Generalità
Ad
un mediatore che abbia fatto concludere un affare, ad un viaggiatore di
commercio che abbia ricevuto ordinazioni per un certo ammontare,
spetta un compenso che prende il nome di percentuale e si calcola ad un tanto per cento,
o ad un tanto per mille. Il tanto per cento si chiama tasso
percentuale. Ad esempio, dire che ad un mediatore che fa vendere una casa
spetta il 2 per cento di mediazione, significa che egli riceve
€ 0,02 per ogni euro della somma stabilita per la vendita. Le
espressioni 2 per cento, 3,5 per cento, 5 per mille, ecc., si indicano
così: 2%, 3,5%, 5‰. I problemi sulle percentuali
sono casi particolari di problemi del tre semplice, e si risolvono
perciò o col metodo di riduzione all'unità, o con quello
delle proporzioni.
Ricerca della percentuale, del numero e del tasso percentuale
Si
risolve ora il seguente problema: e' stata acquistata una radio che
costava € 18; avendola pagata in contanti, si è ottenuto un
ribasso del 3%. Quale è stato il ribasso totale?
Indicando
con X il ribasso totale richiesto, poichè il costo della radio
ed il ribasso ottenuto sono direttamente proporzionali, basta risolvere
il problema del tre semplice diretto, si ha:
da cui si trae 100:18=3:X, ossia:
Quindi il ribasso ottenuto è stato di € 0,54.
Pertanto,
indicando con t il tasso percentuale, con N il numero di cui si vuole
calcolare la percentuale e con P la percentuale, si ha:
da cui si ricavano le formule:
quindi: per
calcolare la percentuale di un numero N, basta moltiplicarlo per
il tasso percentuale e dividere per cento il risultato ottenuto.
Un
numero N di cui si conosce la percentuale ad un certo tasso, si ottiene
moltiplicando la percentuale per cento e dividendo per il tasso il
risultato ottenuto.
Il tasso percentuale si ottiene moltiplicando la percentuale per cento e dividendo per il numero il risultato ottenuto.
Esempio: un mediatore ha ricevuto un compenso di € 500 per la vendita di un
appartamento. Se il tasso percentuale di mediazione è stato del
2%, qual'è il costo dell'appartamento?
Applicando la formula (2), si ha:
quindi l'appartamento costa € 25000.
Esempio: un viaggiatore di commercio ha ricevuto ordinazioni per € 3500 ed
ottiene dalla sua ditta il compenso di € 105. Qual'è stato
il suo guadagno percentuale?
Applicando la formula (3), si ha:
quindi il tasso percentuale è 3%.
INTERESSE
Generalità
Chi
cede in prestito, per un certo periodo di tempo, una somma di denaro ad
una Banca, ad una Cassa di risparmio, ad un'altra persona, riceve nel
periodo stabilito per la restituzione oltre la somma prestata anche un
compenso che prende il nome di interesse. Perciò:
l'interesse è il compenso che spetta a chi presta una somma di denaro per un certo tempo.
La somma prestata si dice capitale e l'interesse che si ricava da € 100 prestati per un anno si dice tasso percentuale o ragione.
Quindi se il tasso d'impiego di un capitale è del 5 per cento,
che si scrive 5%, significa che ogni 100 euro fruttano, a chi li ha
prestati per un anno, il compenso di € 5. L'epoca in cui il
prestito termina, dicesi scadenza.
Un capitale si dice impiegato ad interesse semplice
quando gl'interessi maturati alla fine di ogni anno non si aggiungono
al capitale, cioè rimangono infruttiferi durante i successivi
anni d'impiego; quindi nell'interesse semplice frutta solo il capitale
impiegato.
Calcolo dell'interesse semplice
E' evidente che l'interesse
semplice è una grandezza variabile che dipende dall'ammontare
del capitale prestato, dal tempo d'impiego e dal tasso, ed è
come si può facilmente verificare, direttamente proporzionale a
queste tre grandezze. Perciò i problemi di interesse non sono
che particolari casi dei problemi del tre composto.
Indicando con I l'interesse di un capitale C impiegato al tasso r per t anni, applicando il metodo di riduzione all'unità, si ha:
Se 100 € in un anno fruttano l'interesse r, 1 € in un anno frutta l'interesse:
C € in un anno fruttano l'interesse:
e C € in t anni l'interesse:
Si ottiene così l'importante formula:
Cioè: per calcolare l'interesse
semplice di un dato capitale, basta moltiplicare questo capitale per la
ragione e per il tempo, espresso in anni, e dividere poi per 100 il
prodotto ottenuto.
Ricerca del capitale, della ragione e del tempo
Dalla formula:
moltiplicando ambo i membri per cento: I x 100=C x r x t e da questa, dividendo ambo i membri per r x t, si ha:
dividendo ambo i membri per C x t, si ha:
dividendo ambo i membri per C x r, si ha:
Queste formule danno la
possibilità di calcolare il capitale, la ragione e il tempo
conoscendo le altre tre grandezze, e quando il tempo è espresso
in anni.
Se il tempo viene espresso in mesi o in giorni, tenendo
presente che l'anno commerciale viene considerato di 12 mesi o 360
giorni, ponendo:
ove m e g rappresentano il numero dei mesi e dei giorni d'impiego, si ottengono le altre formule:
che
permettono di calcolare rispettivamente l'interesse, il capitale, il
tasso ed il tempo, quando questo viene espresso in mesi o in giorni.
Esempi:
1)-Calcolare l'interesse prodotto dal capitale di € 2500 impiegato per 3 anni al 4%.
Applicando la formula (1), si ha:
2)-Calcolare l'interesse prodotto dal capitale di € 360 impiegato per 1 anno e 9 mesi al 5%
Tenendo presente che 1 anno e 9 mesi equivalgono a 21 mesi.
Applicando la prima delle formule (5), si ha:
3)-Calcolare l'interesse prodotto dal capitale di € 81000 impiegato per 24 giorni al 3,5%. Applicando la seconda delle formule (5), si ha:
4)-Quale è il capitale che impiegato per 3 anni e 2 mesi al 5% ha prodotto l'interesse di € 2450?
Tenendo presente che 3 anni e 2 mesi equivalgono a 38 mesi, applicando la prima delle formule (6), si ha:
5)-A quale tasso sono stati impiegati € 4800 se in 2 anni e 4 mesi hanno fruttato € 392 di interesse?
Tenendo presente che 2 anni e 4 mesi equivalgono a 28 mesi, applicando la prima delle formule (7), si ha:
Perciò il tasso d'impiego è 3,5%.
6)-Per quanto tempo furono impiegati al 4% € 21000 se hanno fruttato € 1190 di interesse?
Applicando la formula (4), si ha:
Perciò il tempo d'impiego è 17/12 di anno e, riducendo il numero complesso, si ha 1 anno e 5 mesi.
MONTANTE
Si dice montante la somma del capitale e degli interessi prodotti in un dato periodo.
Si
può osservare che, a parità di tempo e tasso, il montante
M ed il capitale C sono direttamente proporzionali perciò,
notando che l'interesse di € 100 in t anni al tasso r è r x
t, si ha:
da cui 100:C=(100 + r x t):M, quindi:
Se invece
il tempo viene dato in mesi o in giorni, basta sostituire al posto di
100, 1200 o 36000, oppure esprimere il tempo in frazione di anno.
Esempio: Qual'è il il montante di € 3200 impiegati al 4% per 5 anni?
Applicando la formula (1), si ha:
SCONTO
Sconto commerciale
Se
un tale deve avere da un'altra persona una certa somma S ad una data
stabilita è evidente che conceda una riduzione o, come si dice,
uno sconto, se il debitore è disposto a pagare il suo debito prima dell'epoca fissata.
Lo sconto è la riduzione che si concede a chi paga una somma prima della scadenza, cioè dell'epoca stabilita.
La somma S che si dovrebbe esigere si chiama valore nominale o somma da scontare, mentre la somma Sc che il debitore paga al posto di quella, con anticipo sulla scadenza, si dice valore attuale o somma scontata.
E' chiaro
che il valore attuale risulta perciò la differenza fra il valore
nominale e lo sconto accordato, quindi, indicando con sc lo sconto, si
ha: Sc=S-sc.Si
indica inoltre con r lo sconto concesso su un capitale di € 100
che venga pagato un anno prima della scadenza. In commercio si adotta
una forma di sconto che è detto sconto commerciale, e precisamente:
Lo
sconto commerciale è l'interesse semplice del valore nominale
del debito, calcolato ad un certo tasso, per il tempo che intercorre
fra il giorno in cui lo si paga e quello della scadenza.
I
problemi di sconto sono perfettamente analoghi a quelli dell'interesse
semplice. Lo sconto commerciale si applica solo quando il periodo di
tempo è molto breve.
Nei problemi di sconto saranno applicate le seguenti formule, che in sostanza sono quelle stesse dell'interesse semplice:
Esse
permettono di calcolare lo sconto, la somma scontata, il valore
nominale, il tasso ed il tempo espresso in anni. Se il tempo è
espresso in mesi o in giorni, si applicano le stesse formule in cui al
posto di 100 si deve mettere rispettivamente 1200 o 36000.
Esempi:
1)-Se un tale ha pagato un debito di € 5200 3 mesi prima della scadenza, al tasso del 5%, quale somma ha versato?
Applicando la formula (1), si ha:
perciò la somma scontata è Sc=S-sc=€ (5200-65)=€ 5135.
2)-A quale tasso è stata scontata la somma di € 15000 pagata 5 mesi prima della scadenza se al suo posto si sono versati € 14750?
Applicando la formula (4) e tenendo conto che sc= €(15000-14750)=€ 250, si ha:
perciò il tasso è il 4%.
3)-Un tale pagando 8 mesi prima della scadenza un debito, ha ottenuto al tasso del 5% lo sconto di € 720. Qual'era il valore nominale del debito?
Applicando la formula (3), si ha:
4)-Oggi,
con € 24500 è stato pagato un debito quattro mesi prima
della scadenza. Se è stato accordato lo sconto del 6%, a quanto
ammontava quel debito?
Poichè su 100 € in quattro mesi, al 6% si ha uno sconto di 2 €, per ogni 100 € si sono pagati
€ (100-2)=€ 98 e poichè al posto della somma S si sono pagati € 24500, si ha: 100:98=S:24500, da cui: