PUNTI DI ACCUMULAZIONE ---> INDICE
Siano assegnati
Si dà la seguente definizione:
L'insieme dei punti di accumulazione di X si chiama derivato di X e si indica come segue:
In definitiva si ha:
Siano assegnati
Infatti,
come volevasi dimostrare.
Si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione
a) b)
Si considera
siccome
x X,
evidentemente
quindi
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione
b) a)
E' ovvia in quanto si è dimostrato in precedenza che
Nota bene
In generale, nulla si può dire circa le relazioni tra X e Dr(X), ossia se
Dr(X) X v X Dr(X).
Infatti, considerato
Si dimostra ora il viceversa e, allo scopo, siccome è noto che
Si dimostra ora che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a) X è chiuso,
b) Dr(X) X.
Dimostrazione
a) b)
Infatti, se X è chiuso, risulta:
Dimostrazione
b) a)
Per dimostrare che X è chiuso, deve risultare:
e da quest'ultima relazione segue che
Quindi,
per la validità della doppia inclusione, X coincide con la
propria aderenza, e quindi è un insieme chiuso, come volevasi
dimostrare.