MIKY & GENNY

SFERE ---> INDICE

Sfera aperta di centro x0raggio r
Siano assegnati un reale x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:


Si chiama sfera aperta di
centro x0raggio r, e si indica con Br(x0), l'insieme così definito:


Teorema

Sia


si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

a)
|y| < r,

b) -r
< y < r.

Dimostrazione
a)
 b)

Per ipotesi è vera la a), quindi

|y
| < r r > |y| ≥ y  r > y (1).

Inoltre,

r > |y| = |-y| ≥ -y  r > -y (2). 

Da (1) e
(2) si ha:

-r < y < r.

Resta così dimostrata la b).


Dimostrazione

b)
 a)

Per ipotesi è vera la b), quindi

|y
| = y se y > 0,

|y
| = -y se y < 0.

Inoltre, poichè

y < r
|y| < r (3),

-y < r
 |-y|< r (4).

Da (3) e
(4) si ha:

|y
| < r.

Resta così dimostrata la a).

Nota bene
Per la validità del teorema suddetto,
la definizione di sfera aperta di centro x0raggio r si può scrivere come segue:


Proprietà delle sfere aperte

Siano assegnati un reale
x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:


1)
Br(x0) = ]x0 - rx0 + r[.

Dimostrazione
Si consideri l'elemento

x
Br(x0),

per definizione
di sfera aperta, si ha:

-r < x -
x0 < r x0]x0 - rx0 + r[,

per definizione di intervallo aperto, quindi

Br(
x0) = ]x0 - rx0 + r[,

come volevasi dimostrare.

2) x0
Br(x0).

La dimostrazione è ovvia, in quanto
x0 è il centro della sfera, pertanto appartiene ad essa.
 


Dimostrazione

Si consideri l'elemento

x
Br'(x0),

per definizione
di sfera aperta, si ha:

|x -
x0| < r' ≤ r''  |x - x0| < r''  xBr''(x0),

quindi

B
r'(x0) Br''(x0),
come volevasi dimostrare.

4) Siano



e si consideri inoltre l'intervallo

]a, b[.

A tal punto ci si chiede se esiste un elemento reale ed ed un elemento r strettamente maggiore di zero, di modo che si verifichi

]a, b[ = 
Br(x0).

La risposta è affermativa.

Dimostrazione
Si osserva prima che, essendo

Si considerano ora i seguenti valori:


Si dimostra ora che:

]a, b[ = Br(x0).

Infatti, considerato l'elemento

y
]a, b[  a < y < b,

si calcolano


Quindi risulta:

x0 -
r = a < y < b = x0 + r  x0 - r < y < x0 + r  yBr(x0)

e, pertanto, resta dimostrato che

]a, b[ 
 Br(x0).

Viceversa, si consideri

y
Br(x0),

per definizione di sfera aperta,

x0 -
r < y < x0 + r a = x0 - r < y < x0 + r = b  a < y < b y]a, b[

e, pertanto, resta dimostrato che

B
r(x0)  ]a, b[.

Avendo dimostrato che

]a, b[ 
 Br(x0), Br(x0)  ]a, b[  ]a, b[ = Br(x0).

Nota bene
Per quanto ora dimostrato, segue che nell'insieme dei reali ogni sfera aperta è un intervallo aperto.

Sfera chiusa di
centro x0raggio r
Siano assegnati un reale
x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:


Si chiama sfera chiusa di
centro x0raggio r, e si indica con


l'insieme così definito:


Nota bene

L'ultima uguaglianza ha senso perchè si dimostra, allo stesso modo del precedente, il seguente teorema; sia



le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

a)
|y r,

b) -r
  r.

Proprietà delle sfere chiuse
Siano assegnati un reale
x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:




Nota bene

La 4) esprime che nell'insieme dei reali ogni sfera chiusa è un intervallo chiuso.


Si osserva infine che: