MIKY & GENNY

PUNTI DI ACCUMULAZIONE ---> INDICE

Siano assegnati



Si dà la seguente definizione:




L'insieme dei punti di accumulazione di X si chiama derivato di X e si indica come segue:


In definitiva si ha:



Siano assegnati



si dimostra che:


Infatti,



come volevasi dimostrare.

Si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:



Dimostrazione
a)
b)

Si considera



siccome

x  X,

evidentemente



quindi


come volevasi dimostrare.

Dimostrazione
b) a)

E' ovvia in quanto si è dimostrato in precedenza che



Nota bene
In generale, nulla si può dire circa le relazioni tra X e 
Dr(X), ossia se

Dr(X) X  v X Dr(X).

Si dimostra ora che:


Infatti, considerato



se

x
X  x Dr(X),

e se



Si è quindi dimostrato che:


Si dimostra ora il viceversa e, allo scopo,
siccome è noto che



Si dimostra ora che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

a) X è chiuso,

b) Dr(X) X.

Dimostrazione
a) b)

Infatti, se X è chiuso, risulta:



Dimostrazione
b) a)

Per dimostrare che X è chiuso, deve risultare:



Infatti,


e da quest'ultima relazione segue che



Quindi, per la validità della doppia inclusione, X coincide con la propria aderenza, e quindi è un insieme chiuso, come volevasi dimostrare.