SUCCESSIONI LIMITATE ---> INDICE
Parti limitate dell'insieme dei reali
Sia
si danno le seguenti definizioni:
A è limitato superiormente se è dotato di un maggiorante, cioè
A è limitato inferiormente se è dotato di un minorante, cioè:
A è limitato, se è limitato superiormente ed inferiormente, cioè:
Si consideri ora l'applicazione
e l'insieme così definito, indicato con
Evidentemente risulta:
In tal modo, ad ogni successione
è stato associato l'insieme degli elementi della successione X.
Pertanto, si danno le seguenti definizioni:
Si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione
a)
b)
Infatti,
Si osserva ora che, per come è stato definito X,
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione
b) a)
Per ipotesi è vero che
Si fissi ora
Quindi,
come volevasi dimostrare.
In modo analogo, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Di conseguenza, anche le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione
a) b)
Infatti, per ipotesi la successione non è limitata superiormente, quindi
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione
b) a)
Si supponga che la successione sia limitata superiormente, cioè che X sia limitato superiormente, quindi
e ciò è contro l'ipotesi, quindi la successione non è limitata superiormente.
In modo analogo, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Sia
si danno le seguenti definizioni:
A è limitato superiormente se è dotato di un maggiorante, cioè
A è limitato inferiormente se è dotato di un minorante, cioè:
A è limitato, se è limitato superiormente ed inferiormente, cioè:
Si consideri ora l'applicazione
e l'insieme così definito, indicato con
Evidentemente risulta:
In tal modo, ad ogni successione
è stato associato l'insieme degli elementi della successione X.
Pertanto, si danno le seguenti definizioni:
Si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione
a)
b)Infatti,
Si osserva ora che, per come è stato definito X,
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione
b)
a)Per ipotesi è vero che
Si fissi ora
Quindi,
come volevasi dimostrare.
In modo analogo, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Di conseguenza, anche le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:
Dimostrazione
a)
b)Infatti, per ipotesi la successione non è limitata superiormente, quindi
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione
b)
a)Si supponga che la successione sia limitata superiormente, cioè che X sia limitato superiormente, quindi
e ciò è contro l'ipotesi, quindi la successione non è limitata superiormente.
In modo analogo, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti: