MIKY & GENNY
RAPPORTI E PROPORZIONI ---> INDICE
RAPPORTI
Rapporto di due numeri
Si dice rapporto di due numeri, interi o frazionari, il secondo dei quali diverso da zero, il quoto del primo per il secondo. Perciò:
il rapporto fra 30 e 6 è 30:6=5, quello fra 7 e 5 è 7:5=1,4 e quello fra 11 e 3 è 11:3=11/3.
Il rapporto di due numeri a e b si indica come i quoti, cioè con una delle seguenti scritture: a:b o a/b. I numeri a e b si dicono termini del rapporto; il primo si chiama antecedente ed il secondo conseguente. Si dice valore di un rapporto il quoto della divisione fra il primo ed il secondo termine e, se la divisione non è esatta, il valore del rapporto si determina con l'approssimazione desiderata.
Se in un rapporto si scambia l'antecedente con il conseguente si ha un rapporto che si dice inverso di quello assegnato. Quindi il rapporto inverso di 7:5 è 5:7.
Quando ciò si verifica si dice che i quattro numeri, nell'ordine con cui sono stati scritti, formano una proporzione, perciò:
Quattro numeri, dati in un certo ordine, formano una proporzione quando il rapporto fra il primo e secondo è uguale a quello fra terzo e quarto. Una proporzione è perciò l'uguaglianza di due rapporti.
I quattro numeri che formano una proporzione si dicono termini della proporzione e prendono i seguenti nomi: il primo ed il quarto termine si chiamano estremi, il secondo ed il terzo medi, il primo ed il terzo antecedenti ed il secondo ed il quarto conseguenti. Il quarto termine prende anche il nome di quarto proporzionale dopo gli altri tre.
Proprietà fondamentale
Se quattro numeri, dati in un certo ordine, formano una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Infatti, data una qualsiasi proporzione, ad esempio 14:7=8:4, eseguendo il prodotto dei due estremi e quello dei due medi, si ha: 14x4=56 e 7x8=56, cioè i due prodotti risultano uguali.
Viceversa: quattro numeri, in un certo ordine, formano una proporzione, se il prodotto del primo e del quarto, e del secondo e terzo sono uguali.
Ad esempio, i quattro numeri 52, 13, 16, 4 formano una proporzione perchè 52x4=208 e 13x16=208, mentre invece i numeri 16, 5, 21, 7 non formano una proporzione perchè risulta 16x7=112 e 5x21=105.
Proprietà del permutare
Se in una proporzione si scambiano fra loro i due medi, o i due estremi, si ha una nuova proporzione.
Data la proporzione 52:13=16:4, scambiando i due medi o i due estremi, si ha: 52:16=13:4 e 4:13=16:52, che sono nuove proporzioni, come si può facilmente verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proprietà dell' invertire
Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene una nuova proporzione.
Data la proporzione 51:17=15:5, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ha: 17:51=15:5, che è una nuova proporzione come si può facilmente verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proporzioni ottenute da una data proporzione
Se quattro numeri sono in proporzione, lo sono in otto modi diversi.
Infatti data la proporzione 51:17=15:5:
permutando i medi si ha: 51:15=17:5,
invertendo: 15:51=5:17,
permutando i medi si ha: 15:5=51:17,
invertendo: 5:15=17:51,
permutando i medi si ha: 5:17=15:51,
invertendo: 17:5=51:15,
permutando i medi si ha: 17:51=15:5.
Quindi data una proporzione, se ne possono ottenere altre sette aventi gli stessi termini.
Calcolo del termine incognito di una proporzione
Data la proporzione 15:5=21:Χ, ci si propone di determinare il valore della Χ, cioè dell'estremo incognito. Applicando la proprietà fondamentale: 15xΧ=5x21 e dividendo ambo i membri dell'uguaglianza per 15, si ricava:
Quindi: in ogni proporzione, un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso l'altro estremo. Si dice che in tal caso si è risolta la proporzione.
Procedendo allo stesso modo, se nella proporzione è incognito uno dei medi, ad esempio 51:17=Χ:4, si ha:17xΧ=51x4, pertanto:
Quindi: in ogni proporzione, un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l'altro medio.
Proporzioni continue
Una proporzione si dice continua se ha i due medi uguali.
Le proporzioni 9:6=6:4 e 9:15=15:25 sono esempi di proporzioni continue.
Una proporzione è continua anche se ha i due estremi uguali; infatti, se alla proporzione 6:12=3:6 si applica la proprietà dell'invertire, ci si riconduce al caso precedente.
Uno dei due medi uguali di una proporzione continua, si dice medio proporzionale fra i due estremi, e l'ultimo termine si dice terzo proporzionale fra i primi due.
Risoluzione di una proporzione continua
In una proporzione continua, il medio è uguale alla radice quadrata del prodotto dei due estremi.
Infatti, data la proporzione continua 15:Χ=Χ:4, applicando la proprietà fondamentale, si ha:
ΧxΧ=16x4, cioè Χ2=64 ed estraendo la radice quadrata dei due membri:
Poichè in genere il prodotto dei due estremi di una proporzione continua non è un quadrato perfetto, la radice si calcolerà con l'approssimazione che verrà richiesta.
Esempio: risolvere la proporzione 7:Χ=Χ:15.
Applicando la regola si ottiene:
e se si richiede tale valore con l'approssimazione di 0,01, si ha:
Proprietà del comporre
In ogni proporzione, la somma del primo e del secondo termine, sta al primo (o al secondo), come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).
Ad esempio, dalla proporzione 15:3=35:7, si ottengono (15+3):15=(35+7):35 e (15+3):3=(35+7):7, ovvero 18:15=42:35 e 18:3=42:7, che sono due nuove proporzioni, come si può verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proprietà dello scomporre
In ogni proporzione, la differenza fra il primo ed il secondo termine (supponendo che il primo sia maggiore del secondo), sta al primo (o al secondo), come la differenza fra il terzo ed il quarto sta al terzo (o al quarto).
Ad esempio, dalla proporzione 40:8=15:3, si ottengono (40-8):40=(15-3):15 e (40-8):8=(15-3):3, ovvero 32:40=12:15 e 32:8=12:3, che sono due nuove proporzioni, come si può verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proprietà del comporre e dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti
In ogni proporzione, la somma (o la differenza) degli antecedenti, sta alla somma (o differenza) dei conseguenti, come un antecedente sta al proprio conseguente.
Ad esempio, dalla proporzione 15:5=12:4 si ottengono le seguenti altre quattro:
si ottengono (15+12):(5+4)=15:5 e (15+12):(5+4)=12:4 e (15-12):(5-4)=15:5 e (15-12):(5-4)=12:4.
Esempi di applicazione del comporre e dello scomporre.
1)-Calcolare il valore della seguente proporzione: (8-Χ):Χ=13:3.
Applicando la proprietà del comporre, si ha: (8-Χ+Χ):Χ=(13+3):3, cioè 8:Χ=16:3, quindi
2)-Calcolare il valore della seguente proporzione: (5+Χ):Χ=12:8.
Applicando la proprietà dello scomporre, si ha: (5+Χ-Χ):Χ=(12-8):8, cioè 5:Χ=4:8, quindi:
3)-Calcolare il valore della seguente proporzione: (4-Χ):3=Χ:12.
Applicando la proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti, si ha:
(4-Χ+Χ):(3+12)=Χ:12, cioè 4:15=Χ:12, quindi:
Serie di rapporti
Si dice serie di rapporti, l'uguaglianza di tre o più rapporti.
Quindi:
cioè 3:4=9:12=15:20 (1) formano una serie di rapporti.
Si può facilmente verificare che: in una serie di rapporti, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualunque sta al proprio conseguente.
Applicando tale proprietà alla (1), si ha: (3+9+154):(4+12+20)=3:4. Infatti: 27:36=3:4 è una proporzione.
Si dice rapporto di due numeri, interi o frazionari, il secondo dei quali diverso da zero, il quoto del primo per il secondo. Perciò:
il rapporto fra 30 e 6 è 30:6=5, quello fra 7 e 5 è 7:5=1,4 e quello fra 11 e 3 è 11:3=11/3.
Il rapporto di due numeri a e b si indica come i quoti, cioè con una delle seguenti scritture: a:b o a/b. I numeri a e b si dicono termini del rapporto; il primo si chiama antecedente ed il secondo conseguente. Si dice valore di un rapporto il quoto della divisione fra il primo ed il secondo termine e, se la divisione non è esatta, il valore del rapporto si determina con l'approssimazione desiderata.
Se in un rapporto si scambia l'antecedente con il conseguente si ha un rapporto che si dice inverso di quello assegnato. Quindi il rapporto inverso di 7:5 è 5:7.
PROPORZIONI
Dati i seguenti 4 numeri: 35, 7, 15, 3, se si effettua il rapporto fra il primo e secondo e fra il terzo e il quarto, si ha 35:7=5 e 15:3=5, cioè i due rapporti sono uguali. Quindi si può scrivere: 35:7=15:3 e leggere 35 sta a 7 come 15 sta a 3.Quando ciò si verifica si dice che i quattro numeri, nell'ordine con cui sono stati scritti, formano una proporzione, perciò:
Quattro numeri, dati in un certo ordine, formano una proporzione quando il rapporto fra il primo e secondo è uguale a quello fra terzo e quarto. Una proporzione è perciò l'uguaglianza di due rapporti.
I quattro numeri che formano una proporzione si dicono termini della proporzione e prendono i seguenti nomi: il primo ed il quarto termine si chiamano estremi, il secondo ed il terzo medi, il primo ed il terzo antecedenti ed il secondo ed il quarto conseguenti. Il quarto termine prende anche il nome di quarto proporzionale dopo gli altri tre.
Proprietà fondamentale
Se quattro numeri, dati in un certo ordine, formano una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Infatti, data una qualsiasi proporzione, ad esempio 14:7=8:4, eseguendo il prodotto dei due estremi e quello dei due medi, si ha: 14x4=56 e 7x8=56, cioè i due prodotti risultano uguali.
Viceversa: quattro numeri, in un certo ordine, formano una proporzione, se il prodotto del primo e del quarto, e del secondo e terzo sono uguali.
Ad esempio, i quattro numeri 52, 13, 16, 4 formano una proporzione perchè 52x4=208 e 13x16=208, mentre invece i numeri 16, 5, 21, 7 non formano una proporzione perchè risulta 16x7=112 e 5x21=105.
Proprietà del permutare
Se in una proporzione si scambiano fra loro i due medi, o i due estremi, si ha una nuova proporzione.
Data la proporzione 52:13=16:4, scambiando i due medi o i due estremi, si ha: 52:16=13:4 e 4:13=16:52, che sono nuove proporzioni, come si può facilmente verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proprietà dell' invertire
Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene una nuova proporzione.
Data la proporzione 51:17=15:5, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ha: 17:51=15:5, che è una nuova proporzione come si può facilmente verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proporzioni ottenute da una data proporzione
Se quattro numeri sono in proporzione, lo sono in otto modi diversi.
Infatti data la proporzione 51:17=15:5:
permutando i medi si ha: 51:15=17:5,
invertendo: 15:51=5:17,
permutando i medi si ha: 15:5=51:17,
invertendo: 5:15=17:51,
permutando i medi si ha: 5:17=15:51,
invertendo: 17:5=51:15,
permutando i medi si ha: 17:51=15:5.
Quindi data una proporzione, se ne possono ottenere altre sette aventi gli stessi termini.
Calcolo del termine incognito di una proporzione
Data la proporzione 15:5=21:Χ, ci si propone di determinare il valore della Χ, cioè dell'estremo incognito. Applicando la proprietà fondamentale: 15xΧ=5x21 e dividendo ambo i membri dell'uguaglianza per 15, si ricava:
Quindi: in ogni proporzione, un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso l'altro estremo. Si dice che in tal caso si è risolta la proporzione.
Procedendo allo stesso modo, se nella proporzione è incognito uno dei medi, ad esempio 51:17=Χ:4, si ha:17xΧ=51x4, pertanto:
Quindi: in ogni proporzione, un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l'altro medio.
Proporzioni continue
Una proporzione si dice continua se ha i due medi uguali.
Le proporzioni 9:6=6:4 e 9:15=15:25 sono esempi di proporzioni continue.
Una proporzione è continua anche se ha i due estremi uguali; infatti, se alla proporzione 6:12=3:6 si applica la proprietà dell'invertire, ci si riconduce al caso precedente.
Uno dei due medi uguali di una proporzione continua, si dice medio proporzionale fra i due estremi, e l'ultimo termine si dice terzo proporzionale fra i primi due.
Risoluzione di una proporzione continua
In una proporzione continua, il medio è uguale alla radice quadrata del prodotto dei due estremi.
Infatti, data la proporzione continua 15:Χ=Χ:4, applicando la proprietà fondamentale, si ha:
ΧxΧ=16x4, cioè Χ2=64 ed estraendo la radice quadrata dei due membri:
Poichè in genere il prodotto dei due estremi di una proporzione continua non è un quadrato perfetto, la radice si calcolerà con l'approssimazione che verrà richiesta.
Esempio: risolvere la proporzione 7:Χ=Χ:15.
Applicando la regola si ottiene:
e se si richiede tale valore con l'approssimazione di 0,01, si ha:
Proprietà del comporre
In ogni proporzione, la somma del primo e del secondo termine, sta al primo (o al secondo), come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).
Ad esempio, dalla proporzione 15:3=35:7, si ottengono (15+3):15=(35+7):35 e (15+3):3=(35+7):7, ovvero 18:15=42:35 e 18:3=42:7, che sono due nuove proporzioni, come si può verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proprietà dello scomporre
In ogni proporzione, la differenza fra il primo ed il secondo termine (supponendo che il primo sia maggiore del secondo), sta al primo (o al secondo), come la differenza fra il terzo ed il quarto sta al terzo (o al quarto).
Ad esempio, dalla proporzione 40:8=15:3, si ottengono (40-8):40=(15-3):15 e (40-8):8=(15-3):3, ovvero 32:40=12:15 e 32:8=12:3, che sono due nuove proporzioni, come si può verificare applicando la proprietà fondamentale.
Proprietà del comporre e dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti
In ogni proporzione, la somma (o la differenza) degli antecedenti, sta alla somma (o differenza) dei conseguenti, come un antecedente sta al proprio conseguente.
Ad esempio, dalla proporzione 15:5=12:4 si ottengono le seguenti altre quattro:
si ottengono (15+12):(5+4)=15:5 e (15+12):(5+4)=12:4 e (15-12):(5-4)=15:5 e (15-12):(5-4)=12:4.
Esempi di applicazione del comporre e dello scomporre.
1)-Calcolare il valore della seguente proporzione: (8-Χ):Χ=13:3.
Applicando la proprietà del comporre, si ha: (8-Χ+Χ):Χ=(13+3):3, cioè 8:Χ=16:3, quindi
2)-Calcolare il valore della seguente proporzione: (5+Χ):Χ=12:8.
Applicando la proprietà dello scomporre, si ha: (5+Χ-Χ):Χ=(12-8):8, cioè 5:Χ=4:8, quindi:
3)-Calcolare il valore della seguente proporzione: (4-Χ):3=Χ:12.
Applicando la proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti, si ha:
(4-Χ+Χ):(3+12)=Χ:12, cioè 4:15=Χ:12, quindi:
Serie di rapporti
Si dice serie di rapporti, l'uguaglianza di tre o più rapporti.
Quindi:
cioè 3:4=9:12=15:20 (1) formano una serie di rapporti.
Si può facilmente verificare che: in una serie di rapporti, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualunque sta al proprio conseguente.
Applicando tale proprietà alla (1), si ha: (3+9+154):(4+12+20)=3:4. Infatti: 27:36=3:4 è una proporzione.