per la 1), la proprietà è vera. Dunque, si consideri
Si prenda ora l'elemento
Quindi, come è stato dimostrato, risulta:
Dimostrazione Si dimostra prima che
Infatti, essendo
Si dimostra ora il viceversa, cioè
Infatti, si consideri
Per la validità della doppia inclusione, la 3) è vera.
Se
le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione a) b)
Siccome per la proprietà 2)
resta da dimostrare che
Infatti, se fosse X = , per la proprietà 1) la b) sarebbe banalmente dimostrata; si consideri ora X ≠ e quindi xX e, siccome per ipotesi X è un insieme aperto, per una proprietà sugl'intorni, si ha:
Quindi, come è stato dimostrato, risulta:
Dimostrazione b) a)
Si consideri
per una proprietà precedente, e quindi X è un insieme aperto.