MIKY & GENNY

FUNZIONI IN VALORE ASSOLUTO ---> INDICE

Se


si dimostra che se f converge ad l al tendere di x ad x0, segue che anche il valore assoluto di f converge al valore assoluto di l 
al tendere di x ad x0, cioè


essendo


Infatti, per definizione 
f converge ad l al tendere di x ad x0, quindi si ha:




Si deve dimostrare che:


Fissato



in sua corrispondenza


e questa è la condizione di convergenza al |l| della funzione |f| al 
tendere di x ad x0.

Nota bene

In tale teorema non vale l'implicazione opposta.

Si dimostra ora il seguente teorema:


nel caso in cui f diverga positivamente
al tendere di x ad x0, cioè nell'ipotesi che


occorre dimostrare che

I
nfatti, fissato


in sua corrispondenza, per ipotesi


Nota bene

Anche in tale teorema non vale l'implicazione opposta.


Esempio



Allo scopo, si considera l'insieme


e si riconosce che 0
Dr(X).

Infatti, affinchè ciò si verifichi, deve risultare


e ciò si verifica per qualche elemento di X, basta prendere x = r/2.

Analogamente, si dimostra che:



Si considera ora l'applicazione


Per le osservazioni fatte, ha senso parlare del limite seguente:


Si riconosce che esso è uguale a più infinito.

Si deve quindi dimostrare che:


Se k
0, il teorema è ovvio.

Se k > 0, basta riconoscere che


Si è quindi dimostrato che il limite del valore assoluto di f è uguale a più infinito.


Si dimostra che la funzione f non converge, nè diverge.
Infatti, se convergesse, dovrebbe anche convergere la funzione |f|, e ciò non è vero per ipotesi.

Inoltre f non diverge neppure positivamente perchè, se ciò fosse vero, ossia se


si avrebbe


e questo non è vero, perchè considerando


risulterebbe


e queste due disuguaglianze non sono mai verificate.

Si è così dimostrato che f non può divergere positivamente.

Analogamente, si dimostra che f non può divergere negativamente.

Sempre nelle stesse ipotesi, se si considerano le applicazioni


si dimostra quanto segue: