MIKY & GENNY

ELEMENTI NOTEVOLI DEI REALI ---> INDICE

Maggioranti e minoranti
Sia

Si chiama maggiorante di X, quando esiste ogni eventuale

che gode della seguente proprietà:

 xX : x ≤ k.

Quando un insieme è tale che esista un maggiorante, ne esistono infiniti; di conseguenza l'insieme dei maggioranti è vuoto, oppure è formato da infiniti elementi.

Si chiama minorante di X, quando esiste ogni eventuale

che gode della seguente proprietà:

xX : k ≤ x.

Quando un insieme è tale che esista un minorante, ne esistono infiniti; di conseguenza l'insieme dei minoranti è vuoto, oppure è formato da infiniti elementi.

Parte dei reali maggiorata o minorata
Una parte X dell'insieme dei reali si dice maggiorata, se esiste almeno un maggiorante di X.
Una parte X dell'insieme dei reali si dice minorata, se esiste almeno un minorante di X.

Più grande e più piccolo elemento di una parte dei reali
Sia

Si dice che un elemento m di X, quando esiste, è il più grande elemento di X, se e solo se

xX : x ≤ m.

Il più grande elemento è unico.
Infatti, se ne esistessero due, m ed m', si avrebbe

xX : x ≤ m',

xX : x ≤ m'';

e quindi:

m' ≤ m'', m'' ≤ m'  m' = m''.

Si dice che un elemento n di X, quando esiste, è il più piccolo elemento di X, se e solo se

xX : n ≤ x.

Nota bene
Se esiste il più grande elemento di X, esso è un maggiorante; se invece esiste il più piccolo elemento di X, esso è un minorante.

Estremo superiore - Teorema fondamentale
Si consideri il sottoinsieme X, non vuoto, dei reali:

e sia M l'insieme dei maggioranti di X.
Si dimostra che esiste sempre il più piccolo elemento di M, ed è unico, e si indica con sup(X) o supX, a cui si dà il nome di estremo superiore dell'insieme X, cioè

|supX.

Quando esiste almeno un maggiorante di X, ne esisteranno infiniti, e l'insieme X si dice limitato superiormente.

Si osserva ora che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:

Dimostrazione
a)  b)

La 1) della b) è senz'altro vera perchè, essendo l'estremo superiore dell'insieme X, e'' è il più piccolo elemento dell'insieme dei maggioranti e, come tale, è un maggiorante. Ma per definizione di maggiorante, si ha:

xX : x ≤ e'',

e quindi la 1) della b) è dimostrata.

Si consideri ora

si vuole dimostrare la 2) della b), cioè che

Ragionando per assurdo si suppone che 

xX : x ≤ a.

Ma ciò non può accadere, dal momento che, se a ≥ xX, a diventerebbe un maggiorante di X e ciò non può essere, perchè si è supposto a ≤ e'', dove e'' è il più piccolo elemento dell'insieme dei maggioranti. Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto a ≥ x, si può concludere che a < x.
In tal modo resta dimostrata la 2) della b).

Dimostrazione
b)  c)

La 1) della c) è vera, in quanto è espressa dall'ipotesi 1) della b).
Si consideri ora

si vuole dimostrare che

xX  e'' - ε < x.

Infatti, preso

risulta:

e'' - ε < e''.

Inoltre, se nella 2) della b), vera per ipotesi, si considera a = e'' - ε, si ha:

In tal modo resta dimostrata la 2) della c).

Dimostrazione
c)  a)

Supposta vera la c), si deve dimostrare che e'' è l'estremo superiore dell'insieme X, cioè che e'' è un maggiorante di X ed è il più piccolo.
Infatti, che e'' sia un maggiorante di X, segue immediatamente dalla 1) della c); affinchè sia il più piccolo, basta dimostrare che preso un maggiorante m di X, risulta m ≥ e''.

Ragionando per assurdo si suppone m < e'' e, se ciò accade, risulterà

e per la 2) della c),

cioè risulta

m < x.

Ma ciò è assurdo, perchè essendo m maggiorante di X, dev'essere maggiore di qualsiasi elemento xX. Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto m < e'', si può concludere che m ≥ e''.

Estremo inferiore - Teorema fondamentale
Si consideri il sottoinsieme X, non vuoto, dei reali:

e sia P l'insieme dei minoranti di X.
Si dimostra che esiste sempre il più grande elemento di P, ed è unico, e si indica con inf(X) o infX, a cui si dà il nome di estremo inferiore dell'insieme X, cioè

|infX.

Quando esiste almeno un minorante di X, ne esisteranno infiniti, e l'insieme X si dice limitato inferiormente.

Si osserva ora che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:

Anche in tal caso si dimostra, in modo analogo al precedente teorema, che

a)  b)  c)  a),

pertanto, si tralascia la dimostrazione.

Massimo
Se X è un insieme numerico che ha il più grande elemento, tale elemento è l'estremo superiore che, se fa parte dell'insieme, viene detto massimo.

Minimo
Se X è un insieme numerico che ha il più piccolo elemento, tale elemento è l'estremo inferiore che, se fa parte dell'insieme, viene detto minimo.