MIKY & GENNY

SUCCESSIONI MONOTONE ---> INDICE

Si consideri la successione di numeri reali

cioè l'applicazione

Poichè gl'insiemi dei numeri interi naturali e dei reali sono insiemi ordinati, una successione è un'applicazione fra due insiemi ordinati, pertanto si danno le seguenti definizioni:

Se la successione rispecchia uno dei quattro casi suddetti, si chiama monotòna.

Si consideri ora la successione di numeri reali

si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

Dimostrazione
a) b)

Si consideri

poichè

n < n + 1,

è anche

quindi, per definizione di successione strettamente crescente, si ha:

x_n < x_n+1.

Dimostrazione
b)  a)

Si consideri

si dimostra prima che

Si riconosce che tale proposizione è vera per il principio di induzione completa su k, cioè se è vera per p + k, è anche vera per p + k + 1.

Supponendo k = 1, si dimostra che

x_p < x_p+1,

e cio è vero per la b).

Siccome

per la b) segue:

x_p+k < x_p+k+1.

Essendo inoltre

x_p < x_p+k,

risulta

x_p < x_p+k+1.

Si considera ora

In tali condizioni, essendo

x_p < x_p+k,

risulta anche

x_p < x_p+k = x_q,

quindi

x_p < x_q.

Resta pertanto dimostrato che la successione è strettamente crescente.

Analogamente, si dimostra che le seguenti due proposizioni sono equivalenti:

   

Teorema - Ogni successione di numeri reali che sia monotòna, è regolare ed è convergente se è limitata.

Si consideri la successione di numeri reali

e sia essa monòtona, cioè crescente, pertanto si ha:

Si dimostra che:

Allo scopo, basta dimostrare che

Siccome tale successione è limitata inferiormente, è noto che

ed essendo non limitata superiormente, è anche noto che

Quindi, fissato

Si osserva ora che

Inoltre, tenendo conto che la successione è crescente,

Quindi, in ogni caso, si ha:

Dunque, essendo

Quest'ultima condizione esprime che la successione diverge positivamente, quindi essa è regolare.

2) Si dimostra infine che, considerando la successione limitata, essa converge.

Allo scopo, supponendo che essa sia limitata superiormente, si può considerare l'estremo superiore, indicato con

e dimostrare che essa converge e che il suo limite è s, cioè:

Infatti, dire che s è l'estremo superiore della successione, significa:

Si fissi ad arbitrio

ed

Per definizione di successione crescente, essendo

Inoltre, dalla 1), essendo ogni

Pertanto, risulta

e questa è la condizione per cui

Quindi, se una successione crescente è limitata superiormente, essa converge ed il suo limite è l'estremo superiore.

Si dimostra anche che, se una successione decrescente è limitata inferiormente, essa converge ed il suo limite è l'estremo inferiore.

Nota bene
In generale, ogni successione limitata non è convergente, ma se le successioni sono monòtone esse convergono.