione si dice differenza o resto. Esempio: 125 (munuendo)-34 (sottraendo)=91 (differenza o resto).
Per verificare l'esattezza dell'operazione eseguita, cioè fare la prova della sottrazione, si applica la definizione data.
PROPRIETA' DELLA SOTTRAZIONE
Proprietà invariantiva
La differenza fra due numeri non cambia se ad entrambi si somma (o si sottrae se è possibile) lo stesso numero.
Infatti, data la sottrazione 75-14=61, se ad entrambi i termini si aggiunge lo stesso numero, ad esempio 8, si ottiene: (75+8)-(14+8)=83-22=61; se ad entrambi si toglie lo stesso numero, ad esempio 3, si ottiene: (75-3)-(14-3)=72-11=61.
Sottrarre da un numero la somma di due o più numeri, equivale a sottrarre dal primo ciascun addendo della somma.
Se ad esempio dal numero 56 si vuole togliere la somma 12+25=37 e calcolare 56-37=19, applicando tale proprietà si ottiene lo stesso risultato: 56-(12+25)=56-12-25=44-25=19.
La proprietà in questione è molto utile per effettuare i calcoli mentalmente; se ad esempio si vuole effettuare la sottrazione 144-68, si scompone mentalmente 68 nella somma 60+8 e si immagina poi l'operazione scritta come segue: 144-68=144-(60+8)=144-60-8=84-8=76.
Sottrarre altri numeri da un numero assegnato, equivale a sottrarre dal primo la loro somma.
Si suppone che al numero 32 si debbano togliere i mumeri 8 e 13: 32-8-13=24-13=11. Allo stesso risultato si perviene, togliendo la loro somma: 32-8-13=32-(8+13)=32-21=11.
Esempio di calcolo di una espressione contenente addizione e sottrazione: 27-15+7-8-2.
Si devono eseguire di seguito le seguenti operazioni: 27-15=12, 12+7=19, 19-8=11, 11-2=9, ottenendo 27-15+7-8-2=9.
Si perviene più rapidamente al risultato, se dalla somma di tutti i numeri da aggiungere (27+7) si sottrae la somma dei numeri da togliere (15+8+2): 27-15+7-8-2=(27+7)-(15+8+2)=24-25=9.
Esempio di calcolo di una espressione contenente addizione, sottrazione, parentesi tonde, quadre e graffe.
Se in una espressione vi sono operazioni di addizione e sottazione, conviene prima eseguire le operazioni contenute nelle eventuali parentesi, e se vi sono parentesi contenute in altre parentesi, occorre eseguire prima le operazioni contenute nelle parentesi più interne. Esempio:
{132-[175-(73+25-32)]}-20={132-[175-(98-32)]}-20={132-[175-66]}-20={132-[175-66]}-20={132-109}-20=23-20=3.
Sottrazione di due numeri interi o decimali
Si scrive il sottraendo sotto il minuendo in modo che le cifre dello stesso ordine si trovino sulla stessa colonna verticale e al di sotto dell'ultimo addendo si traccia una sbarretta orizzontale.
Si sottraggono, partendo da destra, dalle cifre di ciascun ordine del minuendo, le cifre delle unità dello stesso ordine del sottaendo. Se accade che la cifra delle unità del sottraendo è maggiore di quella dello stesso ordine del minuendo, si aggiungono dieci unità a quest'ultima, si esegue la sottazione e si aumenta di una unità la cifra di ordine immediatamente superiore del sottraendo.
La differenza fra due numeri decimali si calcola scrivendo il minore sotto il maggiore in in modo che le virgole si trovino in una stessa colonna verticale. Si procede con l'applicazione delle regole della sottrazione dei numeri interi e si scrive nel risultato una virgola nella stessa colonna delle virgole.
MOLTIPLICAZIONE
Prodotto di due numeri
Se si ha la somma di due o più numeri uguali, ad esempio: 9+9+9+9=36, si conviene scrivere tale somma con una delle seguenti due scritture: 9x4=36 o 9*4=36; ciascuna si esse dicesi prodotto di 9 per quattro. Il numero 9, che è uno degli addendi della somma considerata, si dice moltiplicando ed il numero quattro, che indica il numero degli addendi uguali che si sommano, dicesi moltiplicatore. Entrambi si chiamano fattori del prodotto.
Dicesi prodotto di un numero per un numero intero, diverso da zero e da uno, la somma di tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo. Esempi:
8x6=8+8+8+8+8+8, 7x5=7+7+7+7+7.
L'operazione che consente di calcolare il prodotto di due numeri dicesi moltiplicazione.
TAVOLA PITAGORICA
La tavola pitagorica è una matrice di numeri che si memorizza per eseguire manualmente, con discreta efficenza, qualsiasi moltiplicazione con il sistema di numerazione decimale. Ogni riga della tavola pitagorica si chiama tabellina e le righe dall'uno si dicono rispettivamente tabelline dell'uno, del due, del tre, del quattro, del cinque, del sei, del sette, dell'otto, del nove e del dieci.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Prodotto di più fattori
Si
dice prodotto di più fattori il numero ottenuto moltiplicando il
primo fattore per il secondo, il risultato ottenuto per il terzo e
così via fino all'ultimo dei fattori assegnati.
Esempi: 7x4x5=28x5=140, 6x8x5x3=48x5x3=240x3=720.
Esempi: 7x4x5=28x5=140, 6x8x5x3=48x5x3=240x3=720.
PROPRIETA' DELLA MOLTIPLICAZIONE
Proprietà commutativa
Scambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.
Esempio: 15x4x3=60x3=180, scambiando l'ordine dei fattori risulta 3x15x4=45x4=180, cioè il prodotto non cambia.
La proprietà commutativa dà la possibilità di effettuare la prova della moltiplicazione. Infatti, l'operazione eseguita è esatta, se moltiplicando i fattori in ordine diverso da quello assegnato, si ottiene lo stesso risultato.
Dalla definizione di prodotto e per la proprietà commutativa si ha che:
Il prodotto di due fattori, di cui uno è l'unità, è uguale all'altro fattore: 1x6=6, 8x1=8.
Il prodotto di due fattori è zero se uno dei due fattori è zero: 0x4=0, 3x0=0.
Ques'ultima proprietà prende il nome di legge di annullamento del prodotto.
Proprietà associativa
Dato il prodotto 7x5x8=280, se si sostituisce ai fattori 7 e 5 il loro prodotto 35, si ha: (7x5)x8=35x8=280. Si ha quindi la seguente proprietà:
In un prodotto di più fattori, a due o a più di essi si può sostituire il loro prodotto.
Proprietà dissociativa
Dato il prodotto 8x45=360, se si sostituisce 45 con i fattori 5 e 9, abbiamo: 8x5x9=360.
Si ha quindi la seguente proprietà: in un prodotto di più fattori, ad uno di essi si possono sostituire due o più altri fattori, purchè il loro prodotto sia uguale al fattore considerato.
La proprietà dissociativa facilita i calcoli mentalmente: dovendosi ad esempio moltiplicare i numeri 35x16, si opera facilmente come segue: 35x16=35x2x8=70x8x=560.
Proprietà distributiva rispetto alla somma e alla differenza
Data l'espressione (7+4+3)x5, si esegue prima l'addizione e poi moltiplicare il risultato ottenuto per 5: (7+4+3)x5=14x5=70. Allo stesso risultato si perviene operando nel modo seguente: (7+4+3)x5=(7x5)+(4x5)+(3x5)=35+20+15=70. Si ha quindi la seguente proprietà:
per moltiplicare una somma assegnata per un numero, si moltiplica ciascun addendo della somma per quel numero e si addizionano i prodotti così ottenuti.
Analogamente, invece di scrivere (13-6)x5=7x5=35, si può eseguire l'operazione come segue:
(13-6)x5=(13x5)-(6x5)=65-30=35, cioè:
per moltiplicare una differenza assegnata per un numero, si moltiplicano rispettivamente il minuendo e il sottraendo per quel numero e poi si effettua la differenza fra il primo ed il secondo prodotto ottenuti.
Casi particolari
Il prodotto di un numero intero per 10, 100, 1000, ecc. si ottiene scrivendo alla sua destra uno, due, tre, ecc. zeri. Esempi: 25x10=250, 30x100=3000, 50x1000=50000.
Il prodotto di due o più fattori, dei quali uno o più termini con gli zeri, si esegue effettuando il prodotto dei numeri senza tener conto degli zeri finali e facendo seguire il risultato ottenuto da tanti zeri quanti sono quelli finali che figurano complessivamente nei fattori. Infatti, si ha: 40x16=(4x16)x10=64x10=640; 230x40=(23x4)x100=92x100=9200.
Per moltiplicare un numero per 9 basta moltiplicarlo per 10 e dal risultato ottenuto sottrarre il numero stesso. Infatti, si ha: 75x9=75x(10-1)=75x10-75=750-75=675.
Per moltiplicare un numero per 11, basta moltiplicarlo per 10 ed aggiungere al risultato il numero assegnato. Infatti, si ha: 47x11=470+47=517.
Moltiplicazione di due numeri interi o decimali
Per moltiplicare due numeri interi, si scrive il moltiplicatore sotto il moltiplicando e si moltiplica, cominciando dalla destra, ogni cifra del moltiplicando per la cifra delle unità del moltiplicatore. Si scrivono le unità di ciascun prodotto parziale e le decine, se ve ne sono, si aggiungono al prodotto parziale successivo, l'ultimo prodotto si scrive per intero. Si ripete poi l'operazione moltiplicando ogni cifra del moltiplicando per la cifra delle decine del moltiplicatore e scrivendo i prodotti parìziali ottenuti in modo che la cifra delle unità di ciascuno sia al di sotto di quella delle decine del precedente, e così via. Infine si addizionano i vari prodotti parziali.
Per moltiplicare due numeri decimali si esegue l'operazione come se si trattasse di due numeri interi e poi si separa con la virgola nel risultato ottenuto, partendo da destra a sinistra, considerando tante cifre decimali quante sono complessivamente quelle decimali dei due fattori.
ESPRESSIONI ARITMETICHE
Se in un'espressione aritmetica non contenente parentesi figurano le operazioni di addizione, sottrazione e motiplicazione, occorre eseguire prima le moltiplicazioni e poi le altre due operazioni.
Esempio: 3+5x4-3x6-2=3+20-18-2=3.
Se invece nell'espressione figurano anche delle parentesi, occorre prima calcolare il valore dell'espressione contenuta nella parentesi più interne, riscrivendo la parte rimanente e procedere poi per le altre eventuali parentesi, dall'interno verso l'esterno. Esempio: 35-[4x7-(16-4x3)+(5x3-9)]=35-[4x7-(16-12)+(15-9)]=35-[28-4+6)]=35-30=5.
DIVISIONE
Quoziente di un numero per un altro
Dati due numeri interi, dei quali il secondo sia diverso da zero, si dice quoziente del primo per il secondo il maggior numero intero che moltiplicato per il secondo dà un prodotto che non supera il primo.
Pertanto il quoziente fra i numeri 35 e 8 è 4, perchè 4 è il più grande intero che moltiplicato per 8 dà un prodotto che non supera 35.
L'operazione che permette di calcolare il quoziente di due numeri dicesi divisione.
Il primo numero chiamasi dividendo ed il secondo divisore, entrambi si dicono termini della divisione.
Si dice resto di una divisione, la differenza fra il dividendo e il prodotto del divisore per il quoziente.
Pertanto, essendo 4 il quoziente della divisione di 35 per 8, il resto è dato da: 35-4x8=35-32=3. L'operazione di divisione si indica con 35: 8=4 con resto 3.
In tale espressione 35 è dividendo, 8 il divisore, 4 il quoziente e 3 il resto.
Il quoziente così trovato dicesi approssimato per difetto a meno dell'unità.
Ovviamente in una divisione il resto è sempre minore del divisore.
Prova della divisione
Se si moltiplica il quoziente per il divisore e si addiziona il resto della divisione al prodotto ottenuto, si ha come risultato il dividendo.
Cioè: quoziente x divisore + resto = dividendo.
Tale proprietà costituisce la prova della divisione, cioè stabilisce che la divisione è stata eseguita bene. Esempio: 35:8=4 con resto 3; 8x4+3=32+3=35.
Divisione propria o esatta
Se si esegue la divisione di 35 per 7, il quoziente è 5 ed il resto è zero, perche 5x7=35.
In tal caso la divisione dicesi propria o esatta ed il quoziente prende il nome di quoto. Pertanto:
Dicesi quoto di due numeri, se esiste, quel numero che moltiplicato per il divisore dà per prodotto il dividendo.
Per indicare che il quoto dei numeri 35 e 7 è 5, si scrive 35:7=5. E' evidente che:
In una divisione moltiplicando il quoto per il divisore si ha come prodotto il dividendo.
In una divisione propria si dice che il dividendo è divisibile per il divisore.
Casi particolari della divisione propria
1° - Se il dividendo è uguale al divisore, il quoto è uguale a 1. Esempio: 9:9=1, perchè 1x9=9
2° - Se il divisore è 1, il quoto è uguale al dividendo. Esempio: 9:1=9, perchè 9x1=9.
4° - Se il divisore è zero, e non lo è il
dividendo, il quoto non esiste. Cioè 9:0 è impossibile,
perchè non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia per
prodotto 9. Perciò la divisione per zero non ha senso.
PROPRIETA' DELLA DIVISIONE
Proprieta' invariantiva
Se si moltiplicano i due termini di una divisione, o si dividono se sono divisibili, per uno stesso numero, il quoziente resta invariato ed il resto, se c'è, rimane moltiplicato, o diviso, per quello stesso numero.
Si consideri la divisione: 55:15=3 con resto 10;
-se si moltiplicano i due termini della divisione per 4, si ottiene: (55x4):(15x4)=220:60=3 con resto 40=10x4.
Per dividere un prodotto per un numero, è sufficiente dividere per quel numero uno solo dei fattori che sia divisibile per quel numero.
Si consideri l'espressione (35x34):5=1190:5=238. Se si effettuano le operazioni come segue:
(35x34):5=(35:5)x34=7x34=238, si ottiene lo stesso risultato.
Da tale proprietà si ricava che:
per dividere un prodotto assegnato per uno dei suoi fattori, o per il prodotto di alcuni di essi, è sufficiente sopprimere nel prodotto tali fattori.
Si consideri l'espressione (7x13x4):13=364:13=28, allo stesso risultato si perviene sopprimendo il fattore 13 nel prodotto: (7x13x4):13=7x4=18.
Analogamente si ha: (5x7x9):(7x9)=5.
La seguente è un'applicazione di tale proprietà:
per dividere un numero che termina con degli zeri per 10, 100, 1000, ecc., è sufficiente sopprimere nel numero, ed alla sua destra, uno, due, tre, ecc. zeri.
Pertanto: 650:10=65, 8500:100=85, 53000:1000=53.
Per dividere un numero intero per 10,100,1000, ecc., è sufficiente separare con una virgola, nel dividendo, tante cifre a partire dalla destra, quanti sono gli zeri del divisore. Esempi: 530:10=53; 731:100=7,31; 19:1000=0,019.
Per dividere un numero decimale per 10, 100, 1000, ecc., è sufficiente spostare la virgola nel dividendo di tanti posti, verso sinistra, quanti sono gli zeri del divisore.
Esempi: 27,4:10=2,74; 4,4:100=0,044; 85,57:1000=0,08557.
DIVISIONE DI DUE NUMERI INTERI O DECIMALI
E' noto che per indicare il segno di divisione s'interpongono due puntini fra dividendo e divisore. La medesima cosa è disporre il dividendo e il divisore sulla stessa riga, separarli con un trattino verticale, segnare una sbarretta orizzontrale sotto il divisore e scrivere infine il quoziente.
QUOZIENTI APPROSSIMATI
Se dividendo due numeri interi la divisione non è esatta, si dice che: il quoziente approssimato per difetto a meno di 0,1 (un decimo); 0,01 (un centesimo); 0,001 (un millesimo); ... fra quei due numeri è il più grande numero con una, due, tre, ... cifre decimali che moltiplicato per il divisore dà un prodotto che non supera il dividendo.
Praticamente si procede così: si divide il dividendo per il divisore e si determina la parte intera del quoziente, si pone una virgola alla sua destra e si scrive uno zero alla destra del resto.
Si divide il numero ottenuto per il divisore e si ottiene la cifra dei decimi del quoziente dei numeri assegnati. Si scrive poi di nuovo uno zero alla destra del nuovo resto e si divide il numero ottenuto per il divisore ottenendo la cifra dei centesimi del quoziente dei numeri assegnati..., e così via.
PROPRIETA' DELLA DIVISIONE
Proprieta' invariantiva
Se si moltiplicano i due termini di una divisione, o si dividono se sono divisibili, per uno stesso numero, il quoziente resta invariato ed il resto, se c'è, rimane moltiplicato, o diviso, per quello stesso numero.
Si consideri la divisione: 55:15=3 con resto 10;
-se si moltiplicano i due termini della divisione per 4, si ottiene: (55x4):(15x4)=220:60=3 con resto 40=10x4.
-se si dividono i due termini della divisione per 5, si ottiene: (55:5):(15:5)=11:3=3 con resto 2=10:5.
Proprieta' distributiva della divisione
Per dividere una somma, o una differenza, per un numero, purchè tutti i termini della somma, o della differenza, siano divisibili per questo numero, è sufficiente dividere ciascun termine della somma, o della differenza, per quel numero e addizionare, o sottrarre, i quoti parzialmente ottenuti.
Si consideri l'espressione (32+48+16):16=96:16=6; se si effettuano le operazione come segue: (32+48+16):16=(32:16)+(48:16)+(16:16)=2+3+1=6, si ottiene lo stesso risultato.
Analogamente si ha: (75-15):5=(75:5)-(15:5)=15-3=12.
Proprieta' distributiva della divisione
Per dividere una somma, o una differenza, per un numero, purchè tutti i termini della somma, o della differenza, siano divisibili per questo numero, è sufficiente dividere ciascun termine della somma, o della differenza, per quel numero e addizionare, o sottrarre, i quoti parzialmente ottenuti.
Si consideri l'espressione (32+48+16):16=96:16=6; se si effettuano le operazione come segue: (32+48+16):16=(32:16)+(48:16)+(16:16)=2+3+1=6, si ottiene lo stesso risultato.
Analogamente si ha: (75-15):5=(75:5)-(15:5)=15-3=12.
Per dividere un prodotto per un numero, è sufficiente dividere per quel numero uno solo dei fattori che sia divisibile per quel numero.
Si consideri l'espressione (35x34):5=1190:5=238. Se si effettuano le operazioni come segue:
(35x34):5=(35:5)x34=7x34=238, si ottiene lo stesso risultato.
Da tale proprietà si ricava che:
per dividere un prodotto assegnato per uno dei suoi fattori, o per il prodotto di alcuni di essi, è sufficiente sopprimere nel prodotto tali fattori.
Si consideri l'espressione (7x13x4):13=364:13=28, allo stesso risultato si perviene sopprimendo il fattore 13 nel prodotto: (7x13x4):13=7x4=18.
Analogamente si ha: (5x7x9):(7x9)=5.
La seguente è un'applicazione di tale proprietà:
per dividere un numero che termina con degli zeri per 10, 100, 1000, ecc., è sufficiente sopprimere nel numero, ed alla sua destra, uno, due, tre, ecc. zeri.
Pertanto: 650:10=65, 8500:100=85, 53000:1000=53.
Per dividere un numero intero per 10,100,1000, ecc., è sufficiente separare con una virgola, nel dividendo, tante cifre a partire dalla destra, quanti sono gli zeri del divisore. Esempi: 530:10=53; 731:100=7,31; 19:1000=0,019.
Per dividere un numero decimale per 10, 100, 1000, ecc., è sufficiente spostare la virgola nel dividendo di tanti posti, verso sinistra, quanti sono gli zeri del divisore.
Esempi: 27,4:10=2,74; 4,4:100=0,044; 85,57:1000=0,08557.
DIVISIONE DI DUE NUMERI INTERI O DECIMALI
E' noto che per indicare il segno di divisione s'interpongono due puntini fra dividendo e divisore. La medesima cosa è disporre il dividendo e il divisore sulla stessa riga, separarli con un trattino verticale, segnare una sbarretta orizzontrale sotto il divisore e scrivere infine il quoziente.
Se dividendo due numeri interi la divisione non è esatta, si dice che: il quoziente approssimato per difetto a meno di 0,1 (un decimo); 0,01 (un centesimo); 0,001 (un millesimo); ... fra quei due numeri è il più grande numero con una, due, tre, ... cifre decimali che moltiplicato per il divisore dà un prodotto che non supera il dividendo.
Praticamente si procede così: si divide il dividendo per il divisore e si determina la parte intera del quoziente, si pone una virgola alla sua destra e si scrive uno zero alla destra del resto.
Si divide il numero ottenuto per il divisore e si ottiene la cifra dei decimi del quoziente dei numeri assegnati. Si scrive poi di nuovo uno zero alla destra del nuovo resto e si divide il numero ottenuto per il divisore ottenendo la cifra dei centesimi del quoziente dei numeri assegnati..., e così via.
DIVISIONE DI UN NUMERO INTERO PER UN NUMERO DECIMALE
Per dividere un numero intero per un numero decimale prima si fa seguire il dividendo di tanti zeri quante sono le cifre decimali del divisore, si toglie la virgola da quest'ultimo e poi si calcola il quoziente dei due numeri ottenuti.
DIVISIONE DI DUE NUMERI DECIMALI
Per dividere un numero decimale per un altro numero decimale si sopprime la virgola nel divisore, mentre nel dividendo la si trasporta verso destra di tanti posti quante sono le cifre decimali del divisore. Se le cifre decimali del dividendo sono minori di quelle del divisore si supplisce con gli zeri.
Quando si devono eseguire operazioni con numeri che hanno molte cifre decimali, per non complicare i calcoli, si trascurano quelle oltre un dato ordine. Se ad esempio in un numero decimale si trascurano tutte le cifre decimali oltre quella dei centesimi, si dirà che si è preso un valore approssimato per difetto a meno di 0,01 del numero dato.
Se si considera il numero 2,56789 e si trascurano le cifre oltre quella dei centesimi, si ottiene il numero 2,56, che è un valore approssimato per difetto a meno di 0,01 del numero dato. Invece, 2,57 è un valore approssimato per eccesso a meno di 0,01 del numero dato.
In generale, se l'ultima cifra decimale che si trascura è minore o uguale a 5, si conviene di prendere il valore approssimato per difetto, se invece la cifra è maggiore di 5 si assume il valore approssimato per eccesso. Pertanto, avendo il numero 3,742738 e volendo trascurare tutte le cifre oltre quella dei centesimi, si prenderà il valore arrotondato 3,74. Nel numero 2,787635, trascurando tutte le cifre oltre quella dei centesimi, si prenderà il valore arrotondato 2,79.
ESPRESSIONI ARITMETICHE
Per calcolare il valore di un'espressione aritmetica composta da operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, alcune o tutte all'interno di parentesi tonde, quadre e graffe, si procede come segue:
Si devono effettuare le operazioni indicate nelle parentesi più interne, tenendo presente che le operazioni che si fanno prima sono moltiplicazione, divisione e poi tutte le altre. Esempio:
{[(8+5x4):7+(6+12:3)x2]:3-(15-3x4)x2}x5-8={[(8+20):7+(6+4)x2]:3-(15-12)x2}x5-8=
{[28:7+10x2]:3-3x2}x5-8={[4+20]:3-3x2}x5-8={24:3-3x2}x5-8={8-6}x5-8=2x5-8=10-8=2.
Per dividere un numero intero per un numero decimale prima si fa seguire il dividendo di tanti zeri quante sono le cifre decimali del divisore, si toglie la virgola da quest'ultimo e poi si calcola il quoziente dei due numeri ottenuti.
DIVISIONE DI DUE NUMERI DECIMALI
Per dividere un numero decimale per un altro numero decimale si sopprime la virgola nel divisore, mentre nel dividendo la si trasporta verso destra di tanti posti quante sono le cifre decimali del divisore. Se le cifre decimali del dividendo sono minori di quelle del divisore si supplisce con gli zeri.
Quando si devono eseguire operazioni con numeri che hanno molte cifre decimali, per non complicare i calcoli, si trascurano quelle oltre un dato ordine. Se ad esempio in un numero decimale si trascurano tutte le cifre decimali oltre quella dei centesimi, si dirà che si è preso un valore approssimato per difetto a meno di 0,01 del numero dato.
Se si considera il numero 2,56789 e si trascurano le cifre oltre quella dei centesimi, si ottiene il numero 2,56, che è un valore approssimato per difetto a meno di 0,01 del numero dato. Invece, 2,57 è un valore approssimato per eccesso a meno di 0,01 del numero dato.
In generale, se l'ultima cifra decimale che si trascura è minore o uguale a 5, si conviene di prendere il valore approssimato per difetto, se invece la cifra è maggiore di 5 si assume il valore approssimato per eccesso. Pertanto, avendo il numero 3,742738 e volendo trascurare tutte le cifre oltre quella dei centesimi, si prenderà il valore arrotondato 3,74. Nel numero 2,787635, trascurando tutte le cifre oltre quella dei centesimi, si prenderà il valore arrotondato 2,79.
ESPRESSIONI ARITMETICHE
Per calcolare il valore di un'espressione aritmetica composta da operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, alcune o tutte all'interno di parentesi tonde, quadre e graffe, si procede come segue:
Si devono effettuare le operazioni indicate nelle parentesi più interne, tenendo presente che le operazioni che si fanno prima sono moltiplicazione, divisione e poi tutte le altre. Esempio:
{[(8+5x4):7+(6+12:3)x2]:3-(15-3x4)x2}x5-8={[(8+20):7+(6+4)x2]:3-(15-12)x2}x5-8=
{[28:7+10x2]:3-3x2}x5-8={[4+20]:3-3x2}x5-8={24:3-3x2}x5-8={8-6}x5-8=2x5-8=10-8=2.