SUCCESSIONI RECIPROCHE ---> INDICE
Si consideri la successione
In tali condizioni la successione
è chiamata successione reciproca di quella assegnata.
Si dimostrano i seguenti teoremi.
Dimostrazione 1).
Posto
Si considera ora la successione
e poi
α > 0, α < |l|,
cioè
Per un teorema sulle successioni in valore assoluto, da
Se si indica con
Quindi, si esamina la differenza seguente:
A tal punto, siccome per ipotesi la successione
converge, considerato
in corrispondenza di quest'ultimo valore
Dunque, essendo
e questa è la condizione per cui la successione reciproca converga ad 1/l, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 2).
a)
b)
Nelle ipotesi della a), si deve dimostrare che l'inversa della successione data, in valore assoluto, diverge positivamente, cioè
Allo scopo, si considera
k > 0, |k| > 0,
ed
In corrispondenza di tale valore, siccome
converge a zero per ipotesi,
Essendo tutti i termini della disequazione diversi da zero, si possono considerare gl'inversi, pertanto, si ha:
come volevasi dimostrare.
b) a)
Supponendo per ipotesi che
diverge positivamente, cioè che
si deve dimostrare che la successione
converge a zero, cioè chè
Allo scopo, si considera
In corrispondenza di tale valore, indicato con k, siccome
diverge positivamente per ipotesi,
Essendo tutti i termini della disequazione diversi da zero, si possono considerare gl'inversi, pertanto, si ha:
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3).
Considerando la divergenza positiva della successione
e quindi che
se tale successione diverge positivamente, anche la successione
diverge positivamente, e quindi anche
Per il teorema 2),
converge a zero, come volevasi dimostrare.
Si considerino le seguenti due successioni di numeri reali:
In tali condizioni, si può considerare la successione
Si dimostrano facilmente i seguenti teoremi.
Nota bene
Nel caso in cui le successioni
divergono, nulla si può dire sulla successione
cioè
In tali condizioni la successione
è chiamata successione reciproca di quella assegnata.
Si dimostrano i seguenti teoremi.
Dimostrazione 1).
Posto
Si considera ora la successione
e poi
α > 0, α < |l|,
cioè
Per un teorema sulle successioni in valore assoluto, da
Se si indica con
Quindi, si esamina la differenza seguente:
A tal punto, siccome per ipotesi la successione
converge, considerato
in corrispondenza di quest'ultimo valore
Dunque, essendo
e questa è la condizione per cui la successione reciproca converga ad 1/l, come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 2).
a)
b)Nelle ipotesi della a), si deve dimostrare che l'inversa della successione data, in valore assoluto, diverge positivamente, cioè
Allo scopo, si considera
k > 0, |k| > 0,
ed
In corrispondenza di tale valore, siccome
converge a zero per ipotesi,
Essendo tutti i termini della disequazione diversi da zero, si possono considerare gl'inversi, pertanto, si ha:
come volevasi dimostrare.
b)
a)Supponendo per ipotesi che
diverge positivamente, cioè che
si deve dimostrare che la successione
converge a zero, cioè chè
Allo scopo, si considera
In corrispondenza di tale valore, indicato con k, siccome
diverge positivamente per ipotesi,
Essendo tutti i termini della disequazione diversi da zero, si possono considerare gl'inversi, pertanto, si ha:
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3).
Considerando la divergenza positiva della successione
e quindi che
se tale successione diverge positivamente, anche la successione
diverge positivamente, e quindi anche
Per il teorema 2),
converge a zero, come volevasi dimostrare.
Si considerino le seguenti due successioni di numeri reali:
In tali condizioni, si può considerare la successione
Si dimostrano facilmente i seguenti teoremi.
Nota bene
Nel caso in cui le successioni
divergono, nulla si può dire sulla successione
cioè