MIKY & GENNY

INTERNI ---> INDICE

Punto interno ad una parte dei reali
Assegnati


si dà la seguente definizione:


L'insieme degli elementi interni ad X si indica:


Tale insieme è definito come segue:


In definitiva, assegnati


si ha:


Si osserva ora che se


Dimostrazione
Si consideri


pertanto risulta


come volevasi dimostrare.


Proprietà




Dimostrazione
Ovviamente risulta


basta quindi dimostrare che


Allo scopo, si considerino 



e l'intervallo aperto


che è intorno di ciascuno dei suoi punti, cioè


pertanto


come volevasi dimostrare.


Si dimostra ora che


Ragionando per assurdo, si suppone che


Se così fosse, dovrebbe esistere


e ciò è assurdo, quindi




Dimostrazione
Infatti, se

X =
,

si ha:

ovviamente vero per la proprietà 1).
Se

,

considerato



quindi


come volevasi dimostrare.




Dimostrazione
Applicando la 2), si ha:


resta da dimostrare che


Se

X = ,

per la 1), la proprietà è vera.
Dunque, si consideri


Si prenda ora l'elemento


Quindi, come è stato dimostrato, risulta:



Dimostrazione
Si dimostra prima che


Infatti, essendo


Si dimostra ora il viceversa, cioè


Infatti, si consideri


Per la validità della doppia inclusione, la 3) è vera.

Se


le seguenti due proposizioni sono equivalenti:



Dimostrazione

a)
b)

Siccome per la proprietà 2)



resta da dimostrare che


Infatti,
se fosse X = , per la proprietà 1) la b) sarebbe banalmente dimostrata; si consideri ora X e quindi xX e, siccome per ipotesi X è un insieme aperto, per una proprietà sugl'intorni, si ha:


Quindi, come è stato dimostrato, risulta:


Dimostrazione

b)
a)

Si consideri


per una proprietà precedente, e quindi X è un insieme aperto.