SUCCESSIONI SOMMA ---> INDICE
Si considerino le seguenti due successioni
ad esse se ne associa una terza così definita:
In tal modo è stata costruita la successione
chiamata successione somma delle due assegnate.
Si dimostrano i seguenti teoremi:
Dimostrazione 1).
Poichè le due successioni convergono, si indicano i loro limiti con
Si deve dimostrare che:
cioè che
Infatti, si considera
ed in corrispondenza di tale valore, per la convergenza della prima successione,
e per la convergenza della seconda successione,
Pertanto, si ha:
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 2).
Si deve dimostrare che la successione somma diverge positivamente, cioè:
Allo scopo, poichè la prima successione è limitata inferiormente,
Si considera ora
e poichè la seconda successione diverge positivamente, in corrispondenza di k - h,
Ora, da
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 2').
E' analoga alla precedente.
Dimostrazione 3).
Si deve dimostrare che la successione somma diverge negativamente, cioè:
Si considera ora
per la divergenza positiva della prima successione, in corrispondenza di k/2,
e, per la divergenza positiva della seconda successione,
Si indica con
per cui si verificano entrambe le condizioni
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3').
E' analoga alla precedente.
Nota bene
Nei teoremi ora visti, nulla si può dire sulle implicazioni opposte, perchè in generale non valgono; inoltre, nulla si può dire nel caso in cui la prima successione diverga positivamente (negativamente) e la seconda diverga negativamente (positivamente).
Ricordando che ogni successione convergente è limitata inferiormente e superiormente, 2) e 2') si possono esprimere rispettivamente come segue:
Si consideri l'applicazione costante y, così definita:
e sia
Applicando la 1), si ha:
Applicando la 2), se:
Applicando la 2'), se
ad esse se ne associa una terza così definita:
In tal modo è stata costruita la successione
chiamata successione somma delle due assegnate.
Si dimostrano i seguenti teoremi:
Dimostrazione 1).
Poichè le due successioni convergono, si indicano i loro limiti con
Si deve dimostrare che:
cioè che
Infatti, si considera
ed in corrispondenza di tale valore, per la convergenza della prima successione,
e per la convergenza della seconda successione,
Pertanto, si ha:
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 2).
Si deve dimostrare che la successione somma diverge positivamente, cioè:
Allo scopo, poichè la prima successione è limitata inferiormente,
Si considera ora
e poichè la seconda successione diverge positivamente, in corrispondenza di k - h,
Ora, da
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 2').
E' analoga alla precedente.
Dimostrazione 3).
Si deve dimostrare che la successione somma diverge negativamente, cioè:
Si considera ora
per la divergenza positiva della prima successione, in corrispondenza di k/2,
e, per la divergenza positiva della seconda successione,
Si indica con
per cui si verificano entrambe le condizioni
come volevasi dimostrare.
Dimostrazione 3').
E' analoga alla precedente.
Nota bene
Nei teoremi ora visti, nulla si può dire sulle implicazioni opposte, perchè in generale non valgono; inoltre, nulla si può dire nel caso in cui la prima successione diverga positivamente (negativamente) e la seconda diverga negativamente (positivamente).
Ricordando che ogni successione convergente è limitata inferiormente e superiormente, 2) e 2') si possono esprimere rispettivamente come segue:
Si consideri l'applicazione costante y, così definita:
e sia
Applicando la 1), si ha:
Applicando la 2), se:
Applicando la 2'), se