MIKY & GENNY

FUNZIONI SOMMA ---> INDICE

Siano


si consideri inoltre la funzione somma


si dimostra il seguente teorema suddiviso in tre parti.



Dimostrazione 1).
Indicati con


si deve dimostrare che


Quindi, fissato


in corrispondenza
di quest'ultimo valore, data la convergenza di f e g, rispettivamente ad l ed m al tendere di x ad x0,


Si indica ora

U = U'
U'',

poichè U' ed U'' sono intorni di
x0, anche U è intorno di x0, cioè


Si osserva inoltre che:


allora, preso


Sommando membro a membro, si ha:

(l + m) - ε <
f(x) + g(x) < (l + m) + ε,

e questa è la condizione per cui




Dimostrazione 2).
Dire che


Si deve dimostrare che:


Quindi, fissato


in corrispondenza
di quest'ultimo valore, data la divergenza positiva di f al tendere di x ad x0,


Si indica ora

U = U'
U'',

poichè U' ed U'' sono intorni di
x0, anche U è intorno di x0, cioè


Si osserva inoltre che:


allora, preso


Sommando membro a membro, si ha:

k <
f(x) + g(x) = (f + g)(x),

e questa è la condizione per cui



Il caso rispettivo si dimostra analogamente.



Dimostrazione 3).
Fissato


in corrispondenza
di quest'ultimo valore, data la divergenza positiva di f e g al tendere di x ad x0,


Si indica ora

U = U'
U'',

poichè U' ed U'' sono intorni di
x0, anche U è intorno di x0, cioè


Si osserva inoltre che:


allora, preso


Sommando membro a membro, si ha:

k < f(x) + g(x) = (f + g)(x),

cioè

k <
(f + g)(x),

e questa è la condizione per cui


Il caso rispettivo si dimostra analogamente.

Corollario

In riferimento al precedente teorema 2), si dimostra:


Si osserva ulteriormente che nulla si può dire della funzione somma, nella quale una funzione diverge positivamente e l'altra negativamente.