Siano
si consideri inoltre la funzione somma
si dimostra il seguente teorema suddiviso in tre parti.
Dimostrazione 1).
Indicati con
si deve dimostrare che
Quindi, fissato
in corrispondenza di quest'ultimo valore, data la convergenza di f e g, rispettivamente ad l ed m al tendere di x ad x0,
Si indica ora
U = U' U'',
poichè U' ed U'' sono intorni di x0, anche U è intorno di x0, cioè
Sommando membro a membro, si ha:
(l + m) - ε < f(x) + g(x) < (l + m) + ε,
e questa è la condizione per cui
Dimostrazione 2).
Dire che
Si deve dimostrare che:
Quindi, fissato
in corrispondenza di quest'ultimo valore, data la divergenza positiva di f al tendere di x ad x0,
Si indica ora
U = U' U'',
poichè U' ed U'' sono intorni di x0, anche U è intorno di x0, cioè
Si osserva inoltre che:
allora, preso
Sommando membro a membro, si ha:
k < f(x) + g(x) = (f + g)(x),
e questa è la condizione per cui
Il caso rispettivo si dimostra analogamente.
Dimostrazione 3).
Fissato
in corrispondenza di quest'ultimo valore, data la divergenza positiva di f e g al tendere di x ad x0,
Si indica ora
U = U' U'',
poichè U' ed U'' sono intorni di x0, anche U è intorno di x0, cioè
Si osserva inoltre che:
allora, preso
Sommando membro a membro, si ha:
k < f(x) + g(x) = (f + g)(x),
cioè
k < (f + g)(x),
e questa è la condizione per cui
Il caso rispettivo si dimostra analogamente.
Corollario
In riferimento al precedente teorema 2), si dimostra:
Si
osserva ulteriormente che nulla si può dire della funzione somma, nella
quale una funzione diverge positivamente e l'altra negativamente.