MIKY & GENNY

INTORNI ---> INDICE

Intorno di un punto
Assegnati

si dà la seguente definizione:

 

E' evidente che se

V è intorno di x xV.

Si osserva ora che l'insieme degl'intorni del punto x è indicato con bi gotica di x e definito come segue:

Proprietà degl'intorni

Dimostrazione 1)
E' ovvia, in quanto nella definizione a) basta sostituire U a V, ed essendo U  U, risulta:

Da tale proprietà si deduce che, considerate la sfera aperta e la sfera chiusa aventi stesso centro x₀ e stesso raggio r, essendo

la sfera chiusa è intorno di ciascun punto della sfera aperta, cioè si deve dimostrare che

Infatti, si considera

per la definizione a), sostituendo ad U e V rispettivamente la sfera aperta e la sfera chiusa, si ha:

 

Le proprietà 2), 3) e 4) si dimostrano facilmente.



Dimostrazione 5)
Siano

Dimostrazione 6)
Siano

Dimostrazione 7)
Siano

Assioma di separazione



Dimostrazione 8)
Per ipotesi sia

Si pongono ora, rispettivamente, uguali a V e W le sfere aperte di raggio r e centri x ed y, cioè:

B_r(x) = V e B_r(y) = W,

che sono intorni di x e di y, cioè:

Si deve dimostrare che:

V  W = ,

o equivalentemente che:

B_r(x)  B_r(y) = .

Si ragiona per assurdo, cioè si considera non vuota tale intersezione, quindi si suppone che esista l'elemento

zB_r(x)  B_r(y) zB_r(x), zB_r(y)  |z - x| < r, |z - y| < r 

x - r < z < x + r, y - r < z < y + r y - r < x + r, y - x < 2r.

Essendo

Ma per ipotesi

quindi si ha:

r < r,

è ciò è assurdo.

Siccome l'assurdo è derivato dall'aver supposto

B_r(x)  B_r(y) ≠,

si può concludere che

B_r(x)  B_r(y) = ,

come volevasi dimostrare.

Assegnati

si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:



Dimostrazione
a)  b)

Per ipotesi è vera la a), quindi

Dimostrazione
b)  a)

E' ovvia, se si tiene conto che B_r(x) è un insieme aperto contenuto in V e, di conseguenza, V è intorno di x.

Assegnati

si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:



Dimostrazione
a)  b)

La b) è vera per la proprietà

Dimostrazione
b)  a)

Considerato

xU,