MIKY & GENNY

FUNZIONI LIMITATE ---> INDICE

Considerati


e l'immagine diretta di X mediante f, cioè


si danno le seguenti definizioni:



in cui f(x) = y per definizione di immagine diretta.


L'elemento k si chiama maggiorante dell'applicazione f
.


in cui f(x) = y per definizione di immagine diretta.


L'elemento k si chiama minorante dell'applicazione f
.


Se l'insieme f(X) è dotato di estremo superiore, questo si chiama estremo superiore della funzione f e si indica e si assume per definizione come segue:


Se inoltre l'insieme f(X) è dotato di estremo inferiore, questo si chiama estremo inferiore della funzione f e si indica e si assume per definizione come segue:


E' noto che gli estremi superiore ed inferiore godono di alcune proprietà, che applicate in questi casi si esprimono come segue.

Indicato con


l'estremo superiore di f, si dimostra che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:


Indicato con


l'estremo inferiore di f, si dimostra che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:




Se f(X) ha il più grande elemento, esso si chiama il più grande valore dell'applicazione f.

Considerato



si dà la seguente definizione:


M è il più grande valore di f
 M è il più grande valore di f(X)

Mf(X),  f() = M  xX : f(x) M.

Se f(X) ha il più piccolo elemento, esso si chiama il più piccolo valore dell'applicazione f.

Considerato


si dà la seguente definizione:


m è il più piccolo valore di f
m è il più piccolo valore di f(X)

mf(X),  f() = m  xX : m f(x).

Solitamente si denominano massimo e minimo di f in X, rispettivamente il più grande valore ed il più piccolo valore.

Nota bene
L'insieme f(X), pur essendo dotato di
estremo superiore, non è detto che abbia il più grande valore; se invece f(X) ha il più grande valore, esso è dotato di estremo superiore. Analogamente, l'insieme f(X), pur essendo dotato di estremo inferiore, non è detto che abbia il più piccolo valore; se invece f(X) ha il più piccolo valore, esso è dotato di estremo inferiore.

Convenzione

Se si considerano ad arbitrio


ed un'applicazione f, si può costruire la restrizione di f ad A, cioè


Sono valide per convenzione le seguenti equivalenze:


Si osserva ora che, per quanto visto in precedenza, si ha:


Quindi, dire che l'applicazione f è limitata in una parte A del suo insieme X di definizione, equivale a dire che è limitata l'immagine di A per f.

Se


si dimostra che:


Dimostrazione
Fissato


in sua corrispondenza, per la convergenza di f al tendere di x ad x0,


Si deve dimostrare che


cioè che


Si presentano due casi:


Nel caso 1), si assumono

h = l - ε  e  k = l +
ε.

Quindi, considerato


Nel caso 1), si considera


e si pongono

h = min(f(x0), l -
ε)  e  k = max(f(x0), l + ε).

Quindi, considerato

x
UX,


se x = 
x f(x0) = f(x) h ≤ f(x0) ≤ k.

Si dimostra che:


Dimostrazione
Si deve riconoscere che l'insieme numerico dei valori di f non è limitato superiormente, cioè che preso un k reale esiste almeno un valore di X che sia maggiore di k. Infatti, siccome per ipotesi f diverge positivamente, considerato l'elemento reale k,
per definizione, in sua corrispondenza si ha:


Pertanto, poichè


Analogamente si dimostra che: