si dimostra che se f converge ad l al tendere di x ad x0, segue che anche il valore assoluto di f converge al valore assoluto di l al tendere di x ad x0, cioè
essendo
Infatti, per definizione f converge ad l al tendere di x ad x0, quindi si ha:
Si deve dimostrare che:
Fissato
in sua corrispondenza
e questa è la condizione di convergenza al |l| della funzione |f| al tendere di x ad x0.
Nota bene In tale teorema non vale l'implicazione opposta.
Si dimostra ora il seguente teorema:
nel caso in cui f diverga positivamente al tendere di x ad x0, cioè nell'ipotesi che
occorre dimostrare che
I nfatti, fissato
in sua corrispondenza, per ipotesi
Nota bene Anche in tale teorema non vale l'implicazione opposta.
Esempio
Allo scopo, si considera l'insieme
e si riconosce che 0Dr(X).
Infatti, affinchè ciò si verifichi, deve risultare
e ciò si verifica per qualche elemento di X, basta prendere x = r/2.
Analogamente, si dimostra che:
Si considera ora l'applicazione
Per le osservazioni fatte, ha senso parlare del limite seguente:
Si riconosce che esso è uguale a più infinito.
Si deve quindi dimostrare che:
Se k ≤ 0, il teorema è ovvio.
Se k > 0, basta riconoscere che
Si è quindi dimostrato che il limite del valore assoluto di f è uguale a più infinito.
Si dimostra che la funzione f non converge, nè diverge. Infatti,
se convergesse, dovrebbe anche convergere la funzione |f|, e ciò non è
vero per ipotesi.
Inoltre f non diverge neppure positivamente perchè,
se ciò fosse vero, ossia se
si avrebbe
e questo non è vero, perchè considerando
risulterebbe
e queste due disuguaglianze non sono mai verificate.
Si è così dimostrato che f non può divergere positivamente.
Analogamente, si dimostra che f non può divergere negativamente.
Sempre nelle stesse ipotesi, se si considerano le applicazioni