MIKY & GENNY

RADICE QUADRATA E CENNI SULLA RADICE CUBICA ---> INDICE

QUADRATI

E' già noto che i quadrati dei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... sono 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... Questi numeri, essendo i quadrati di altri numeri, si dicono quadrati perfetti. Quindi, per stabilire se un numero è un quadrato perfetto, si applica la seguente regola:
Un numero intero è un
quadrato perfetto, se gli esponenti di tutti i suoi fattori primi sono numeri pari.
Esempio di quadrato perfetto: 144 è il quadrato di 12: 144=24x32=
22x22x32=(2x2x3)2=122.
Esempi
di quadrati non perfetti: 200=23x52, 135=33x5, 150=2x3x52.

RADICE
QUADRATA

Radice quadrata esatta

Si tratta di risolvere il problema inverso di quello appena visto, cioè dato un numero che sia
un quadrato perfetto, bisogna determinare il numero che elevato al quadrato dia quello come risultato.
La radice quadrata di un numero che sia un quadrato perfetto è quel numero che elevato al quadrato dà come risultato il numero dato.
Dalla definizione ne consegue che la radice quadrata di 25 è 5 perche 52=25, di 81 è 9 perchè 92=81. L'operazione che permette di calcolare la radice quadrate di un numero si dice estrazione di radice quadrata, e si rappresenta con il seguente simbolo:


Si può quindi scrivere:



Il numero che figura sotto il segno di radice prende il nome di radicando.

Radice quadrata aprossimata
Se un numero intero non è un quadrato perfetto è sempre compreso fra i quadrati di due numeri interi consecutivi, ad esempio il numero 23 è compreso fra i quadrati perfetti 16 e 25, cioè si ha: 16<23<25, che può scriversi sotto la forma 42<2<52. In tal caso si può dire che 4 è la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un'unità del numero 23 e scrivere:

 

Il numero 5 si dice invece radice quadrata approssimata per eccesso a meno di un'unità del numero 23. Si possono quindi enunciare le seguenti regole:
La
radice quadrata approssimata per difetto a meno di un'unità di un numero intero è il più grande numero intero il cui quadrato non supera il numero dato.
La radice quadrata approssimata per eccesso a meno di un'unità di un numero intero è il più piccolo numero intero il cui quadrato supera il numero dato.
In seguito si considereranno soltanto radici approssimate per difetto.
Da quanto detto ovviamente segue che le radici quadrate esatte, o approssimate a meno di un'unità dei numeri interi aventi non più di due cifre, si calcolano a mente, ad esempio si ha:


Estrazione della radice quadrata di un numero intero con più di due cifre
Si suppone ad esempio di voler calcolare la radice quadrata del numero 5476, si eseguono le seguenti operazioni:
1)-si scompone il numero dato in gruppi di due cifre partendo da destra verso sinistra, per cui l'ultimo gruppo potrà anche risultare di una sola cifra. Si estrae la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un'unità del primo gruppo di sinistra, che è 54 e si ottiene il numero 7, che è la prima cifra della radice cercata. Tale numero lo si scrive alla destra del radicale sopra la sbarretta orizzontale, ed il suo quadrato, cioè 49 lo si sottrae dal primo gruppo, ottenendo per resto 5:



      
2)-si scrive il secondo gruppo, cioè 76, alla destra del resto trovato e si stacca con un puntino l'ultima cifra alla destra del numero così ottenuto. Si fa poi il doppio della radice trovata, cioè 2x7=14 e lo si scrive sotto la barretta orizzontale:



3)-si determina il quoziente fra il numero 57 che rimane alla sinistra del puntino, con il doppio della radice trovata e si ha 57:14=4, osservando che se come quoziente si trova 10 o più di 10, si scrive al 9 loro posto. Il quoziente 4 si scrive alla destra del doppio della prima cifra della radice, cioè alla destra di 14 ed il numero 144 così ottenuto si moltiplica per lo stesso 4, ottenendo come prodotto 576. Poichè questo non supera 576 già trovato, lo si sottae da esso ottenendo per resto zero. Il numero 4 in tal modo determinato è la seconda cifra della radice. Pertanto lo si scrive a destra di 7 e si ottiene il numero 74, che è la radice quadrata del numero assegnato. Poichè il resto è zero, il numero 5476 è il quadrato perfetto di 74 come si può facilmente verificare.



Si calcola ora la radice quadrata del numero 66825.
1)-si scompone il numero dato in gruppi di due cifre partendo da destra verso sinistra e si estrae la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un'unità del primo gruppo di sinistra, cioè di 6 e si ha 2, che è la prima cifra della radice cercata. Tale numero si scrive alla destra del radicale sopra la sbarretta orizzontale, ed il suo quadrato, 22=4 lo si sottrae dal primo gruppo, cioè dal numero 6, ottenendo 2 come resto.



2)-si scrive il secondo gruppo, cioè 68, alla destra del resto trovato e si stacca con un puntino l'ultima cifra alla destra del numero così ottenuto. Si fa poi il doppio della radice trovata, cioè 2x2=4 e lo si scrive sotto la barretta orizzontale:

  

3)-si determina il quoziente fra il numero 26 che rimane alla sinistra del puntino, con il doppio della radice trovata e si ha 26:4=6. Tale quoziente si scrive alla destra del doppio della prima cifra della radice, cioè alla destra di 4 ed il numero 46 così ottenuto si moltiplica per lo stesso 6, ottenendo 276. Poichè questo numero supera 268, il quoziente 6 trovato non va bene. Si diminuisce di un'unità e si ha 5 che si scrive alla destra del 4, ottenendo 45, che moltiplicato per lo stesso 5 dà 225 che è minore di 268. Il numero 5 in tal modo determinato è la seconda cifra della radice, pertanto lo si scrive al disopra della sbarretta orizzontale accanto al numero 2. Il numero 225 si scrive al disotto di 268 e si esegue la sottrazione ottenendo per resto 43.



4)-si scrive infine il terzo gruppo, cioè 25, alla destra del resto 43 e si stacca con un puntino l'ultima cifra alla destra del numero così ottenuto. Si fa poi il doppio della radice trovata, cioè 25x2=50, e si calcola il quoziente  432:50=8. Tale quoziente si scrive alla destra  del 50 ed il numero 508 così ottenuto si moltiplica per lo stesso 8, ottenendo 4064 che non supera 4325. Perciò 8 è la terza cifra della radice, che si scrive in alto alla destra di 25, ottenendo il numero 258, mentre 4064 si scrive al disotto di 4325; si esegue infine la sottrazione e si determina il resto 261.



In conclusione, 258 è la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un'unità di 66.825 e 261 è il resto dell'operazione.

Caso particolare
Calcolare la radice quadrata del numero 43365.
Applicando lo stesso procedimento visto, si ha che la seconda cifra della radice è zero.



E' allora inutile sottrarre da 33 il prodotto 40x0=0. perchè la differenza rimane sempre 33, perciò si abbassa il gruppo successivo 65 accanto al 33, si stacca con un puntino l'ultima cifra a destra, senza tener conto di quello messo prima, e si continua l'operazione stabilendo quante volte il 40 sta nel 336, ecc.



Prova della radice quadrata
Per stabilire se una radice quadrata è stata ben eseguita, valgono le seguenti regole:
1)-Se nel calcolo della
radice quadrata di un numero il resto è zero, elevando al quadrato la radice trovata si deve ottenere il numero dato.
Se nel calcolo della radice quadrata di un numero si ha un resto, questo deve risultare minore del doppio della radice trovata. Per essere poi sicuri dell'esattezza dell'operazione eseguita si applica la regola:
2)-Il quadrato della radice trovata, aumentata del resto, deve dare come risultato il numero dato.

Esempio: si è trovato che



allora si è certi che l'operazione è stata ben eseguita.

Radice quadrata di un numero intero approssimata per difetto a meno di 0,1; 0,01; 0,001.
Si chiama radice quadrata di un numero intero approssimata per difetto a meno di 0,1; 0,01; 0,001; ecc. il più grande numero con una, due, tre, ecc. cifre decimali il cui quadrato non supera il numero dato.
La radice quadrata approssimata per eccesso a meno di 0,1; 0,01; 0,001; ecc. di un numero intero si ottiene aggiungendo un'unità all'ultima cifra decimale di quella calcolata poer difetto.
Per calcolare la radice quadrata di un numero intero approssimata per difetto a meno di 0,1; 0,01; 0,001; ecc. si scrive una virgola alla destra del numero seguita da tante coppie di zeri per quante sono le cifre decimali che si vogliono per la radice; si estrae poi la radice del numero così ottenuto senza tener conto della virgola, e ponendola invece nella radice, quando si abbassa il primo gruppo di zeri dopo la virgola.
Per indicare che di un numero si vuole calcolare la radice quadrata a meno di
0,1; 0,01; 0,001; si scrive rispettivamente:



Esempio:



Radice quadrata di un numero decimale
Per calcolare la radice quadrata di un numero decimale approssimata per difetto a meno di 0,1; 0,01; 0,001; ecc., lo si scompone in gruppi di due cifre cominciando dalla virgola, sia verso destra che verso sinistra. A seconda dell'approssimazione che si desidera per la radice, si devono avere alla destra della virgola 2, 4, 6,... cifre decimali, il che si può sempre ottenere scrivendo, se occorre, alla destra del numero dato uno o più zeri. Si calcola poi la radice del numero così ottenuto senza tener conto della virgola, e si staccano poi in essa una, due, tre, ... cifre decimali.



Radice quadrata di una frazione
La radice quadrata di una frazione, i cui termini sono quadrati perfetti, è un'altra frazione i cui termini sono le radici quadrate dei termini di quella assegnata. Esempi:


 
Se invece i termini della frazione non sono entrambi quadrati perfetti, si trasforma la frazione in un numero decimale, dividendo il numeratore per il denominatore, e si estrae poi la radice quadrata del numero così ottenuto. Ad esempio, calcolare:



Poichè si deve calcolare la radice a meno di 0,01, bisogna dividere il numeratore 25 per il denominatore 7 e determinare quattro cifre decimali per il quoziente: 25/7=25:7= 3,5714; quindi si ottiene:



Estrazione della radice quadrata con l'uso delle tavole
Esistono delle tavole per la ricerca dei quadrati e delle radici quadrate: nella prima colonna, vi sono i numeri interi da 1 a 1000; nella seconda colonna, i corrispondenti quadrati dei numeri della prima; nella quarta colonna, vi sono le radici approssimate per difetto a meno di 0,0001 (o esatte) dei corrispondenti numeri della prima colonna. Pertanto:
a)-Se il numero intero di cui si cerca la radice è minore di 1000, consultando la tavola si ha subito il valore della sua radice quadrata, ad esempio:


b)-Se il numero intero di cui si cerca la radice è maggiore di 1000, lo si cerca nella seconda colonna e, se lo si trova, il corrispondente numero della prima colonna è la sua radice quadrata, ed il numero dato è un quadrato esatto, ad esempio:



c)-Se il numero non si trova nella seconda colonna, non può essere un quadrato perfetto, ed allora sarà compreso fra i quadrati di due numeri interi consecutivi. Ad esempio, calcolare:


  
Come può osservarsi dalle tavole, il radicando è compreso fra i numeri 26569 e 26896 della seconda colonna, che sono rispettivamente i quadrati di 163 e 164, perciò si ha:



e quindi:
 
d)-Si vuole ora calcolare la radice quadrata approssimata a meno di 0,01 del numero intero 15.
Si è visto che in tal caso occorre calcolare:



cioè la radice quadrata

 

e separare poi nella radice trovata due cifre decimali. Procedendo come nel caso precedente, si può osservare dalle tavole che 150000 è compreso fra i numeri 149769 e 150544 della seconda colonna, che sono rispettivamente i quadrati di 387 e 388, perciò si ha:



quindi


e di conseguenza



e)-Se il numero dato è decimale, si pareggiano con uno zero, se occorre, le cifre decimali, si fa poi il conto come se la virgola non ci fosse e si separano nella radice trovata, una, due, ... cifre decimali a seconda che il dato numero abbia uno, due, ... gruppi, ciascuno dei quali di due cifre decimali. Ad esempio, calcolare:


Si scrive la radice sotto la forma:


Si sopprime la virgola e, procedendo come nel caso b) precedente, si ha:


perciò:


f)-Il più grande numero che figura nella seconda colonna della tabella è 1.000.000, quindi se il radicando supera tale numero, i metodi precedenti nion potrebbero applicarsi. Si può però facendo uso delle tavole semplificare notevolmente il calcolo dell'estrazione di radice quadrata.

Ad esempio, calcolare:


In questo caso, siccome il radicando supera 1.000.000, si considera il numero formato dai primi tre gruppi di sinistra, cioè 7.48.68 e si determina, come nel caso b), la sua radice approssimata per difetto a meno dell'unità, che è 273. Queste sono le prime tre cifre della radice richiesta.



Si procede poi nel modo seguente: il quadrato di 273, che è 74529, si sottrae dal numero formato dai primi tre gruppi del radicando, e le altre cifre della radice si calcolano secondo la regola generale applicata all'inizio. Pertanto si ha:



Ulteriore esempio, calcolare:
 

Si ha:


perciò, procedendo come nell'esempio precedente, ci si riconduce al calcolo di:



Quindi:


Applicazioni geometriche
L'estrazione di radice quadrata è un'operazione necessaria per la risoluzione di moltissimi problemi di geometria; alcuni dei più comuni sono i seguenti:
1)-Calcolare la misura del lato di un quadrato conoscendo la sua area.
Indicando con l la misura di un lato di un quadrato e con A la sua area, si ha: A=l2. Estraendo la radice quadrata dai due membri dell'uguaglianza, si ha:



cioè: la misura del lato del quadrato si ottiene estraendo la radice quadrata della sua area.

1)-Calcolare la misura del raggio di un cerchio conoscendo la sua area.
Indicando con r la misura del raggio di un cerchio e con A la sua area, si ha: A=π r2. Dividendo i due membri per π=3,14 ... ed estraendo la radice quadrata, dal risultato si ricava:



cioè: la misura del raggio di un cerchio si ottiene estraendo la radice quadrata del quoziente fra la sua area ed il numero π.

CUBI E RADICE CUBICA

Si è già detto che il cubo, o la terza potenza di un numero è il prodotto di tre fattori uguali a quel numero. I numeri che sono il cubo di un altro numero si dicono cubi perfetti.
Si dice radice cubica di un numero che sia un cubo perfetto, un altro numero che elevato al cubo dà come risultato il numero assegnato.
L'operazione che permette di calcolare la radice cubica di un numero si dice estrazione di radice cubica e si rappresenta col seguente simbolo:



Perciò, essendo:



si ha:



Se un numero intero è un cubo perfetto, se cioè scomposto in fattori primi, gli esponenti di qesti sono tutti multipli di tre, la radice cubica si ottiene dal prodotto degli stessi fattori ma con esponenti divisi per tre. Ad esempio, si ha:



Estrazione della radice cubica con l'uso delle tavole
Poichè la ricerca della radice cubica di un numero è alquanto laboriosa, l'uso delle tavole facilita notevolmente il calcolo. Alla fine della pagina si trova una tavola in cui sono calcolati i cubi e le radici cubiche dei primi 1000 numeri interi. Si vedrà ora come si usa nei vari casi.

Estrazione della radice cubica di un numero intero a meno di un'unità.
La radice cubica approssimata per difetto a meno di un'unità di un numero intero è il più grande numero intero il cui cubo non supera il numero assegnato.
Si è già visto che se un numero intero è minore di 1000, la sua radice cubica si trova subito. Si suppone ora che il numero sia compreso fra mille ed un bilione; in tal caso lo si cerca nella colonna dei cubi, cioè nella terza colonna, il numero dato, se lo si trova, sulla stessa orizzontale nella prima colonna si leggerà la radice cubica esatta. Se il numero dato non è un cubo perfetto, è compreso fra due numeri della colonna dei cubi. Al minore di questi, sulla stessa orizzontale e nella prima colonna, corrisponde un numero che è la radice cubica, approssimata per difetto a meno di un'unità, del numero assegnato. Ad esempio, calcolare:



Nella colonna dei cubi non figura il numero assegnato, ma si può osservare che esso è compreso fra i due numeri 571787 e 592704, che sono i cubi di 83 e 84, allora si può dire che:



Allo stesso modo si trova:



Estrazione della radice cubica di un numero intero, approssimata a meno di 0,1; 0,01; 0,001.
Si dice radice cubica  di un numero intero, approssimata a meno di 0,1; 0,01; 0,001 per difetto, il più grande numero con 1, 2, 3, ... cifre decimali, il cui cubo non superi il numero assegnato.
Si esaminano ora i seguenti casi:
a)-Se il numero è minore di 1000 la radice cubica approssimata a meno di 0,1; 0,01; 0,001 si trova già calcolata sulle tavole. Ad esempio:



b)-
Se il numero è maggiore di 1000 e si vuole determinare la sua radice cubica a meno di 0,1; 0,01; 0,001; ..., si scrive una virgola alla destra del numero assegnato e poi tanti gruppi di tre zeri quante sono le cifre decimali che si desiderano per la radice. Si calcola la radice cubica a mebo di di un'unità del numero così ottenuto, supponendo che non vi sia la virgola, e si staccano poi nella radice cubica una, due, tre, ... cifre decimali a seconda delle terne di zero scritte. Ad esempio, si ha:



c)-Per estrarre la radice cubica di un numero decimale a meno di 0,1; 0,01; 0,001; ..., si rende prima, se non lo è, il numero delle sue cifre decimali multiplo di 3, scrivendo se occorre alla destra del numero un adeguato numero di zero. Perciò se si vuole calcolare la radice cubica a meno di 0,1 occorrono tre cifre decimali, se si vuole a meno di 0,01 sei cifre decimali, ecc. Si determina poi la radice cubica del numero così ottenuto, senza tener conto della virgola, cioè come se fosse un intero, e si staccano infine nella radice cubica trovata, tante cifre decimali quanti sono i gruppi di tre cifre decimali del numero dato. Ad esempio, calcolare:



Radice cubica di una frazione
Per estrarre la radice cubica di una frazione i cui termini siano cubi perfetti, basta estrarre le radici cubiche dei suoi termini
. Perciò si ha:



In tal caso, per estrarre la radice cubica di una frazione a meno di una data unità decimale, basta trasformare quella frazione in un numero decimale ed estrarre poi la radice cubica del numero decimale ottenuto, ad esempio, si ha:


Applicazioni geometriche
1)-Indicando con l la misura dello spigolo di un cubo, il suo volume V è dato dalla formula V=l3, da cui estraendo la radice cubica risulta:



cioè: se si conosce il volume di un cubo, la misura dello spigolo si ottiene estraendo la radice cubica del volume.

1)-Indicando con r la misura del raggio di una sfera, il suo volume V è espresso dalla formula



da cui si ricava:



NumeriQuadratiCubiRadice quadrataRadice cubicaNumeriQuadratiCubiRadice quadrataRadice cubica
1111,00001,000050125100112575150122,38307,9423
2481,41421,259950225200412650600822,40547,9476
39271,73211,442250325300912726352722,42777,9528
416642,00001,587450425401612802406422,44997,9581
5251252,23611,710050525502512878762522,47227,9634
6362162,44951,817150625603612955421622,49447,9686
7493432,64581,912950725704913032384322,51677,9739
8645122,82842,000050825806413109651222,53897,9791
9817293,00002,080150925908113187222922,56107,9843
1010010003,16232,154451026010013265100022,58327,9896
1112113213,31662,224051126112113343283122,60537,9948
1214417283,46412,289451226214413421772822,62748,0000
1316921973,60562,351351326316913500569722,64958,0052
1419627443,74172,410151426419613579674422,67168,0104
1522533753,87302,466251526522513659087522,69368,0156
1625640964,00002,519851626625613738809622,71568,0208
1728949134,12312,571351726728913818841322,73768,0260
1832458324,24262,620751826832413899183222,75968,0311
1936168594,35892,668451926936113979835922,78168,0363
2040080004,47212,714452027040014060800022,80358,0415
2144192614,58262,758952127144114142076122,82548,0466
22484106484,69042,802052227248414223664822,84738,0517
23529121674,79582,843952327352914305566722,86928,0569
24576138244,89902,884552427457614387782422,89108,0620
25625156255,00002,924052527562514470312522,91298,0671
26676175765,09902,962552627667614553157622,93478,0723
27729196835,19623,000052727772914636318322,95658,0774
28784219525,29153,036652827878414719795222,97838,0825
29841243895,38523,072352927984114803588923,00008,0876
30900270005,47723,107253028090014887700023,02178,0927
31961297915,56783,141453128196114972129123,04348,0978
321024327685,65693,174853228302415056876823,06518,1028
331089359375,74463,207553328408915141943723,08688,1079
341156393045,83103,239653428515615227330423,10848,1130
351225428755,91613,271153528622515313037523,13018,1180
361296466566,00003,301953628729615399065623,15178,1231
371369506536,08283,332253728836915485415323,17338,1281
381444548726,16443,362053828944415572087223,19488,1332
391521593196,24503,391253929052115659081923,21648,1382
401600640006,32463,420054029160015746400023,23798,1433
411681689216,40313,448254129268115834042123,25948,1483
421764740886,48073,476054228376415922008823,28098,1533
431849795076,55743,503454329484916010300723,30248,1583
441936851846,63323,530354429593616098918423,32388,1633
452025911256,70823,556954529702516187862523,34528,1683
462116973366,78233,583054629811616277133623,36668,1733
4722091038236,85573,608854729920916366732323,38808,1783
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