Siano assegnati un reale x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:
Si chiama sfera aperta di centro x0 e raggio r, e si indica con Br(x0), l'insieme così definito:
Teorema
Sia
si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a) |y| < r,
b) -r < y < r.
Dimostrazione
a) b)
Per ipotesi è vera la a), quindi
|y| < r r > |y| ≥ y r > y (1).
Inoltre,
r > |y| = |-y| ≥ -y r > -y (2).
Da (1) e (2) si ha:
-r < y < r.
Resta così dimostrata la b).
Dimostrazione
b) a)
Per ipotesi è vera la b), quindi
|y| = y se y > 0,
|y| = -y se y < 0.
Inoltre, poichè
y < r |y| < r (3),
-y < r |-y|< r (4).
Da (3) e (4) si ha:
|y| < r.
Resta così dimostrata la a).
Nota bene
Per la validità del teorema suddetto, la definizione di sfera aperta di centro x0 e raggio r si può scrivere come segue:
Proprietà delle sfere aperte
Siano assegnati un reale x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:
1) Br(x0) = ]x0 - r, x0 + r[.
Dimostrazione
Si consideri l'elemento
xBr(x0),
per definizione di sfera aperta, si ha:
-r < x - x0 < r x0]x0 - r, x0 + r[,
per definizione di intervallo aperto, quindi
Br(x0) = ]x0 - r, x0 + r[,
come volevasi dimostrare.
2) x0Br(x0).
La dimostrazione è ovvia, in quanto x0 è il centro della sfera, pertanto appartiene ad essa.
Dimostrazione
Si consideri l'elemento
xBr'(x0),
per definizione di sfera aperta, si ha:
Br'(x0) Br''(x0),
come volevasi dimostrare.
4) Siano
e si consideri inoltre l'intervallo
]a, b[.
A tal punto ci si chiede se esiste un elemento reale ed ed un elemento r strettamente maggiore di zero, di modo che si verifichi
]a, b[ = Br(x0).
La risposta è affermativa.
Dimostrazione
Si osserva prima che, essendo
Si considerano ora i seguenti valori:
Si dimostra ora che:
]a, b[ = Br(x0).
Infatti, considerato l'elemento
y]a, b[ a < y < b,
si calcolano
Quindi risulta:
yBr(x0),
per definizione di sfera aperta,
x0 - r < y < x0 + r a = x0 - r < y < x0 + r = b a < y < b y]a, b[
e, pertanto, resta dimostrato che
Sfera chiusa di centro x0 e raggio r
Siano assegnati un reale x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:
Si chiama sfera chiusa di centro x0 e raggio r, e si indica con
l'insieme così definito:
Nota bene
L'ultima uguaglianza ha senso perchè si dimostra, allo stesso modo del precedente, il seguente teorema; sia
le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
a) |y| ≤ r,
b) -r ≤ y ≤ r.
Proprietà delle sfere chiuse
Siano assegnati un reale x0 ed un reale r strettamente maggiore di zero, cioè:
Nota bene
La 4) esprime che nell'insieme dei reali ogni sfera chiusa è un intervallo chiuso.
Si osserva infine che: