MIKY & GENNY

SUCCESSIONI CON ELEMENTI IN VALORE ASSOLUTO ---> INDICE

Si premettono alcune proprietÓ dei numeri reali:


Si dimostra inoltre che:


Dimostrazione 2).
Considerati


Ŕ noto che

x
|x|,   -x |x|,
                       
y |y|,  -y |y|.

Si considerano ora le seguenti somme:

x
+ y|x| + |y|,

-(x
+ y)|x| + |y|,

per la proprietÓ 1), si ha:

|x + y| 
|x| + |y|,

come volevasi dimostrare.


Dimostrazione 3).
Considerati


si nota che

|x| = 
|(x - y) + y| |x - y| + |y|,

per la proprietÓ 1).

Portando |y| al primo membro, si ha:

|x| - 
|y| |x - y|.

Cambiando di posto |x| e |y| e cambiando anche il segno, risulta:

-(
|x| - |y|) = |y| - |x|  |y - x| = |-(y - x)| = |x - y|

e, per la 1), si ha:

|
|x| - |y|≤ |x - y|,

come volevasi dimostrare.

Sia


si dimostra:

Dimostrazione 1).
Sia


Si osserva ora che, per la proprietÓ 3) si ha:



e quindi, considerato


come volevasi dimostrare.

Dimostrazione 2).

Per ipotesi,


Inoltre, tenendo conto che


come volevasi dimostrare.

Dimostrazione 3).
Per ipotesi,



Inoltre, tenendo conto che


come volevasi dimostrare.