MIKY & GENNY

SUCCESSIONI PRODOTTO ---> INDICE

Si considerino le seguenti due successioni


ad esse se ne associa una terza cos definita:


In tal modo stata costruita la successione


chiamata successione prodotto delle due assegnate.

Si dimostrano i seguenti teoremi:


Dimostrazione 1).
Sia


per il teorema visto sulle successioni i cui elementi sono stati considerati in valore assoluto e, tenendo conto delle ipotesi, si ha:


Inoltre, siccome noto che
ogni successione convergente limitata, essendo


limitata superiormente,

 

analogamente,
essendo


limitata superiormente,


Si considera


quest'ultime relazioni si hanno per il teorema del confronto.

Si osserva ora che:


Siccome per ipotesi le due successioni sono convergenti, considerato


in sua corrispondenza, rispettivamente, si ha:


Indicato con


quindi
, si verificano le due condizioni trovate, pertanto risulta


Dunque, avendo trovato che


e questa la condizione per cui


come volevasi dimostrare.


Dimostrazione 2).
Per ipotesi,


si deve dimostrare che


Infatti, si considera
ad arbitrio


e, siccome la successione


diverge positivamente, in corrispondenza di


Indicato con


quindi
, si verificano le seguenti condizioni:


Moltiplicando membro a membro le due disequazioni, si ha:


come volevasi dimostrare.


Dimostrazione 2').
Per ipotesi,


si deve dimostrare che


Infatti, si considera
ad arbitrio


e, siccome la successione


diverge positivamente, in corrispondenza di


Indicato con


quindi
, si verificano le seguenti condizioni:


Moltiplicando membro a membro le due disequazioni, si ha:


come volevasi dimostrare.


Dimostrazione 3).

E' analoga alla 2).


Dimostrazione 3').

E' analoga alla
2').


Dimostrazione 4).

Tenendo conto delle ipotesi e della 2), la dimostrazione banale:


Dimostrazione 4').

Tenendo conto delle ipotesi e della 3'), la dimostrazione banale:



Dimostrazione 5).

Tenendo conto delle ipotesi e della 2'), la dimostrazione banale:



Si dimostrano i seguenti teoremi.


Dimostrazione 1).
Per la dimostrazione, ci si mette nelle ipotesi del teorema
2) trattato in precedenza, che si riporta di seguito:



Per ipotesi,
la successione


diverge positivamente, se si dimostra che


per il teorema suddetto,


diverge positivamente.

Infatti, si considera


ed essendo per ipotesi


in sua corrispondenza



Si assume ora


quindi

α 
< yn,

come volevasi dimostrare.


Dimostrazione 2).
Per la dimostrazione, ci si mette nelle ipotesi del teorema
2') trattato in precedenza, che si riporta di seguito:


Per ipotesi,
la successione


diverge positivamente, se si dimostra che


per il teorema suddetto,

diverge negativamente.

Infatti, si considera


ed essendo per ipotesi


in sua corrispondenza



Si assume ora


quindi

yn
< β,

come volevasi dimostrare.



Dimostrazione 3).

Si ottiene dalla 3) precedentemente dimostrata.



Dimostrazione 4).
Si ottiene dalla 3') precedentemente dimostrata.

Nota bene
Considerate due successioni, se una delle due diverge, e l'altra converge al limite zero, nulla si pu dire sulla successione prodotto.


Siano



si dimostra:


Dimostrazione 1).
Considerando c come la successione di valore costante c, cio


logicamente


Applicando il seguente teorema



dimostrato in precedenza, vero quanto asserito.


Dimostrazione 2).
Per la dimostrazione, si fa riferimento a due teoremi trattati in precedenza, che si riportano di seguito, ponendo rispettivamente in essi c = l:




Dimostrazione 3).
Per la dimostrazione, si fa riferimento a due teoremi trattati in precedenza, che si riportano di seguito, ponendo rispettivamente in essi c = l:



Siano assegnati



A partire da queste due successioni, si costruisce la successione seguente:



chiamata combinazione lineare mediante c e d delle successioni date.

Nota bene
Quando si hanno informazioni sulle successioni date, si in grado di stabilire la natura della successione somma.