Considerati
e l'immagine diretta di X mediante f, cioè
si danno le seguenti definizioni:
in cui f(x) = y per definizione di immagine diretta.
L'elemento k si chiama maggiorante dell'applicazione f.
in cui f(x) = y per definizione di immagine diretta.
L'elemento k si chiama minorante dell'applicazione f.
Se
l'insieme f(X) è dotato di estremo superiore, questo si chiama estremo
superiore della funzione f e si indica e si assume per definizione come
segue:
Se inoltre l'insieme f(X) è dotato di estremo inferiore, questo si chiama estremo inferiore della funzione f e si
indica e si assume per definizione come segue:
E' noto che gli estremi superiore ed inferiore godono di alcune proprietà, che applicate in questi casi si esprimono come segue.
Indicato con
l'estremo superiore di f, si dimostra che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:
Indicato con
l'estremo inferiore di f, si dimostra che le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:
Se f(X) ha il più grande elemento, esso si chiama il più grande valore dell'applicazione f.
Considerato
si dà la seguente definizione:
M è il più grande valore di f M è il più grande valore di f(X)
Mf(X), X f() = M xX : f(x) ≤ M.
Se f(X) ha il più piccolo elemento, esso si chiama il più piccolo valore dell'applicazione f.
Considerato
si dà la seguente definizione:
m è il più piccolo valore di f m è il più piccolo valore di f(X)
mf(X), X f() = m xX : m ≤ f(x).
Solitamente si denominano massimo e minimo di f in X, rispettivamente il più grande valore ed il più piccolo valore.
Nota bene
L'insieme f(X), pur essendo dotato di estremo superiore, non è detto che abbia il più grande valore; se invece f(X) ha il più grande valore, esso è dotato di estremo superiore. Analogamente, l'insieme f(X), pur essendo dotato di estremo inferiore, non è detto che abbia il più piccolo valore; se invece f(X) ha il più piccolo valore, esso è dotato di estremo inferiore.
Convenzione
Se si considerano ad arbitrio
ed un'applicazione f, si può costruire la restrizione di f ad A, cioè
Sono valide per convenzione le seguenti equivalenze:
Si osserva ora che, per quanto visto in precedenza, si ha:
Quindi, dire che l'applicazione f è limitata in
una parte A del suo insieme X di definizione, equivale a dire che è
limitata l'immagine di A per f.
Se
si dimostra che:
Dimostrazione
Fissato
in sua corrispondenza, per la convergenza di f al tendere di x ad x0,
Si deve dimostrare che
cioè che
Si presentano due casi:
Nel caso 1), si assumono
h = l - ε e k = l + ε.
Quindi, considerato
Nel caso 1), si considera
e si pongono
h = min(f(x0), l - ε) e k = max(f(x0), l + ε).
Quindi, considerato
xUX,
se x = x0 f(x0) = f(x) h ≤ f(x0) ≤ k.
Si dimostra che:
Dimostrazione
Si
deve riconoscere che l'insieme numerico dei valori di f non è limitato
superiormente, cioè che preso un k reale esiste almeno un valore di X
che sia maggiore di k. Infatti, siccome per ipotesi f diverge
positivamente, considerato l'elemento reale k, per definizione, in sua corrispondenza si ha:
Pertanto, poichè
Analogamente si dimostra che: