MIKY & GENNY

NUMERI PRIMI ---> INDICE

DEFINIZIONI

E' noto che un numero qualsiasi è sempre divisibile per se stesso e per l'unità, cioè qualsiasi numero, eccetto 1, ha sempre due divisori. Ma mentre alcuni numeri hanno solamente questi due divisori, ve ne sono moltissimi che ne ammettono altri oltre questi. Il numero 17 è divisibile per se stesso e per l'unità, mentre il numero 18 è divisibile per 1, 2, 3, 6, 9 e 18.
Per distinguere gli uni dagli altri li chiamiamo rispettivamente numeri primi e numeri composti. Pertanto: Un numero intero si dice primo quando è divisibile solo per stesso e per l'unità.
I numeri 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... sono tutti numeri primi.
Si può dimostrare che: I numeri primi sono in numero illimitato.
Cioè scritto un numero primo comunque grande, ne esiste un altro, anche primo e maggiore di quello assegnato. Siccome non esiste alcuna regola per riconoscere se un numero è primo, sono state costruite delle tavole contenenti i numeri primi compresi fra due dati numeri. Di seguito è riportata la tavola dei numeri primi minori di 1000.

TAVOLA DEI NUMERI PRIMI MINORI DI 1000
2	191	439	709
3	193	443	719
5	197	449	727
7	199	457	733
11	211	461	739
13	223	463	743
17	227	467	751
19	229	479	757
23	233	487	761
29	239	491	769
31	241	499	773
37	251	503	787
41	257	509	797
43	263	521	809
47	269	523	811
53	271	541	821
59	277	547	823
61	281	557	827
67	283	563	829
71	293	569	839
73	307	571	853
79	311	577	857
83	313	587	859
89	317	593	863
97	331	599	877
101	337	601	881
103	347	607	883
107	349	613	887
109	353	617	907
113	359	619	911
127	367	631	919
131	373	641	929
137	379	643	937
139	383	647	941
149	389	653	947
151	397	659	953
157	401	661	967
163	409	673	971
167	419	677	977
173	421	683	983
179	431	691	991
181	433	701	997

Quando si vuole sapere se un numero è primo e non si ha a disposizione la tavola dei numeri primi, si deve tenere presente che:
Un numero è primo se non è divisibile per nessuno dei numeri primi il cui quadrato è minore del numero dato. Cioè si divide il numero dato per i successivi numeri primi e, se qualche divisione è esatta, iI numero non è primo; altrimenti si continuano le divisioni finchè non si trova un quoziente minore o uguale al divisore.

SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO COMPOSTO IN FATTORI PRIMI

Scomporre un numero in fattori primi significa trovare i numeri primi il cui prodotto è uguale al numero dato.
Se ad esempio si ha il numero composto 30, si osserva che è divisibile per 2, perciò si può scrivere 30=15x2. A sua volta il fattore 15 è divisibile per 3 perciò 15=3x5. Sostituendo nell'espressione precedente, si ha 30=2x3x5. In tal modo si sono trovati i fattori primi 2, 3 e 5 il cui prodotto è uguale al numero 30 assegnato. Pertanto si può applicare la seguente regola:
Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più piccolo numero primo, suo divisore; si divide poi il quoziente ottenuto per il suo più piccolo divisore primo, e così via finchè si ottenga per quoziente 1. Se si moltiplicano tutti i numeri primi adoperati come divisori, si ottiene il numero dato.
Ad esempio, si scompone in fattori primi il numero 180:
il più piccolo divisore primo di 180 è 2 ed il quoziente 90 si scrive al di sotto di 180,
il più piccolo divisore primo di 90 è 2 ed il quoziente 45 si scrive al di sotto di 90,

il più piccolo divisore primo di 45 è 3 ed il quoziente 15 si scrive al di sotto di 45,

il più piccolo divisore primo di 15 è 3 ed il quoziente 5 si scrive al di sotto di 15,

il più piccolo divisore primo di 5 è 5 ed il quoziente 1 si scrive al di sotto di 5.
Praticamente le operazioni effettuate devono disporsi come segue:

Pertanto si ha: 180=2x2x3x3x5=2²x3²x5.

Si può osservare che se si scompongono in fattori primi 10, 100, 1000, 10000, ... , si ha:

Pertanto si ha: 10=2x5.

Pertanto si ha: 100=10²=2²x5².

Pertanto si ha: 1000=10³=2³x5³.

Quindi si può dire che: Una potenza di 10 è uguale al prodotto dei fattori primi 2 e 5 elevati ad un esponente uguale allo stesso esponente della potenza data.
Pertanto, per scomporre più rapidamente un numero primo che termina con uno o più zeri, si opera così: ad esempio si consideri il numero 1400 che, terminando con due zeri, è divisibile per 100, perciò invece di dividerlo per il suo più piccolo divisore 2, lo si divide per 100=2²x5² e quindi alla destra della linea verticale si può scrivere 2²x5² e si continua la scomposizione con la regola note.

Pertanto si ha: 1400=2³x5²x7.

Analogamente si risolve:

Pertanto si ha: 71400=2³x3x5²x7x17.

CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA'

Per stabilire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione, è sufficiente applicare la seguente regola:
Un numero è divisibile per un altro, se scomposti entrambi in fattori primi, nel primo vi siano almeno tutti i fattori del secondo con esponente maggiore od uguale.
Pertanto, per determinare il loro quoziente, si può applicare l'ulteriore regola seguente:
Dati due numeri scomposti in fattori primi, dei quali il primo è divisibile per il secondo, il loro quoziente è formato da fattori primi del dividendo non comuni al divisore presi con l'esponente con cui figurano e dai fattori primi comuni, presi con l'esponente uguale alla differenza dei due esponenti, con cui essi figurano nel dividendo e nel divisore.
Esempio: Verificare se il numero 23760 è divisibile per 396 senza eseguire la divisione.
Si scompongono i due numeri in fattori primi: 23760=2⁴x3³x5x11 e 396=2²x3²x11. Poichè il primo numero contiene tutti i fattori dl secondo con esponente uguale o maggiore, esso è divisibile per il secondo e il loro quoto si trova applicando la regola suddetta, cioè:
23760:396=(2⁴x3³x5x11):(2²x3²x11)=2^4-2x3^3-2x5x11^1-1=2²x3¹x5x11⁰=4x3x5x1=60.